Cas des fonctions composées

Une bonne connaissance des formules de dérivation est, en générale, suffisante pour déterminer une primitive. On rappelle ces formules : (valables lorsque u est une fonction dérivable)

(condition : u > 0)	Une primitive de est donc
	Une primitive de est donc
(conditions : u > 0 ou n N)	Une primitive de est donc
(condition : u > 0)	Une primitive de est donc

Exemple Déterminer une primitive des fonctions f et g définies par : et

Rédaction :

a) Écrivons : Ainsi, est de la forme : avec . Une primitive F de est donc : Ce qui donne :

b) Écrivons : Ainsi, g est de la forme : avec

u(x) x². Une primitive G de g est donc : Ce qui donne :

Réponse : et

Exercices

147) Déterminer une primitive F de la fonction f :

148) Soit f la fonction définie sur par ƒ(x)= 3x² + x – 4. Déterminer la primitive F de ƒ telle que

149) Déterminer une primitive de la fonction définie par :

a) b) c)

150) On considère la fonction g définie par Déterminer la primitive G de g vérifiant G(2)= 0.

151) Soit f la fonction définie sur par. Déterminer la primitive F de f sur qui s'annule pour x = 1.

152) Trouver la primitive F de f vérifiant la condition donnée :

a) b)

153) Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée. a) b)

c) d)

154) Déterminer une primitive sur R des fonctions suivantes (penser aux formules de duplication)

a) f(x) = sin²x b) f(x) = cos²x c) f(x) = sinx cosx

155) A l’aide du formulaire, trouver une primitive des fonctions suivantes :

a) b)

c) d)

e) f) g)

156) Soit f la fonction définie sur [-1 ; 1] par Déterminer la primitive de la fonction f qui s’annule pour x = 0.

157) Trouver la forme générale des primitives :

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

158) On considère la fonction définie sur par Déterminer pour  la primitive de cette fonction sur qui prend la valeur 0 pour x = 0.

159) On considère la fonction définie sur par Déterminer  la primitive de cette fonction sur qui prend la valeur 0 pour

x = 0.

160) Trouver la primitive F de f définie sur R par qui vaut –2 en 3.

161) Soit la fonction définie par : Déterminer l’unique primitive F de f qui prend la valeur 1 en 2. Indiquer l’intervalle de définition de cette primitive.

162) Soit f la fonction définie sur R par : Déterminer la primitive de f sur R qui s’annule pour x = 1.

3. 2 Définition et propriétés des intégrales

Mots à retenir

l’intégrale de a à b de f (интеграл функции f от a до b)

les bornes de l’intégrale (les bornes d’intégration) (пределы интегрирования)

la variable d’intégration (переменная интегрирования)

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Étant donnés deux réels a et b de I on appelle intégrale de a à b de f le nombre.

Notation qui permet d’expliciter une primitive de f. On dit que a et b sont les bornes de l’intégrale. x est appelée variable d’intégration.

Méthode Utilisation du tableau des primitives 

Exemple

Propriétés de l’intégrale

1) 2)