§ 5. Линейчатые поверхности

1. Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какому-нибудь закону. В общем случае линейчатая поверхность может быть получена движением прямой линии по трем направляющим.

В самом деле, если выделить на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии а, b и с и принять их за направляющие, то движение образующей l определится единственным образом. Так, выбрав на направляющей а какую-нибудь ее точку А (рис. 62), можно будет провести через эту точку бесконечное множество прямолинейных образующих, пересекающих направляющую c. Этим самым определится коническая поверхность с вершиной в точке А. Предполагая, что она пересечется с направляющей b в точке В, получим образующую l, определяемую точками А и В направляющих а и b. Образующая l пересечет и направляющую с в некоторой точке С, так как принадлежит вспомогательной конической поверхности.

Рис. 62

Таким образом, каждой точке А направляющей а, взятой на линейчатой поверхности, будет соответствовать определенная прямолинейная образующая l, и поэтому линейчатая поверхность может быть определена заданием трех ее направляющих линий.

Помимо указанного общего способа образования линейчатой поверхности при помощи трех направляющих, существуют и другие способы, определяющие закон движения прямолинейной образующей, описывающей линейчатую поверхность.

Так, имея одну направляющую линию и потребовав, чтобы прямолинейная образующая, двигаясь по ней, в то же время проходила через неподвижную точку (конечную или бесконечно удаленную) или при своем движении она все время являлась касательной к направляющей, мы получим определенную линейчатую поверхность. Точно так же движение прямолинейной образующей по двум направляющим при сохранении определенного положения образующей относительно какой-нибудь неподвижной плоскости (параллельности этой плоскости или постоянного уклона к ней) порождает определенную линейчатую поверхность.

Построение какой-либо точки на линейчатой поверхности производят при помощи ее прямолинейной образующей, проходящей через эту точку.

2. В зависимости от вида направляющих линий и характера движения образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей.

Рассмотрим сначала линейчатые поверхности с одной направляющей:

1) Коническая поверхность образуется движением прямой линии l (образующей) по некоторой кривой линии m (направляющей) и имеет неподвижную точку S (вершину) (рис. 63).

а

б

Рис. 63

2) Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии l (образующей) по некоторой кривой линии m (направляющей) и имеет постоянное направление s (рис. 64).

Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности, у которой вершиной является бесконечно удаленная точка S^∞ образующей.

Если направляющей является ломаная линия, то получим частные случаи конической и цилиндрической поверхностей – пирамидальную и призматическую поверхности.

На комплексном чертеже коническая и цилиндрическая поверхности могут быть заданы направляющей m и вершиной S в случае конической поверхности (см. рис. 63б) или направляющей m и направлением s в случае цилиндрической поверхности (см. рис. 64б). Обычно при задании конической или цилиндрической поверхности в качестве направляющей выбирается какая-нибудь линия уровня, например, горизонталь h.

Для увеличения наглядности изображения конической и цилиндрической поверхностей на комплексном чертеже помимо элементов, определяющих эти поверхности, дополнительно строят их очерки. Построение очерков (на обоих видах) конической и цилиндрической поверхностей показано на рис. 65 и 66.

а

б

Рис. 64

Рис. 65 Рис. 66

Точками 1 и 2 обозначены концы очерковых образующих на виде сверху, а точками 3 и 4 – концы очерковых образующих на виде спереди. При этом на виде сверху точки 1 и 2 являются точками касания к направляющей h очерковых образующих, а точки 3 и 4 – точками касания к h линий связи. Этими очерковыми образующими определяются на обоих видах области, внутри которых могут находиться точки данных поверхностей, а также производится разграничение поверхностей на видимую и невидимую части на каждом виде.

Если направляющей конической или цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то и поверхность будет второго порядка^.

3) Торс образуется движением прямолинейной образующей l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m, называемой ребром возврата (рис. 67).

Ребро возврата является направляющей торса, который вполне определяется ее заданием. Торс состоит из двух полостей, граничащих друг с другом по ребру возврата.

Коническую и цилиндрическую поверхности можно рассматривать как частные случаи поверхности торса, когда ее ребро возврата вырождается в точку (конечную или бесконечно удаленную).

