3.3.7. Поле разложения

Пусть f(x) – неприводимый многочлен над полем F. Покажем, что для него существует конечное расширение поля F, содержащее все корни многочлена f(x). Такое расширение принято называть полем разложения. Более точно расширение Р поля F называют полем разложения многочлена f(x), если:

1. f(x) разлагается на линейные множители в Р[х];

2. P порождено как поле корнями многочлена f(x) и полем F.

Поле разложения – это наименьшее поле, в котором f(x) разлагается на линейные множители.

Теорема 1. Пусть многочлен т(х) неприводим над полем F, Тогда над расширением Р = F[x]/m(x)F[x] многочлен т(х) имеет корень х = (х), где  - канонический эпиморфизм на фактор-кольцо :f[x] F[x]/m(x)F[x].

Теорема 2. Пусть F— поле, f(х) — произвольный ненулевой многочлен f(х)  F[x]. Тогда его поле разложения существует и имеет степень не больше чем п! над F.

Теорема 3. Поле разложения данного многочлена под полем F определяется с точностью до изоморфизма.

3.3.8. Конечные поля

Всякое конечное поле Р содержит простое подполе F_p = F_p. Поскольку поле Р конечное, оно имеет конечную степень п над простым подполем. Обозначим через р₁, p₂,.., р_п базис Р над F_p. Тогда любой элемент х  Р можно однозначно записать в виде х = f₁p₁ + f₂p₂ + ...+ f_nр_n, f_iF_p. Для каждого коэффициента f_i имеется р возможностей выбора. Поэтому порядок поля Р необходимо равен р^п. Однако мы не знаем, для каких п поле действительно существует.

Наша ближайшая цель — доказать существование поля Галуа для любого простого р и натурального п. Положим q = р^п,

Лемма 1. Многочлен f(x) = х^q – х не имеет кратных корней в любом поле характеристики р, в котором он разлагается на линейные множители.

Заметим, что для любого ненулевого корня многочлена х^q –х верно ^q-1 =1.

Теорема 1. Поле разложения многочлена x^q – х содержит в точности р^п элементов.

Следствие 1. Существует лишь одно с точностью до изоморфизма поле

Теорема 2. Мультипликативная группа любого конечного поля Р циклична.

Образующий элемент циклической группы называется примитивным

элементом этого поля. Его можно взять в качестве примитивного элемента расширения F_p  . Поэтому верна следующая теорема.

Теорема 3. Всякое конечное поле характеристики р является простым алгебраическим расширением поля F_p.

Минимальный многочлен примитивного элемента поля имеет степень п. Поэтому можно сказать, что это поле изоморфно фактор-кольцу F_p[x]/m(x)F_p[x] для некоторого неприводимого многочлена т(х) степени п. При этом т(х)|(х^q – 1).

3.3.9. Порядки неприводимых многочленов

Теорема 1. Поле является полем разложения всякого неприводимого многочлена f(х) степени п над полем .

Следствие 1. Порядки всех корней неприводимого многочлена равны.

Назовем порядком многочлена f(x)F_p[x], f(0)  0 наименьшее натураль­ное е, при котором многочлен f(x) делит x^е –1. Порядок обозначается ord(f(x)).

Следствие 2. Пусть f(x) – неприводимый многочлен степени п над полем F_p. Порядок этого многочлена совпадает с порядком любого его корня в мультипликативной группе поля разложения.