3.2. Группы

3.2.1. Понятие группы

Группой называется непустое множество G с алгебраической операцией  на нем, для которой выполняются первые три из четырех следующих аксиом.

1. Операция  ассоциативна, т.е. для любых а, b, с  G

a(bс) =(ab) с.

2. В G имеется единичный элемент (или единица) е такой, что для любого

а  G

ае=еа=а.

3. Для каждого а  G существует обратный элемент а ^–1  G такой, что

аa^-1 = а^-1 a = е.

4. Для любых а,b  G

аb=ba.

Если дополнительно группа удовлетворяет четвертой аксиоме, то группа называется абелевой (или коммутативной).

Для групповой операции будем использовать мультипликативное обозначение и вместо аb писать аb, называя этот элемент произведением элементов а и b. Иногда для групповой операции используют аддитивную запись: а + b. В этом случае вместо единицы пишут ноль, а вместо а^–1 – -а. Такие обозначения обычно резервируют для абелевых групп.

В группе имеется лишь один единичный элемент. Действительно, если е' – еще одна единица, то е' = е'е= е. Для любого элемента имеется лишь один обратный. Пусть х и у – обратные элементы для а  G. Тогда по ассоциативности

х=хе=х(ау)=(ха)у= еу= у.

Примеры. Mножество Z челых чисел образуют группу относительно операции сложсния. То же можно сказать относительно рациональных чисел Q, вещественных чисел R и комплексных чисел С.

Обозначим через классы вычетов по модулю 5. Определим их сложение по модулю 5. ( и т.д.). Эта группа обозначается через Z₅ и называется (аддитивной) группой классов вычетов по модулю 5. Аналогично строится группа классов вычетов Z_т по любому модулю т. Если взять все классы вычетов, взаимно простые с модулем т, и определить их умножение по модулю т, то получается группа, обозначаемая через Z^*_m. Отметим, что существование обратного элемента для а  Z^*_m вытекает из разрешимости сравнения ax  l(mod m) при (а,т) = 1.

Число элементов конечной группы G называется порядком группы и обозначается через |G|. Например, |Z_m| =m, |Z^*_m|= (т).

Мультипликативная группа G называется циклической, если она порождена одним элементом, т.е. в ней имеется такой элемент а(образующий), что любой другой элемент b представим в виде b = aⁿ, п  Z. Если п – отрицательное, то под aⁿ понимается произведение (а^-1)^-п. Циклическими являются группы Z и Z_m. Группа Z^*_m – циклическая лишь в случае, когда по модулю т существует первообразный корень. В циклической группе, конечной или нет, может быть несколько образующих элементов. В аддитивной группе Z образующими будут элементы 1 и -1. Циклическая группа всегда коммутативна.

Существует удобный способ задания конечной группы – в виде таблицы. Обычно она называется таблицей Кэли. Ее строки и столбцы помечаются элементами группы, и на пересечении строки, помеченной элементом а, и столбца, помеченного элементом b, ставится элемент ab.