Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

Подобным образом, т. е. в соответствии с (15.115), работают, например, устройства дискретного съема информации с объектов различного вида. Далее решетчатая функция х* [n] поступает на формирующее устройство, или экстраполятор Э, а затем сигнал с выхода экстраполятора поступает на непрерывную часть системы. Задача формирующего устройства (экстраполятора) заключается в формировании реального импульса прямоугольной, трапецеидальной, треугольной и т. п. формы. Совокупность идеального импульсного элемента и экстраполятора образует реальный импульсный элемент. Можно ввести понятие идеального импульсного элемента и иначе, считая, что он генерирует с периодом Т последовательность бесконечно коротких импульсов типа δ - функции, площадь которых пропорциональна сигналу ошибки х(t) в моменты времени t = nТ, т. е.

(15.116) где δ т (t) = δ (t— nТ).

Представление импульсного элемента согласно (15.116) не соответствует действительности, так как никакой импульсный элемент не может генерировать бесконечные по высоте импульсы. Однако подобное формальное представление позволяет упростить изображение структурной схемы импульсной системы и поэтому используется. Введем понятие приведенной весовой функции wп(t) разомкнутого канала регулирования (рис. 15.11), понимая под этим термином реакцию непрерывной части системы совместно с экстраполятором на единичную импульсную решетчатую функцию х*[n] = δ 0 [n], которая определена формулой (15.32). При этом используется понятие идеального импульсного элемента в соответствии с (15.115), т. е. у* [n] = х [n].

Более строго весовую функцию wп (t) следует определить (см. главу 4) как отношение выходного сигнала у(t), возникающего при поступлении на вход экстраполятора единственной дискреты х0 в момент n = 0, т. е. функции х* [n] = х0 δ 0 [n], к значению х0:

(15.117)

Если выходную величину рассматривать только в дискретные моменты времени t= nТ или t = (n +ε ) Т, то разомкнутый канал регулирования будет представлять собой импульсный фильтр. Он может характеризоваться решетчатой весовой функцией wп[n] или wп [n, ε ], полученной из производящей функции wп (t).

Заметим, что приведенная весовая функция отличается от обычной весовой функции непрерывного фильтра как своим видом, так и размерностью. Приведенная весовая функция содержит дополнительный множитель, имеющий размерность времени.

Знание решетчатой весовой функции wп[n] или wп [n, ε ] позволяет найти реакцию импульсного фильтра на входную величину х [n] произвольного вида.

Очевидно, что реакция импульсного фильтра на дискрету х [0] будет wп (t) х [0], реакция на дискрету х [1] будет wп (t — Т) х [1], реакция на дискрету х [m] будет wп (t- mТ) х [m]. Поэтому

Для дискретных моментов времени

(15.118)

Найдем z-преобразование от левой и правой частей последнего выражения:

(15.119)

На основании формулы свертки (15.74) (15.120)

где дискретная передаточная функция W(z) есть z-преобразование от приведенной решетчатой весовой функции:

(15.121)

Последняя формула, вообще говоря, очевидна. Так как передаточная функция линейной системы не зависит от вида входного сигнала, то можно положить х [n] = δ 0 [n]. Изображение единичной решетчатой импульсной функции равно единице. Поэтому передаточная функция импульсного фильтра оказывается равной в этом случае изображению выходной величины, которая представляет собой решетчатую приведенную весовую функцию wп [n], и формула (15.121) может быть написана сразу.

В случае использования понятия идеального импульсного элемента в соответствии с формулой (15.121) приведенная весовая функция может определяться аналогичным образом. Если х0 — сигнал на входе импульсного элемента в момент времени t=0, то на его выходе будет сигнал х* [0] = х0 δ (t). Приведенная решетчатая весовая функция непрерывной части совместно с экстраполятором будет в этом случае равна отношению реакции на выходе у[n] к сигналу на входе х0, т. е. wп [n] = = х0у [n], что совпадает с изложенным выше.