Конические и цилиндрические поверхности, а также торсы относятся к числуразвертывающихся поверхностей (см. гл. VI). Все другие линейчатые кривые поверхности относятся к числу неразвертывающихся. Их также называют косыми.

На рис. 63, 64 и 67 показано построение точки М на конической и цилиндрической поверхностях, а также на поверхности торса при помощи образующей l.

3. Теперь рассмотрим некоторые из линейчатых поверхностей (например, поверхность Каталана) с двумя направляющими, а именно, линейчатые поверхности, у которых все образующие параллельны неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Задание плоскости параллелизма заменяет третью направляющую, которая в этом случае является бесконечно удаленной прямой этой плоскости. Действительно, образующие линейчатой поверхности, будучи параллельными плоскости параллелизма, будут пересекаться с ней в бесконечно удаленных точках, совокупность которых и будет бесконечно удаленной прямой этой плоскости.

1) Цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей l по двум криволинейным направляющим а и b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Б (рис. 68).

Для построения образующих цилиндроида на комплексном чертеже проводят ряд плоскостей, параллельных плоскости параллелизма, и определяют точки их пересечения с направляющими кривыми цилиндроида. На рис. 68 плоскость параллелизма является вертикальной плоскостью. Обычно для удобства построения образующих за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей ypовня, тогда образующие будут соответствующими линиями уровня.

2) Коноид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим, из которых одна является кривой линией а, а другая – прямой b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма (рис. 69). Коноид является частным случаем цилиндроида. Если у коноида прямолинейная направляющая b перпендикулярна плоскости параллелизма, то коноид называется прямым.

Рис. 68

Рис. 69

Прямой коноид с плоскостью параллелизма Г показан на рис. 69; его образующие являются горизонталями.

1. Косая плоскость образуется движением прямолинейной образующей l по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим а и b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма (рис. 70).

а

б

Рис. 70

Таким образом, косая плоскость может рассматриваться как частный случай цилиндроида или коноида. Если направляющие а и b будут не скрещивающимися прямыми, а пересекающимися или параллельными, то косая плоскость выродится в обыкновенную плоскость, в которой лежат направляющие а и b.

Косая плоскость, направляющими которой являются прямые а и b, а плоскостью параллелизма – плоскость Г, изображена на рис. 70. Образующие этой косой плоскости являются горизонталями. Необходимо отметить, что ту же самую косую плоскость можно получить, если принять за направляющие две любые образующие косой плоскости, а за плоскость параллелизма – плоскость, параллельную прямым а и b. Отсюда следует, что у косой плоскости имеются две серии прямолинейных образующих, при этом образующая каждой серии не пересекается ни с одной образующей той же серии и пересекает все образующие второй серии.

Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме ее прямолинейных образующих, параболу и гиперболу, то эту поверхность называют также гиперболическим параболоидом. Заметим, что на рис. 70б очерком этой поверхности на виде сверху является парабола. Косая плоскость, или гиперболический параболоид, является поверхностью второго порядка.

4. В заключение рассмотрим линейчатую поверхность, имеющую три прямолинейные направляющие. Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом. Частный случай этой поверхности – однополостный гиперболоид вращения – был рассмотрен в § 4 (см. рис. 54 и 60).

Для построения какой-либо образующей l однополостного гиперболоида, заданного своими тремя прямолинейными направляющими а, b и с (рис. 71), причем прямые а, b и с – скрещивающиеся и не параллельные одной плоскости, выбираем на направляющей а произвольную точку А и проводим через нее и направляющую с вспомогательную плоскость Б. Найдя точку В пересечения направляющей b с плоскостью Б, определим искомую образующую l при помощи точек А и В. Эта образующая пересечет и направляющую с в некоторой точке С, так как принадлежит плоскости Б, проходящей через направляющую с.

Рис. 71

В отличие от однополостного гиперболоида вращения у однополостного гиперболоида общего вида в сечении, перпендикулярном к оси, получается не окружность, а эллипс.

Однополостный гиперболоид общего вида является поверхностью второго порядка.