Решение типовых задач
Задача 1.
При случайном повторном отборе было установлено, что средний вес товара в выборочной совокупности, состоящей из 100 изделий, оказался равным 10 кг при среднем квадратическом отклонении 0,6 кг. С вероятностью, равной 0,954 определите, в каких пределах заключен средний вес товара в генеральной совокупности.
Решение:
Для того, чтобы определить предел среднего веса товара в генеральной совокупности необходимо воспользоваться следующей формулой:
По данным задачи среднее значение
признака в совокупности
=10
кг, среднее квадратическое отклонение
S = 0,6 кг, следовательно
дисперсия S² = 0,6² = 0,36;
объем выборочной совокупности n
= 100 изделий.
Также известно, что вероятность Р = 0,954. Если известна вероятность Р, то по таблице Лапласа (прил.1) можно найти t. В данной задаче при заданной вероятности коэффициент t = 2,0.
Среднее значение признака в выборке известно, но для расчета доверительного интервала не хватает предельной ошибки выборки, которая определяется по формуле:
.
Согласно условию задачи для обследования
применяется случайный повторный отбор,
поэтому расчет средней ошибки выборки
будет осуществляться по формуле:
.
По данным расчетам видно, что выборочная средняя отличается от генеральной средней на ± 0,12 кг.
Задача 2.
Имеются следующие данные о распределении студентов нашего техникума по среднему баллу успеваемости в результате выборочного 26%-ного собственно-случайного бесповторного отбора:
|
Группы студентов по успеваемости, баллы |
до 3,2 |
3,2 – 3,6 |
3,6 – 4,0 |
4,0 – 4,4 |
4,4 и более |
|
Количество студентов, чел. |
91 |
125 |
211 |
258 |
145 |
Определить:
-
доверительный интервал, в котором с вероятностью 0, 874 находится средний балл успеваемости студентов;
-
доверительный интервал, в котором лежит доля студентов с баллом успеваемости 3,6 и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,758.
Решение:
1. Прежде чем начать конкретный расчет в данной задаче необходимо написать все формулы, которые нам потребуются для решения по порядку.
Нам необходимо рассчитать доверительный интервал для среднего значения признака:
Для того, чтобы определить данный
интервал необходимо знать среднее
значение признака
и
предельную ошибку
.
Их определяют по формулам:
.
Чтобы узнать предельную ошибку необходимо рассчитать среднюю ошибку, которая в данном случае при собственно-случайном бесповторном отборе будет определяться по следующей формуле:
.
Прежде чем рассчитать среднюю ошибку выборки нужно определить дисперсию:
Теперь можно оформлять решение. Для простоты можно оформить решение в таблице, которая является аналогом той, которая составлялась ранее при расчете показателей вариации:
Таблица 40
Исходные и расчетные данные
Т.к. вероятность Р=0,874, то по таблице Лапласа (см.приложение) можно определить t. В нашей задаче t=1,53. Теперь можно определить предельную ошибку выборки и построить доверительный интервал:
По данным расчетам видно, что размер расхождений между величиной среднего балла успеваемости студентов, полученного в выборочной совокупности и генеральной в условиях одинаковой точности единичных наблюдений составляет ± 0,02 балла. Т.е. генеральная средняя находится в доверительном интервале [3,9 ; 4,0].
2.Для определения доверительного интервала, в котором лежит доля студентов с баллом успеваемости 3,6 и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,758, необходимо воспользоваться следующими формулами.
Прежде всего, нам изначально нужно определить доверительный интервал для доли:
Для того, чтобы определить доверительный
интервал необходимо определить выборочную
долю w и предельную ошибку
доли
.
Для определения доли необходимо выбрать те частоты, у которых средний балл свыше 3,6:
.
Предельная ошибка выборки для доли определяется по формуле:
,
Для того чтобы рассчитать предельную ошибку теперь необходимо определить среднюю ошибку для доли:
По таблице Лапласа при помощи заданной вероятности Р=0,758 можно определить коэффициент кратности t, он будет равен 1,17.
Теперь преступим к конкретным расчетам:
По данным расчетам видно, что размер расхождений между долей студентов со средним баллом успеваемости 3,6 и выше, полученного в выборочной совокупности и генеральной в условиях одинаковой точности единичных наблюдений составляет ± 1,5%. Т.е. генеральная доля находится в доверительном интервале [72,5 ; 75,5].