Однако в этом случае, поскольку изображение Лапласа единичной функции δ (t) равно единице, можно считать, что изображение Лапласа выходной величины у(t) = wп (t) при воздействии на входе вида δ (t) совпадает с непрерывной передаточной функцией канала регулирования, т. е. Ул (р) =Wп(t)- В свою очередь передаточную функцию И^ (р), учитывая вид схемы, изображенной на рис, 15.11, можно представить в виде произведения передаточных функций экстраполятора и непрерывной части, т. е. W(р) == Wэ(р) Wо(р). Это дает возможность представить структурную схему импульсной системы регулирования так, как это изображено на рис. 15.12.

Передаточная функция Wп (р) есть изображение Лапласа приведенной весовой функции wп (t), и ее можно назвать приведенной передаточной функцией непрерывной части совместно с экстраполятором.

Формулы (15.120) и (15.121) указывают на полное сходство с непрерывными системами, у которых передаточная функция есть преобразование Лапласа от весовой функции

(15.122)

Формула (15.121), определяющая дискретную передаточную функцию импульсного фильтра, может быть записана также в другом виде через введенную передаточную функцию Wп (р):

(15.123)

На выходе дискретного фильтра может рассматриваться смещенная решетчатая функция у [n, ε ) и wп [n, ε ]. Тогда передаточная функция

(15.124)

изображение выходной величины

(15.125)

Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может быть решено при использовании передаточной функции W(z), которая в основном и будет в дальнейшем рассматриваться.

Как следует из полученных выше формул, дискретная передаточная функция должна определяться по приведенной весовой функции непрерывной части. В случае, когда непрерывная часть состоит из параллельно включенных звеньев и ее передаточная функция

(15.126)

.дискретная передаточная функция W(z) может быть определена суммированием частных дискретных передаточных функций, определенных для каждого звена в отдельности:

(15.127)

В отличие от непрерывных систем подобное правило не имеет места .для случая последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией

(15.128)

и общим импульсным элементом на входе. В этом случае

(15.129)

и передаточная функция W(z) должна сразу определяться по результирующей весовой функции wп (z). Для последовательного соединения звеньев wп (t) может, например, определяться по теореме разложения.

Иногда для последовательного соединения, например, двух звеньев результирующая передаточная функция вместо формы (15.129) записывается; в виде W(z) = W1 W2 (z). Символ W1 W2 (z) должен рассматриваться как единый и относящийся к операции нахождения дискретной передаточной функции последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией W01 (p) W02 (o).

Однако в том случае, когда имеется ряд последовательно включенных звеньев, каждое из которых имеет на входе свой импульсный элемент (последовательно включенные импульсные фильтры), результирующая передаточная функция может находиться перемножением дискретных передаточных функций каждого импульсного фильтра:

(15.130)

Непрерывная часть дискретного фильтра может содержать временное τ =ξT . Тогда дискретная передаточная функция

(15.131)

должна определяться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). Если запаздывание лежит в пределах 0 <τ < Т или 0 <ξ < 1, то при m= 0

и ε = 0 имеем из (15.51)

(15.132)

При использовании табл. 15.1 необходимо положить ε = 1 -ξ |.

Рассмотрим нахождение приведенной весовой функции wп (t) или ее изображения Wп (t) для различных экстраполяторов. В соответствии с изложенным выше можно записать следующую зависимость:

(15.133)

где Fи (р) — изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на его вход единственной дискреты δ 0 [n] в соответствии с (15.115), равное передаточной функции экстраполятора WЭ(р) для случая (15.116). В формуле (15.133) передаточная функция W0(р) относится к непрерывной части.

Амплитудно-импульсная модуляция 1-го рода. В этом случае реальный импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы, высота которых равна значению х [n], а продолжительность составляет tи =γT , где γ < 1 (рис. 15.1).

Изображение импульса при поступлении на вход экстраполятора функции будет

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы

(15.134) где ε = 1 -γ .

Формулу (15.134) можно также записать в следующем виде. Так как деление передаточной функции W0 (р) на р эквивалентно интегрированию оригинала, т. е. весовой функции w0 (t), то в результате

(15.135)

где h0 [n] — переходная функция непрерывной части системы, а H0 (z,ε ) — изображение этой переходной функции.

