§ 4. Комплексный чертеж плоскости
1. Определение плоскости. Плоскость определяют три ее точки, не лежащие на одной прямой, поэтому на комплексном чертеже всякая плоскость Б может быть задана ее тремя точками А, В, С (рис. 16а). Для большей наглядности соединим точки А, В и С прямыми; получим задание плоскости треугольником ABC. При этом следует помнить, что плоскость безгранична и поэтому нельзя ограничиваться построениями в пределах треугольника. В общем случае на комплексном чертеже плоскость не может быть задана ее видами, так как виды плоскости на каждой плоскости проекций 1 и 2 занимают полностью всю плоскость проекций. Поэтому в общем случае виды плоскости не определяют ее положения в пространстве.
а
б
Рис. 16
Таким образом, если всякая точка и всякая непрофильная прямая могут быть заданы на комплексном чертеже своими видами спереди и сверху, то профильные прямые и, в общем случае, плоскости не определяются этими видами. Как профильные прямые, так и плоскости на комплексном чертеже приходится задавать с помощью точек, их определяющих.
Если плоскость по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, то ее называют восходящей. Чтобы избежать недоразумений, удаление надо производить по профильной прямой плоскости. На комплексном чертеже (рис. 16б) оба вида треугольника ABC, которым задана восходящая плоскость, имеют одинаковые обходы (против движения часовой стрелки). Нисходящая плоскость по мере удаления от наблюдателя понижается. Виды треугольника ABC, которым задана нисходящая плоскость, имеют противоположные обходы (вид сверху имеет обход по движению часовой стрелки, а вид спереди – против движения часовой стрелки) (рис. 17).
В дальнейшем будем считать, что на комплексном чертеже виды восходящей плоскости ориентированы одинаково, а нисходящей – противоположно.
Задание плоскости тремя точками или, что то же самое, треугольником, не является единственно возможным. Так как плоскость вполне определяется прямой и точкой, взятой вне прямой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми, или, наконец, любой плоской фигурой, то на комплексном чертеже плоскость может быть задана видами этих элементов. При этом всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому и, в частности, к заданию плоскости тремя точками.
2. Взаимопринадлежность точки и плоскости. Чтобы иметь возможность выполнять какие-нибудь построения в плоскости, заданной своим комплексным чертежом, необходимо уметь строить в данной плоскости любые ее точки.
Пусть плоскость Б задана тремя точками А, В и С (рис. 17). Покажем, как задать какую-нибудь точку этой плоскости. Для большей наглядности соединим точки А, В и С прямыми; тогда плоскость Б будет задана треугольником ABC. Проще всего искомую точку М1 задать на какой-нибудь стороне, например, ВС треугольника ABC. Для этого достаточно ее задать на обоих видах стороны ВС. Точка М1 как принадлежащая прямой ВС, лежащей в плоскости Б, будет принадлежать и плоскости Б.
Рис. 17
Для более общего задания точки, принадлежащей плоскости Б, следует провести в этой плоскости произвольную прямую l. Выделив на плоскости Б две произвольные точки, например, А и М1, мы определим этими точками прямую l, принадлежащую плоскости Б. Теперь любая точка М2 прямой l будет принадлежать плоскости Б.
Так как вид плоскости Б покрывает все поле чертежа, то на одном из видов точку, принадлежащую плоскости, можно задать произвольно, тогда на другом виде точка определится однозначно. Выберем произвольно точку М3 на виде сверху. Далее проведем в плоскости Б какую-нибудь пря- мую m, которая на виде сверху проходила бы через выбранную точ- ку М3. Прямая m определена точками С и N, принадлежащими плоскости Б. Построив прямую m на виде спереди, найдем на нем искомую точку М3.
Итак, построение точки в данной плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и точки на этой прямой. При этом можно выбрать точку на одном из видов, а на другом построить ее при помощи вспомогательной прямой, проведенной на данной плоскости так, чтобы на соответствующем виде она проходила бы через выбранную точку.