Глава V метрические задачи. Способы преобразования комплексного чертежа

§ 1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Метрические задачи. Помимо позиционных задач, рассмотренных в предыдущих главах, в технической практике часто приходится решать задачи, в которых выясняются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и др. Такие задачи называют метрическими. Некоторые из них уже рассматривались ранее. Так, были рассмотрены вопросы определения натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций (см. гл. I, § 3, п. 4); построения прямой наибольшего уклона плоскости, а стало быть, и измерения углов наклона плоскости к плоскостям проекций (см. гл. I, § 7).

Однако при решении некоторых метрических задач необходимо предварительно выяснить, как выполняются на комплексном чертеже условия перпендикулярности прямых и плоскостей. Прежде всего установим свойства ортогональной проекции прямого угла.

2.Ортогональная проекция прямого угла. Если обе стороны какого-нибудь угла параллельны одной и той же плоскости уровня, то такой угол не искажается на соответствующем виде. Прямой угол будет иметь неискаженный вид и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости уровня, при этом вторая сторона не должна быть перпендикулярна к последней. Например, пусть сторона ВС прямого угла АВС параллельна горизонтальной плоскости Г (на рис. 160 плоскость Г для упрощения изображения проведена через параллельную ей сторону ВС и принята за плоскость проекций П'). Тогда вторая сторона АВ прямого угла является линией ската плоскости этого угла, и поэтому на виде сверху (А'В')  (В'С') (см. гл. I, § 7, п. 1).

Имеет место и обратное положение, т. е. если хотя бы одна из сторон угла параллельна плоскости уровня и если соответствующий вид этого угла является прямым углом, то он и сам является прямым углом. Справедливость этого положения следует из того, что если (А'В')  (В'С') (рис. 160), то прямая АВ является линией ската плоскости ABC (см. гл. I, § 7, п. 1) и (АВ)  (ВС).

Покажем теперь, что если ни одна из сторон прямого угла не параллельна плоскости уровня, то его соответствующий вид не может быть прямым углом.

Рис. 160

Так как ни одна из сторон прямого угла ABC не параллельна плоскости уровня, то плоскость этого угла пересечет плоскость уровня Г = П′ по некоторой прямой АС. В плоскости угла ABC проведем линию ската BD, (рис. 161), тогда ее проекция B′D′ будет перпендикулярна [А'C'] (см. гл. I, § 7, п. 1) и, кроме того, [B'D'] < [BD]. Поэтому если совместить Δ ABC с плоскостью Г = П′, вращая его вокруг стороны АС, то совмещение ′ вершины В окажется на продолжении отрезка В′D′. Тогда >=d. Следовательно, – тупой.

Рис. 161

Так как условия перпендикулярности скрещивающихся прямых сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, проведенных через произвольную точку пространства и соответственно параллельных скрещивающимся прямым, то рассмотренные свойства ортогональной проекции прямого угла распространяются как на пересекающиеся, так и на скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые.

Обобщая указанные выше свойства, можно сформулировать следующее предложение: для того чтобы две данные взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) были перпендикулярны на каком-нибудь виде, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих прямых была бы параллельна, а вторая – не перпендикулярна соответствующей плоскости уровня.

Применяя полученный результат к прямым на комплексном чертеже, получим следующую формулировку.

Две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) тогда и только тогда сохраняют свою перпендикулярность на видах: сверху (рис. 162), спереди (рис. 163) или слева (рис. 164), когда, по крайней мере, одна из этих прямых соответственно является горизонталью, фронталью или профильной прямой.

Рис. 162 Рис. 163

Рис. 164

3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Как известно, прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости. Поэтому если некоторая прямая n перпендикулярна к какой-либо плоскости Б, то она перпендикулярна ко всякой горизонтали h и ко всякой фронтали f этой плоскости, т. е. n  h и n  f (рис. 165). Эта перпендикулярность, как было установлено в п. 2, сохраняется для фронтали на виде спереди, а для горизонтали – на виде сверху.

Иначе говоря, если прямая n перпендикулярна плоскости Б, то на виде спереди n  f  Б, а на виде сверху n  h  Б.

Справедливо и обратное предложение: если на виде спереди прямая n перпендикулярна какой-либо фронтали f данной плоскости Б, а на виде сверху она перпендикулярна любой горизонтали h плоскости Б, то прямая n и плоскость Б взаимно перпендикулярны.

Рис. 165

В самом деле, из условий, что на виде спереди n  f, а на виде сверху n  h, следует, что и в пространстве n  f и n  h, а это означает, что прямая n перпендикулярна к двум прямым плоскости Б.

В общем случае фронталь f и горизонталь h какой-либо плоскости являются пересекающимися прямыми, поэтому прямая n, будучи перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости Б, будет перпендикулярна и к самой плоскости.

Однако у плоскости, перпендикулярной профильной плоскости, горизонталь и фронталь параллельны между собой. Прямая, перпендикулярная к такой плоскости, будет профильной прямой. В этом случае перпендикулярность прямой и плоскости устанавливается по перпендикулярности их видов слева. Аналогично прямая, перпендикулярная к наклонной или вертикальной плоскости, будет соответственно фронталью или горизонталью, и тогда перпендикулярность прямой и плоскости устанавливается по их перпендикулярности на виде спереди или на виде сверху.