Пусть, например, непрерывная часть системы имеет передаточную функцию

которой соответствует переходная функция h0 (t) = K (1 − e−at ) , где a =T1−1 . Тогда в соответствии с (15.135) и табл. 15.1 получаем

где d = eaT , ε = 1 -γ .

При γ < 1 в формуле (15.134) можно приближенно принять e−γpT ≈1 −γpT . Тогда получим

(15.136)

Формула (15.136) будет справедлива, если можно пренебречь влиянием конечной длительности импульса.

Это эквивалентно замене коротких прямоугольных импульсов, которые генерируются реальным импульсным элементом, серией одинаковых с ними по площади импульсных функций (δ -функций). В свою очередь это эквивалентно замене Wэ(р) ≈ γ Т. Такая

замена обоснована, если непрерывная часть реагирует практически одинаково на реальные конечные импульсы и на равные по площади импульсы типа δ -функций. В большинстве случаев для выполнения этого достаточно, чтобы постоянные времени системы были больше продолжительности импульса, т. е. Тi >tп = γ T(i = 1,2, . . . , k). К

формуле (15.136) сводится и случай амплитудно-импульсной модуляции 2-го рода (рис. 15.1, в), если длительность реального импульса мала.

значению х [n]. Подобным образом работают, например, системы с ЦВМ при использовании в них так называемых экстраполяторов нулевого порядка (рис. 15.13). Изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на вход х[n] =δ 0[n] будет в этом случае (при γ = 1)

(15.137)

Передаточная функция разомкнутой системы в общем случае наличия временного запаздывания

(15.138)

где ε = 1 -γ , τ =ξЕ, причем 0 < ξ < 1- Смещенное z-преобразование должно

вычисляться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). Формула (15.138) может быть также записана в другом виде

где h0 (t) — переходная функция непрерывной части без учета временного запаздывания. Пример. Определим передаточную функцию разомкнутой системы с экстраполятором нулевого порядка для случая, когда непрерывная часть имеет передаточную функцию Общий коэффициент усиления К = 100 сек'1, постоянная времени объекта Т0 = 1 сек, период дискретности Т = 0,5 сек, постоянное временное запаздывание τ = 0 и τ = 0,1 сек.

Рассмотрим случай τ = 0. Разложим выражение, находящееся в скобках (15.138), на простые дроби:

Тогда имеем из (15.138)

Здесь d = e−T0 / T = 0.61 .

Для случая τ = 0,1 сек (или ξ = 0,2) аналогично будем иметь, положив ε = 1 -γ

Заметим, что, положив τ = 0и ε = 1 -γ =1, из последнего выражения (**) нельзя получить

передаточную функцию (*), так как для случая ε = 1 изображение не определяется формулой (15.51).

Передаточные функции замкнутых систем. Пусть для систем с единичной главной обратной связью (рис. 15.11 и 15.12) определена для общего случая ε ≠ 0 передаточная функция разомкнутой системы W (z, ε ). Тогда изображение выходной величины

(15.140)

Изображение ошибки принято в виде X (z, 0), так как импульсный элемент реагирует на значения ошибки в дискретные моменты времени t= nТ (ε = 0). При ε = 0 имеем X(z,0)=G(z,0) — Y(z, 0). Подставляя это выражение в (15.140), получаем

(15-141)

(15.142)

Или в сокращенной записи

(15.143)

(15.144)

Здесь введены передаточная функция замкнутой системы Ф (z) и передаточная функция по ошибке Фx (z).

Условием применимости формул (15.143) и (15.144) является требование равенства нулю приведенной весовой функции в момент t= 0, т. е. w(0) = 0. Для этого в системах с бесконечно короткими импульсами в виде δ -функции требуется, чтобы степень числителя передаточной функции непрерывной части Wо (р) по крайней мере на два была меньше степени знаменателя.

В системах с конечными по длительности импульсами достаточно, чтобы эта разность была бы не меньше единицы.

Передаточные функции W(z), Ф(z) и Фx (z) могут быть использованы для оценки устойчивости и качества импульсных систем.

