§ 2. Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей

1. Построение разверток указанных поверхностей приводит к многократному построению натурального вида трапеций, из которых состоит данная призматическая поверхность или призматическая поверхность, вписанная (или описанная) в данную цилиндрическую поверхность и заменяющая ее. Если, в частности, призматическая или цилиндрическая поверхность ограничены параллельными основаниями, то трапеции, на которые разбивается поверхность, обращаются в прямоугольники или параллелограммы, в зависимости от того, перпендикулярны или нет плоскости оснований боковым ребрам или образующим поверхности.

Построение трапеций или параллелограммов проще всего произвести по их основаниям и высотам, причем необходимо также знать отрезки оснований, на которые они делятся высотой. Поэтому для построения развертки призматической или цилиндрической поверхности необходимо предварительно определить натуральный вид нормальной линии данной поверхности, перпендикулярной во всех своих точках образующим поверхности. Стороны этой линии в случае призматической поверхности и будут высотами трапеций или параллелограммов, из которых состоит поверхность. В случае цилиндрической поверхности высотами будут хорды, стягивающие дуги нормальной линии, на которые она и разделена.

Так как указанный способ требует построения нормальной линии, то он называется способом нормальной линии.

2. Покажем применение этого способа для призматических поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки этих поверхностей можно считать точными.

Пример 1. Построить полную развертку поверхности треугольной призмы ABCDEF (рис. 207).

Пусть данная призма расположена так, что ее боковые ребра являются фронталями. Тогда они не искажаются на виде спереди, и наклонная плоскость Б, перпендикулярная к боковым ребрам, определит нормальную линию PQR призмы. Построив по направлению боковых ребер призмы дополнительный вид нормальной линии PQR, найдем натуральные величины РQ, QR и RР высот параллелограммов, из которых состоит боковая поверхность призмы.

Так как боковые ребра призмы параллельны между собой, а стороны нормальной линии им перпендикулярны, то из свойства сохранения углов на развертке следует, что на развертке призмы боковые ребра будут также параллельны между собой, а стороны нормальной линии развернутся в одну прямую. Поэтому для построения развертки призмы нужно отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормальной линии, а затем через их концы провести прямые, перпендикулярные к этой прямой. Если теперь отложить на этих перпендикулярах по обе стороны от прямой отрезки боковых ребер, измеренные на виде спереди, и соединить отрезками прямых концы отложенных отрезков, то получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединяя к этой развертке оба основания призмы, получим ее полную развертку.

Для построения на развертке точки М, принадлежащей поверхности призмы, необходимо на прямой отложить отрезок измеренный на дополнительном виде, и через точкупровести прямую, параллельную боковым ребрам, на которой отложить на прямой отрезок .

Если боковые ребра данной призмы имели бы произвольное расположение относительно плоскостей уровня, то нужно было бы предварительно преобразовать их в прямые уровня.

Рис. 207

3. Теперь рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей. Хотя цилиндрические поверхности являются развертывающимися, практически строят приближенные развертки, заменяя их вписанными призматическими поверхностями.

Пример 2. Построить развертку боковой поверхности эллиптического цилиндра (рис. 208).

Для построения искомой развертки заменяем данную поверхность вписанной в нее призматической поверхностью. Так как цилиндрическая поверхность имеет фронтальную плоскость симметрии, то можно построить развертку только одной половины поверхности. Для этого проводим на поверхности цилиндра нормальную линию n перпендикулярно образующим и на дополнительном виде строим натуральный вид половины нормальной линии данной поверхности. Дугу полуэллипса, который при этом будет получен, делим на шесть частей так, чтобы хорды, стягивающие эти части, возможно меньше отличались от дуг полуэллипса. Далее проводим на поверхности цилиндра образующие, соответствующие точкам деления нормальной линии. Тогда поверхность половины цилиндра разобьется на шесть трапеций, так как плоскости оснований цилиндра не параллельны между собой. Основаниями этих трапеций будут натуральные величины образующих – они могут быть измерены на виде спереди, – а высотами будут соответствующие хорды, стягивающие дуги нормальной линии; они измеряются на дополнительном виде. После этого построение развертки выполняется так же, как и в предыдущем примере, только вершины построенных на развертке трапеций следует соединить не отрезками прямых, а плавными кривыми.

Рис. 208

Построение на развертке точки М, принадлежащей данной поверхности, также показано на рис. 208. Для этого на развертке проведена соответствующая образующая и на ней отложен от нормальной линии развертки отрезок, причем последний отрезок измерен на виде спереди.

Пример 3. Построить развертку цилиндрической трубы кругового сечения, состоящей из трех элементов I, II и III, расположенных фронтально (рис. 209).

Для построения более рациональной развертки всех элементов данной трубы предварительно отнимем элементы I и III от элемента II и повернем их вокруг своих осей на 180°. Если теперь приставить обратно элементы I и III к элементу II так, чтобы совпали эллипсы, по которым пересекаются данные элементы (новые положения этих элементов показаны штрихпунктирными линиями), то все три элемента составят один цилиндр, на поверхности которого проведены два эллипса.

Рис. 209

Справедливость этого утверждения следует из рассмотрения углов ,  и . Получается, что  +  = 180°, но  = , так как равны между собой диаметры элементов трубы, поэтому  +  = 180°.

Построив развертку спрямленной трубы в виде прямоугольника и нанеся на ней развертки эллипсов, получим наиболее экономную разметку разверток всех элементов трубы.

Аналогично строится развертка цилиндрической трубы, имеющей не плоскую, а пространственную ось.