Средние величины
Наряду с абсолютными и относительными величинами в статистике большое применение находят средние величины. В повседневной жизни находят употребление термины «в среднем», «средняя». Например, средняя цена, средний расход продуктов, средняя выработка, средний размер сбережений и т.д.
В экономическом анализе часто приходится оперировать средними величинами в целях лучшего изучения общей картины, когда нужно из многих признаков получить величину, в которой отражались бы свойства всех признаков, входящих в состав совокупности.
Средняя величина – обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку.
Применение средних величин позволяет охарактеризовать определенный признак совокупности одним числом, несмотря на количественные различия единиц по данному признаку внутри совокупности.
Следовательно, средняя величина есть обобщающая характеристика совокупности; средняя величина выражает типичное свойство совокупности; средняя величина – величина абстрактная, а не конкретная, т.к. в ней сглаживаются отдельные значения единиц совокупности, имеющие отклонения в ту и другую сторону; реальность средней величины достигается, если она вычисляется из одной совокупности.
Пользуясь средними величинами при анализе массовых явлений, необходимо всегда помнить, что в средней величине скрываются отстающие хозяйствующие субъекты, которые имеют низкие показатели своей деятельности и, наоборот, не выявляются фирмы, компании, предприятия и т.д., которые работают весьма эффективно. Это возможно в связи со свойством средней, в которой отклонение отдельных значений признака от ее величины взаимно погашаются. (Так, например, при условии выполнения плана розничного товарооборота в целом по холдингу, занимающемуся продажей товаров, часть фирм, входящих в него, не выполнила план, и наоборот, другая часть перевыполнила план товарооборота). Поэтому, кроме средней, следует использовать и отдельные индивидуальные показатели работы фирм, входящих в холдинг. (Холдинг-компания – это акционерное общество, владеющее контрольным пакетом акций юридически самостоятельных фирм. Благодаря финансовому механизму холдинг-компания может контролировать компании, суммарный капитал которых в несколько раз больше ее собственного).
Взвешенные средние учитывают, что отдельные варианты значений признака имеют различную численность, поэтому каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на нее. Частоты f при этом называются статистическими весами или просто весами средней. Однако необходимо учитывать, что статистический вес – понятие более широкое, чем частота. В качестве веса могут использоваться какие-либо другие величины, например, w.
Таблица 26
Виды средних величин
|
Наименование |
Простая форма |
Взвешенная форма |
||||||||||||||||||
|
А |
Б |
В |
||||||||||||||||||
|
I. Средняя арифметическая – это такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Свойства средней арифметической:
1. Нулевое свойство – сумма отклонений
вариант от их средней арифметической
вели-чины равна нулю.
2. Если все варианты (х) увеличить или уменьшить на одно и тоже число, то средняя из этих вариант увеличится или уменьшится на то же самое число; 3. Если все варианты (х) увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то средняя из этих вариант увеличится или уменьшится во столько же раз; 4. Если все веса (f) увеличить или уменьшить в несколько число раз, средняя не измениться. |
Чтобы определить среднюю арифметическую простую, нужно сумму всех значений данного признака разделить на число единиц, обладающих этим признаков. Используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Например:
|
Средняя арифметическая взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Используется когда данные сгруппированы, т.е. если отдельные значения осредняемого признака повторяются, встре-чаются по несколько раз.
В начале необходимо найти середину интервала:
Теперь рассчитаем среднюю:
|
||||||||||||||||||
|
II. Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомножителями в один из имеющихся показателей (w = f x) |
Например: Автомобиль доставил товары в три магазина фирмы «Весна». До первого магазина, расположенного на шоссейной дороге, автомобиль прошел путь со скоростью 50 км/ч, до второго, по проселочной дороге – 40 км/ч, а в третьем случае автомобилю пришлось пройти через лесной массив со скоростью 30 км/ч. Требуется определить среднюю. В данном случае использовать среднюю |
Например:
|
;
(10)
(11)
(12)
(13)
Продолжение таблицы 26
|
А |
Б |
В |
||||||||||||||||||||
|
|
арифметическую простую нельзя, т.к. из условия задачи не следует, что автомобили прошли равное расстояние. Следовательно, они прошли разное расстояние. Поэтому необходимо использовать формулу Средней гармонической простой:
|
|
||||||||||||||||||||
|
III. Средняя хронологическая – это средний уровень ряда динамики, т.е. средняя, исчисленная по совокупности значений показателей в разные моменты или периоды времени. В зависимости от вида ряда динамики применяются различные способы расчета, а именно расчет: средней хронологической интервального ряда; средней хронологической моментного ряда. |
Средней хронологической моментного ряда является средняя величина из уровней моментного ряда динамики.
Рассчитаем среднюю прибыль:
|
Если периоды времени, отделяющие одну дату от другой, не равны между собой, то расчет средней хронологической моментного ряда производится по формуле средней взвешенной, в качестве весов (f) принимаются отрезки времени между датами.
|
||||||||||||||||||||
|
IV. Средняя геометрическая – используется при вычислении среднего коэффициента роста в рядах динамики. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
V. Средняя квадратическая применяется для измерения степени колеблемости индиви-дуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. (другими словами, используется для расчета среднего квадратического отклонения, а также в технике) |
|
|
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)