3.2.2. Подгруппы групп

Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы, если H об­разует группу относительно операции группы G.

Подгруппы группы G, отличные от тривиальных подгрупп {e}G, называются собственными подгруппами.

Теорема 3.2.1. Подмножество Н группы G будет ее подгруппой тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1. a, b  Н =>ab  H;

2. a  Н =>a^-1  H.

Теорема 3.2.2. Если Н – подгруппа группы G, то отношение R_H на G, определяемое условием

(а, b)  R_H <=>а = bh для некоторого h  H,

является бинарным отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности по отношению R_H называются левыми смежными классами группы G по подгруппе Н и обозначаются

аН ={аh| hH}.

Смежные классы группы по подгруппе либо совпадают, либо не пересекаются. Аналогично определяются правые смежные классы по подгруппе Н, которые имеют вид Нa ={ha | h  Н}. Для абелевой группы эти два понятия идентичны.

Пусть, например, G = Z, Н = 2Z – подгруппа четных чисел. Тогда имеем два смежных класса: 2Z – четные числа, 1 + 2Z — нечетные.

Теорема 3.2.3. Если Н – конечная группа, то каждый (левый или правый) смежный класс по ней содержит |Н| элементов.

Теорема 3.2.4. Пусть G – конечная группа. Тогда

|G|=[G:H] |Н|.

Следствие 3.2.1. (Лагранж). Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.

Пусть а G. Положим а^п =ааа, если п — натуральное, а^п =(а^-1)^-п, если п – целое отрицательное, и, наконец, а⁰ = е. Таким образом можно рассмот­реть подмножество

a = { а^п| nZ}.

Оно, как легко показать, является подгруппой группы G. Эта подгруппа на­зывается циклической подгруппой, порожденной элементом а. Ее порядок назы­вается порядком элемента а. Иными словами, элемент а  G называется элементом порядка т  N, если а^т = е, где т – наименьшее натуральное с этим усло­вием. Легко показать, что т|l, если а^l = е. Если такого т нет, то элемент а называется элементом бесконечного порядка. Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок конечной группы G делится на порядок любого ее элемента а. По­этому a^G = е. Поскольку |Z^*_m|= (т), то в качестве еще одного следствия полу­чается теорема Эйлера о том, что если (а,т) =1, то

а^(m)  1(mod m).

В дальнейшем нам потребуется утверждение о порядках элементов в абелевой группе G. Пусть a,bG и их порядки т и п соответственно, причем (m,п) = 1. Покажем, что порядок произведения аb равен тп. Обозначим порядок ab через . Тогда (аb)^, а значит, (аb)^m =1 => a^mb^m=1 => b^m=1 => п|т => n|. Аналогично показывается, что т|. Поэтому тп|. Последнее, в силу мини­мальности , означает  = тп. Доказанное является частным случаем следующе­го утверждения.

Теорема 3.2.5. Пусть даны два элемента a,bG абелевой группы. Тогда в группе найдется элемент порядка [т, п].

3.2.3. Циклические группы

Пусть <а> – циклическая группа, порожденная элементом а.

Теорема 1. Каждая подгруппа циклической группы также является циклической.

Теорема 2. В конечной циклической группе <а> порядка т элемент a^k порождает подгруппу порядка m(k, т) ^-1.

Теорема 3. Если d – положительный делитель т, то G содержит единственную подгруппу индекса d.

Теорема 4. Для любого положительного делителя l числа т группа <a> содержит в точности одну подгруппу порядка l.

Теорема 5. Пусть l – положительный делитель порядка конечной циклической группы <а>. Тогда <а> содержит ( l) элементов порядка l.

Теорема 6. Конечная циклическая группа <а> порядка т содержит ( т) образующих. Элемент a^l является образующим лишь при условии (l,m)=1.