Если е≠ 0, то, учитывая, что в замкнутой системе X (z, 0) есть изображение ошибки, на которую реагирует импульсный элемент, можно получить из (15.140)

(15.145)

Однако формула (15.145) обычно не используется, так как практически всегда выражения (15.141) — (15.144) могут быть использованы для оценки качества работы импульсной системы.

Передаточные функции для возмущений. На рис. 15.14 изображен случай, когда внешнее воздействие приложено не на входе импульсного элемента (например, возмущающее воздействие). Перенесем воздействие f на вход в виде воздействия f1. В соответствии с правилами преобразования структурных схем, если для: возмущения f(t) изображение Лапласа будет Fл (р), то возмущению f1(t) должно соответствовать изображение Лапласа F1л (р) = W2 (p) W(p). Далее можно найти z-преобразование эквивалентного воздействия на входе импульсного элемента

(15.146)

Для этого воздействия в разомкнутой системе будет X (z)=-F1(z) а в замкнутой

(15.147)

Таким образом, в случае воздействий, не приложенных ко входу импульсного элемента, передаточная функция импульсной системы может быть определена только для эквивалентного воздействия, полученного пересчетом реального воздействия на вход импульсного элемента.

Частотные передаточные функции. Введем в рассмотрение синусоидальную последовательность на входе импульсного фильтра

(15.148)

где а и ϕ — амплитуда и начальная фаза, Т — период повторения (чередования)

импульсов, T2С =2π /w период синусоидальной последовательности.

Заметим, что, в отличие от непрерывной гармонической функции, синусоидальная последовательность (15.148) представляет собой в общем случае непериодическую функцию п. Она представляет собой периодическую функцию n тогда и только тогда, когда период повторения Т и период гармонической: функции Тс — соизмеримые числа. Кроме того, амплитуда а не обязательно является тем максимальным значением, которого могут достигать те или иные члены последовательности. Амплитуда всегда является лишь верхней границей, но не обязательно максимумом этих членов.

Отметим также, что последовательность (15.148) не изменится, если

заменить частоту f= w/2π — частотой f+ kf0, где f0 = Т-1 — частота работы ключа, а k — целое число. Невозможно различить две частоты, разность, между которыми равна целому кратному частоты повторения f0. Так, например, синусоидальная последовательность с частотой f = f0 состоит из одного единственного члена, повторяющегося неограниченное число раз, и, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотой f=0.

Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности на входе f в пределах от f до f0, можно охватить весь диапазон: возможных частот. Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра в диапазоне частот 0 <f<0,5f0, так как для интервала, частот 0,5fо <f<fо может быть

использована дополнительная частота f':, выбранная так, чтобы выполнялось условие f + f' = f0. При этом начальная фаза ϕ должна быть заменена начальной фазой π −ϕ . Это

положение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервале частот - ∞< f < ∞достаточно охватить только положительные частоты, т.е. интервал

0<f< ∞.

Синусоидальная последовательность (15.148) может быть заменена символической записью последовательности комплексных чисел

(15.149)

где a = ae jϕ — комплексное число

Как и в случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что на

Вэтой формуле z — произвольное комплексное число с модулем, равным единице. Следовательно, каждой частоте соответствует определенная точка на окружности единичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис. 15.15). Двум эквивалентным частотам, т. е. частотам, различающимся на целое кратное частоты повторения, соответствует одна и та же полный оборот против часовой стрелки. Двум симметричным относительно вещественной оси точкам, т. е. двум комплексным сопряженным числам с модулями, равными единице, соответствуют две взаимно дополняющие частоты w и w'. Следовательно, совокупность точек, расположенных на одной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна для отображения всего многообразия частот.

Найдем теперь реакцию импульсного фильтра на синусоидальную последовательность (15.149). Будем предполагать при этом, что импульсный фильтр является устойчивым. Поскольку синусоидальная последовательность на входе всегда ограничена, то и реакция устойчивого фильтра на эту последовательность должна представлять собой определенную ограниченную последовательность на выходе.

Всоответствии с формулой (15.118) выходная величина в этом случае будет для установившегося режима

(15.151)

Эта формула может быть представлена в следующем символическом виде:

(15.152)

Здесь введена величина

(15.153)

которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функции непрерывной системы. Как видно из (15.153), для данного импульсного фильтра она зависит только от частоты w и является периодической функцией частоты с периодом w0

= 2πT −1 .

Амплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (15.152) можно найти обычным приемом по комплексному выражению W (z). Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз — аргументу этого выражения.

В общем случае, когда ε ≠ 0, формула (15.152) может быть представлена в виде

(15.154)

где W(z,ε ) —передаточная функция (15.124).

Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена из дискретной передаточной функции импульсного фильтра W(z) или W (z, ε ) посредством подстановки

z = e jwT .

Пример. Пусть непрерывная часть импульсного фильтра представляет собой апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией Wо (p) =k(1+T1 р)-1 а

импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы продолжительности ti =γT .

Приведенная функция веса такого звена

Дискретная передаточная функция

(15.155)

где d = e−T / T1 . Сделаем подстановку z = e jwT = cos wT + j sin wT . В результате получим

(15.156)

Модуль и аргумент этого выражения

(15.157)

Аналогичным образом могут быть найдены частотные передаточные функции замкнутых систем Ф(z) и Фx (z) при z = e jwT .

§ 15.4. Устойчивость и качество импульсных систем регулирования

В импульсных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь место, если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, т. е. корни характеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости корней. Границей устойчивости является мнимая ось (рис. 15.16, а).

Для построения области устойчивости в плоскости комплексной величины z отобразим мнимую ось плоскости величины р на плоскость z. Для этой цели в соответствии с

методом D-разбиения необходимо сделать подстановку р = jw и менять затем частоту w в пределах от - ∞до + ∞. Таким образом, получаем z = еpT = еjwT.

При изменении частот в указанных пределах на плоскости z получится окружность единичного радиуса, представляющая собой область устойчивости (рис. 15.16, б). Условием устойчивости будет нахождение особых точек (полюсов) передаточной функции замкнутой системы Ф (z) внутри этой окружности. Следовательно, корни характеристического уравнения

должны быть ограничены по модулю: | zi | < 1, что совпадает с результатом § 15.1. Так, например, для характеристического уравнения первого порядка

очевидное условие устойчивости будет | А | < 1.

Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка

(15.160)

путем вычисления его корней получаются три условия устойчивости

(15.161)

Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется. Для облегчения задачи иногда используется так называемое w -преобразование, посредством которого окружность единичного радиуса (рис. 15.16, б) отображается на мнимую ось плоскости комплексной величины w. Для преобразования используется подстановка

(15.162)

или, соответственно,

(15.163)

Сделав подстановку z= еjwT, получаем из (15.163)

Иногда вводится в рассмотрение абсолютная псевдочастота

(15.165)

При малых частотах tg wT2 ≈ wT2 и псевдочастота λ ≈ w . Поэтому при выполнении

условия wТ < 2 можно заменить в расчетах псевдочастоту действительной частотой, что может быть использовано, в частности, при расчетах установившихся ошибок при гармоническом входном сигнале.

Нетрудно видеть, что при изменении частоты в пределах − πT ≤ w ≤ πT псевдочастота

пробегает все значения от - ∞ до + ∞, а комплексная величина w движется по оси мнимых от —j ∞ до j ∞. Областью устойчивости в этом случае оказывается вся левая полуплоскость (рис. 15.16, в). Поэтому для передаточной функции с w-преобразованием могут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем.

Рассмотрим, например, характеристическое уравнение второго порядка (15.160). Посредством подстановки (15.162) оно преобразуется к виду

(15.166)

На основании алгебраического критерия (см. § 6.2) условие устойчивости для уравнения второго порядка сводится к требованию положительности всех коэффициентов. Отсюда получаются условия (15.161).

Заметим также, что применение w-преобразования и псевдочастоты приводит передаточную функцию разомкнутой системы к виду, удобному для использования метода логарифмических частотных характеристик.

Для определения устойчивости замкнутой импульсной системы возможно использование критерия Найквиста. Для этой цели можно применять передаточную функцию разомкнутой системы, полученную как на основе z-преобразования, так и на основе w- преобразования. И в том и в другом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не должна охватывать точку (—1, j0). При использовании