Таким образом, прямая и плоскость общего положения взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, когда прямая перпендикулярна на каждом виде соответствующим линиям уровня плоскости, т. е. на виде спереди – фронтали, а на виде сверху – горизонтали.

Если плоскость перпендикулярна какой-либо плоскости уровня, то прямая, перпендикулярная к ней, будет линией уровня, и тогда их взаимная перпендикулярность сохраняется между вырожденным видом плоскости и соответствующим видом прямой.

2. Рассмотрим примеры построения прямой, перпендикулярной плоскости, и плоскости, перпендикулярной прямой.

Пример 1. Через точку А плоскости Б (А, В, С) провести прямую n, перпендикулярную к плоскости (рис. 166). Вначале строим в плоскости Б произвольные фронталь f и горизонталь h, а затем через точку А проводим искомый перпендикуляр n на виде спереди – к фронтали f, а на виде сверху – к горизонтали h.

Рис. 166

Если точка, через которую требуется провести перпендикуляр n к плоскости Б, находится вне плоскости, то построение перпендикуляра производится точно так же согласно условиям: n  f на виде спереди и n  h на виде сверху.

При этом для определения основания этого перпендикуляра на плоскости Б нужно построить точку пересечения прямой n с плоскостью Б.

Пример 2. Через точку А провести плоскость Б, перпендикулярную данной прямой n (рис. 167).

Проводим через точку А фронталь f и горизонталь h, перпендикулярные данной прямой n. Для этого из условий перпендикулярности должно быть так, что n  f – на виде спереди и n  h – на виде сверху. Искомая плоскость Б определяется двумя пересекающимися прямыми: фронталью f и горизонталью h.

Рис. 167

Пример 3. Опустить перпендикуляр из точки М на плоскость Б (a  b), перпендикулярную профильной плоскости, и найти его натуральную величину (рис. 168).

Так как данная плоскость перпендикулярна профильной плоскости, то на виде слева она имеет вырожденный вид. Поэтому можно использовать сохранение перпендикулярности между вырожденным видом плоскости и соответствующим видом искомого перпендикуляра. Построив на виде слева вырожденный вид плоскости Б–Б, а также точку М, можно опустить перпендикуляр из этой точки на вырожденный вид Б–Б плоскости. Получим искомый перпендикуляр MN на виде слева, который определит и его натуральную величину. После этого легко построить перпендикуляр MN сначала на виде спереди, а потом и на виде сверху.

Рис. 168

4. Взаимная перпендикулярность плоскостей. Как известно, если две плоскости Б и  взаимно перпендикулярны, то каждая из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. Справедливо и обратное предложение, т. е. две плоскости Б и  взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Отсюда следуют два способа построения взаимно перпендикулярных плоскостей Б и : либо плоскость  проводится через прямую n, перпендикулярную плоскости Б, либо перпендикулярно прямой n, принадлежащей плоскости Б.

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (см. п. 3).

Через произвольную точку пространства можно провести бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных к данной плоскости. Все эти плоскости будут проходить через перпендикуляр к данной плоскости, проведенный через данную точку. Поэтому для определенности решения необходимо иметь дополнительное условие.

Пример 4. Через прямую l провести плоскость , перпендикулярную к данной плоскости Б (А, В, С) (рис. 169).

Через произвольную точку 1 прямой l проводим прямую n, перпендикулярную к плоскости Б, для чего предварительно в плоскости Б строим произвольные фронталь f и горизонталь h, а затем проводим на виде спереди n  f и на виде сверху n  h. Пересекающиеся прямые l и n определяют искомую плоскость , перпендикулярную к плоскости Б.

Рис. 169

5. Взаимная перпендикулярность прямых общего положения. В п. 2 рассматривался вопрос о перпендикулярности таких прямых, из которых хотя бы одна являлась линией уровня. Теперь выясним этот вопрос в случае, когда обе прямые общего положения.

Так как прямой угол между прямыми общего положения искажается на обоих видах, то перпендикулярность прямых общего положения приходится сводить к перпендикулярности прямой и плоскости. При этом используется известное положение, что две прямые перпендикулярны только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Пример 5. Из данной точки А опустить перпендикуляр на прямую l общего положения.

Если через точку А провести вспомогательную плоскость Б, перпендикулярную прямой l (рис. 170а), затем построить точку В пересечения прямой l с плоскостью Б и, наконец, соединить точку А с точкой В, то прямая АВ будет перпендикулярна к прямой l как принадлежащая плоскости Б, перпендикулярной прямой l.

Вспомогательную плоскость Б определяем фронталью f и горизонталью h, проведенными через точку А перпендикулярно прямой l, для чего проводим на виде спереди f  l и на виде сверху h  l (рис. 170б). Далее при помощи вспомогательной прямой t, конкурирующей на вид спереди с прямой l, найдем точку В пересечения прямой l с плоскостью Б (f ∩ h). Соединив точку А с точкой В, получим искомый перпендикуляр АВ к прямой l.

а

б

Рис. 170