§ 7. Прямые наибольшего уклона плоскости

Прямые плоскости, перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости, называются прямыми наибольшего уклона данной плоскости к соответствующей плоскости проекций.

Такое название этих прямых объясняется тем, что среди различных прямых какой-либо плоскости прямые наибольшего уклона, перпендикулярные горизонталям плоскости, образуют наибольший угол с горизонтальной плоскостью, перпендикулярные фронталям плоскости – с фронтальной плоскостью, а перпендикулярные профильным прямым плос-кости – с профильной плоскостью.

Действительно, если провести в плоскости Б прямую АВ, перпендикулярную к горизонтали h этой плоскости, и произвольную прямую АС, отличную от прямой АВ (рис. 36), то прямая АВ образует больший угол наклона с горизонтальной плоскостью Г, нежели прямая АС.

Рис. 36

Перенесем плоскость проекций 2 параллельно самой себе так, чтобы она совпала с выбранной плоскостью Г, и обозначим ее в этом положении через П'. При таком переносе углы прямых АВ и АС с плоскостью Ж нe изменятся. Так как угол наклона прямой к плоскости измеряется углом между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость, то углы прямых АВ и АС с плоскостью П' будут соответственно измеряться углами α = АВА' и β = АСА'. Покажем, что α > β. Для этого рассмотрим два прямоугольных треугольника ∆АА'В и ∆АА'С с общим катетом АА'. В этих треугольниках имеем |AB| < |AC|, так как (АВ) – перпендикуляр, а (АС) – наклонная по отношению к горизонтали h. Поэтому если совместить вращением вокруг (АА') плоскости рассматриваемых треугольников, то прямая АВ займет положение () внутри треугольникаАА'С. Теперь можно утверждать, что АА' = α больше АСА' = β, так как внешний угол треугольника С больше внутреннего, с ним не смежного.

Таким образом, прямаяАВ плоскости Б, перпендикулярная к ее горизонтали h, является прямой наибольшего уклона к горизонтальной плоскости.

На основании обратной и прямой теорем «о трех перпендикулярах» следует, что если (AB)  h (см. рис. 36), то (А'B')  h = h' и обратно, если (А'B')  h', то (АB)  h = h'.

Прямую наибольшего уклона к горизонтальной плоскости часто называют линией ската, так как материальная частица, находящаяся на плоскости, будет скатываться по этой линии.

Таким образом, на виде сверху линия ската данной плоскости перпендикулярна к любой горизонтали этой плоскости.

Аналогично можно доказать, что прямая плоскости Б, перпендикулярная к фронтали или профильной прямой этой плоскости, является соответственно прямой наибольшего уклона к фронтальной или профильной плоскости и что эта перпендикулярность сохраняется на соответствующем виде.

Прямая наибольшего уклона плоскости Б к какой-либо плоскости уровня с соответствующим видом этой прямой образует линейный угол двугранного угла плоскости Б с выбранной плоскостью уровня.

Поэтому измерение двугранного угла между плоскостью Б общего положения и плоскостью уровня может быть сведено к измерению угла между прямой наибольшего уклона плоскости Б к выбранной плоскости уровня и соответствующим видом этой прямой.

Пример. Провести в плоскости Б (А, В, С) общего положения через ее точку В прямые наибольшего уклона u¹ и u² к фронтальной и горизонтальной плоскостям уровня (рис. 37).

Вначале построим прямую наибольшего уклона u¹ к фронтальной плоскости. Для этого предварительно построим в плоскости Б фронталь f при помощи точек А и 1. Так как прямая наибольшего уклона u¹ перпендикулярна к фронталям плоскости Б, а эта перпендикулярность сохраняется на виде спереди, то на этом виде прямую u¹ строим перпендикулярно фронтали f, проведя ее, например, через точку В. На виде сверху прямую u¹ проводим из условия принадлежности u¹ плоскости Б, для чего использованы точки В и 2.

Рис. 37

Теперь построим прямую наибольшего уклона u² к горизонтальной плоскости. Для этого проводим в плоскости Б горизонталь h при помощи точек А и 3. Так как прямая наибольшего уклона u² перпендикулярна горизонталям плоскости Б, а эта перпендикулярность сохраняется на виде сверху, то на этом виде прямую u² проводим через точку В перпендикулярно к h. На виде спереди прямую u² находим при помощи точек В и 4, выделенных на плоскости Б.