Глава IV взаимное пересечение поверхностей

§ 1. Общие сведения о способах построения линии

Взаимного пересечения двух поверхностей

1. Линия пересечения двух поверхностей, называемая иначе линией перехода, в общем случае представляет собой пространственную кривую, а в случае пересечения многогранных поверхностей – пространственную ломаную линию. В частности, линия пересечения может распадаться на две и более части, которые могут быть и плоскими линиями, если хотя бы одна из поверхностей является многогранной. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам.

Основными способами построения точек линии пересечения двух поверхностей являются способы конкурирующих линий, вспомогательных сфер и приближений. Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.

Способ конкурирующих линий следует применять при построении линий пересечения таких поверхностей, на каждой из которых возможно провести серию графически простых линий, т. е. прямых или окружностей, при этом линии одной поверхности должны конкурировать с соответствующими линиями другой поверхности. Кроме того, если в качестве этих линий используются окружности, то поверхности должны быть расположены так, чтобы эти окружности не искажались на одном из видов.

Способ вспомогательных сфер можно применять при построении линии пересечения поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости уровня. При этом каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей. В частности, способ вспомогательных сфер можно использовать при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны какой-либо плоскости уровня.

Способ приближений весьма универсален и требует для своего применения возможности построения семейства линий на каждой из данных поверхностей.

В некоторых случаях линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на плоские кривые второго порядка. Тогда, если заранее известен вид этих кривых, можно избежать трудоемкого построения линии пересечения по точкам и провести построение этих кривых по их основным элементам.

Заметим также, что если одна из пересекающихся поверхностей имеет вырожденный вид, например, проецирующая цилиндрическая поверхность, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае сразу определяются точки пересечения этой поверхности с графически простыми линиями другой поверхности.

2. Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения двух поверхностей так же, как и у линии пересечения поверхности с плоскостью, различают точки опорные и случайные (см. гл. III, § 3, п. 3). В первую очередь определяют опорные точки, так как они позволяют увидеть, в каких пределах расположена линия пересечения на каждом виде и где между этими точками имеет смысл определять случайные точки для более точного построения линии пересечения поверхностей.

Определение видимости линии пересечения производят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость всего участка совпадает с видимостью какой-нибудь случайной точки этого участка.

При построении линии пересечения необходимо иметь в виду, что ее виды всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных видов пересекающихся поверхностей.