3.3.5. Простые и максимальные идеалы

Идеал Н кольца R называется простым, если ab  Н => а  Н либо b  Н. Идеал Н кольца R называется максимальным, если он не содержится ни в каком большем идеале, кроме самого кольца R.

Теорема 1. Пусть R – коммутативное кольцо с единицей, Н – идеал кольца R.

l. Идеал Н прост тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R/H является областью целостности.

2. Идеал Н максимален тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R/H является полем.

Следствие 1. Всякий максимальный идеал прост.

Данная теорема позволяет строить новые конечные поля, отличные от полей типа F_p.

Теорема 3.11.2. В евклидовом кольце идеал Н = аR, являющийся автома­тически главным, максимален тогда и только тогда, когда а – простой элемент.

Пример. Многочлен х² + х + 1 является простым элементом кольца многочленов над полем F₂, поскольку его приводимость означает наличие корней в этом поле. Здесь, конечно, мы используем то обстоятельство, что он может разлагаться лишь на два множителя первой степени. Представителями классов вычетов являются элементы 0, 1, х, х +1. Над ними можно производить сложе­ние и умножение по модулю х² + х + 1. Тем самым построено поле F₄ . Приве­дем таблицы умножения и сложения в этом поле.

	0	1	х	х+1		+	0	1	х	х+1
0	0	0	0	0		0	0	1	х	х+1
1	0	1	х	х+ 1		1	1	0	х+1	х
х	0	х	х+1	1		х	х	х+1	0	1
х+1	0	х+1	1	х		х+1	х+1	х	1	0

3.3.6. Конечные расширения полей

Пусть F и Р – два поля, причем F  Р. Тогда F называется подполем поля Р, которое в свою очередь называется надполем поля F, или его расширением. Каждое поле содержит так называемое простое подполе, т.е. поле, порожденное единицей. Если характеристика поля положительна (равна р), то простое подполе изоморфно F_р. Если характеристика равна нулю, то простое подполе изоморфно полю рациональных чисел. Таким образом, каждое поле является расширением своего простого подполя.

Поле Р можно рассматривать как векторное пространство над полем F. Размерность этого пространства называется степенью расширения F  Р и обозначается [P: F]. Например: [С: R] = 2, [R: Q] = , [F₄ : F₂]= 2.

Теорема 1. Пусть даны два расширения F  Р, Р  К конечной степени. Тогда

[K:F]=[P:F][K:P].

Элемент   Р называется алгебраическим над полем F, если он является корнем многочлена f(х)F(x), f(x)=0. Многочлен f(x) называется аннулирующим многочленом элемента . Среди всех аннулирующих многочленов можно выбрать многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным многочленом элемента . Минимальный многочлен очевидно неприводим, т.е. не разлагается в произведение многочленов меньшей степени. Минимальный многочлен определен однозначно.

Теорема 2. Всякое расширение F  Р конечной степени алгебраично, т.е. все элементы поля Р алгебраичны над полем F.

Теорема 3. Все аннулирующие многочлены для данного элемента  Р образуют главный идеал в кольце F[x]. Он порожден минимальным многочленом т(х), т.е. имеет вид m(x)F[x].

Пусть F  Р – произвольное расширение, Р. Обозначим через F[] наименьшее подкольцо поля Р, содержащее элемент  и поле F, a через F()– наименьшее подполе с аналогичным условием. Очевидно, что

F[]={f()|f(x) F[x]},

Теорема 4. Если элемент  алгебраичен над F, тo F[]=F()F[x]/m(x)F[x], где т(х) – минимальный многочлен для .

F  F[] называется простым алгебраическим расширением. Элемент  называется примитивным элементом расширения. Степень этого расширения равна степени минимального многочлена. Пусть т(х) =₀ + ₁х + ...+ _пx^п. Тогда п элементов 1, , ²,..., ^п-1 образуют базис расширения. В самом деле, они ли­нейно независимы, так как их меньше, чем степень минимального многочлена. Пусть f(а) – произвольный элемент поля F[]. Разделим многочлен f(x) с остатком на т(х). Имеем f(x) = т(x)g (х) + r(х). Поэтому f()=r(), что линейно выражается через 1, , ², ..., ^п-1.