Étudier les variations et les extremums d’une fonction

Intuitivement lorsqu’on se déplace de gauche vers la droite sur l’axe des x et que le graphique d’une fonction monte, on dit que la fonction est croissante; lorsque le graphique descend, la fonction est dite décroissante.

Méthode 1 Pour trouver le sens de variation d’une fonction, on cherche le signe de sa dérivée.

Soit ƒ une fonction dérivable sur l’intervalle I. Si pour chaque x dans l’intervalle I

• ƒ ’(x) > 0 alors ƒ est croissante sur I,

• ƒ ’(x) < 0 alors ƒ est décroissante sur I.

Exemple Trouver les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction

Rédaction : a) b)

Pour déterminer où sur l’ensemble définition de la fonction, la dérivée est positive et où, elle est négative, on construit le tableau des signes de ƒ ’. Pour cela on doit d’abord déterminer les endroits où la dérivée peut changer de signe. Il peut se produire un changement de signe seulement aux endroits où la dérivée passe par zéro ou n’existe pas. On doit d’abord trouver ces valeurs :

Donc les nombres critiques sont 3 et 1.

c) A l’aide des valeurs trouvées, on construit le tableau des signes de la dérivée.

x	1 3
signe de	+ 0 - 0 +
variations de

Réponse : la fonction est décroissante sur ]1, 3[ , croissante sur .

Méthode 2 Pour obtenir les extremums relatifs d’une fonction, il suffit de trouver

les nombres critiques de la fonction puis de déterminer ensuite la nature de chaque nombre critique.

Soit ƒ une fonction dérivable sur l’intervalle I et x₀ un réel de I. Si s’annule en x₀ en changeant de signe, alors admet un extremum en x₀.

• admet un maximum en x₀

x	x0
signe de	+ 0 -
variations de

• admet un minimum en x₀

x	x0
signe de	- 0 +
variations de

Exemple : Trouver les intervalles de croissance, de décroissance ainsi que les extremums de la fonction

Rédaction : a) b) est continue sur

c) Les nombres critiques sont 1 et -1 car 0 ne fait pas partie de l’ensemble définition de la fonction.

c) Tableau des signes de la dérivée :

x	-1 0 1
signe de	+ 0 - | - 0 +
variations de	-2 min max | 2

Réponse : la fonction est décroissante sur, croissante sur ,

Méthode 3 Un plan d’étude d’une fonction

L’étude complète d’une fonction obéit à la procédure suivante :

1) préciser d’abord l’ensemble de définition ;

2) examiner si la fonction est paire ou impaire et en tirer les conséquences graphiques ;

3) déterminer les limites nécessaires ;

4) calculer la dérivée, étudier son signe, en déduire les variations de la fonction, dresser un tableau qui résume tous ces résultats ;

5) dessiner une représentation graphique aussi précise que possible, tenant compte de toutes les informations précédentes.