§ 3. Пересечение плоскости с плоскостью и поверхностью

1. Взаимное пересечение двух плоскостей. Две плоскости Б и Д могут совпадать, быть параллельными или пересекаться. Если плоскости Б и Д совпадают или параллельны, то соответственно этим случаям для любой прямой l плоскости Б всегда найдется на плоскости Д такая прямая m, которая будет совпадать с прямой l (рис. 112а) или будет ей параллельна (рис. 112б). Если же плоскости Б и Д пересекаются, то любая прямая l плоскости Б будет пересекаться с какой-нибудь прямой m плоскости Д в некоторой точке К, принадлежащей прямой k пересечения плоскостей (рис. 112в, прямые l¹, m¹), или прямая l окажется параллельной какой-нибудь прямой m, причем, в этом случае, прямые l и m должны быть параллельны и прямой k (рис. 112в, прямые l², m²). В частности, прямые l и m могут совпадать, и тогда они совпадут с прямой k.

а

б

в

Рис. 112

Так как плоскость определяется двумя прямыми (пересекающимися или параллельными), то для установления взаимного расположения двух плоскостей Б и Д необходимо установить взаимное расположение по крайней мере двух пар прямых l¹, m¹ и l², m² этих плоскостей. При этом прямые каждой пары не должны быть скрещивающимися. Обычно в качестве таких прямых выбирают конкурирующие прямые.

Обратные положения, в общем случае, справедливы лишь при определении взаимного расположения двух плоскостей по двум пересекающимся прямым каждой плоскости. При определении же взаимного расположения плоскостей по двум параллельным прямым каждой плоскости не всегда удается выяснить вопрос. В самом деле, если две параллельные прямые одной плоскости окажутся соответственно параллельными двум параллельным прямым другой плоскости, то плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Поэтому если при определении взаимного расположения двух плоскостей прямые первой пары конкурирующих прямых окажутся параллельными, то вторую пару конкурирующих прямых не следует проводить так, чтобы они были параллельны соответствующим прямым первой пары.

Итак, определение взаимного положения двух плоскостей сводится к определению взаимного положения двух пар конкурирующих прямых, проведенных на данных плоскостях (гл. III, § 1, п. 5).

Рассмотрим пример определения взаимного расположения двух плоскостей Б (a ∩ b) и Д (с // d) (рис. 113).

Рис. 113

Построим пару конкурирующих прямых так, чтобы первая прямая принадлежала плоскости Б, а вторая – плоскости Д. Чаще всего пользуются конкурирующими прямыми уровня. B рассматриваемом примере проведены две конкурирующие на виде спереди горизонтали h¹ и h². Горизонталь h¹ проведена на плоскости Б, для чего на прямых а и b выделены точки 1 и 2, а горизонталь h² проведена на плоскости Д при помощи точек 3 и 4, выделенных на прямых с и d. Определяем относительное положение горизонталей h¹ и h² (гл. III, § 1, п. 5). На виде сверху определяем, что горизонтали h¹ и h² пересекаются, при этом вначале определяется точка К′ на виде сверху, а затем на виде спереди.

Точка К′, принадлежащая обеим плоскостям Б и Д, будет принадлежать и прямой их пересечения. Чтобы определить вторую точку прямой пересечения плоскостей, проводим вторую пару конкурирующих горизонталей h³ и h⁴. Горизонталь h³ проводим на плоскости Б при помощи ее точек 5 и 6, а горизонталь h⁴ – на плоскости Д при помощи ее точек 7 и 8. Пересечение этих горизонталей определяет вторую точку К² прямой пересечения плоскостей. Прямая k, проведенная через точки К¹ и К², будет прямой пересечения плоскостей Б и Д. При построении второй пары горизонталей h³ и h⁴ каждую из них можно определить при помощи только одной точки. В самом деле, горизонталь h³ должна быть параллельна ранее проведенной горизонтали h¹, а горизонталь h⁴ должна быть параллельна горизонтали h². Поэтому горизонталь h³ определяется одной точкой 5, а горизонталь h⁴ – точкой 7.

Таким образом, плоскости Б и Д, заданные на рис. 113, пересекаются, и прямая k является прямой их пересечения.

Если при определении взаимного расположения двух плоскостей окажется, что прямые обеих пар конкурирующих прямых совпадают, т. е. l¹ = m¹ и l² = m² (см. рис. 112а), то данные плоскости совпадают.

Если же прямые одной из пар конкурирующих прямых параллельны, т. е. l² // m² (см. рис. 112б, в), то для выяснения взаимного положения следует другую пару конкурирующих прямых провести так, чтобы прямые этой пары не были параллельны соответствующим прямым первой пары. Тогда, если и прямые этой пары параллельны, т. е. l¹ // m¹, то плоскости Б и Д – параллельны (см. рис. 112б). Если же прямые l¹ и m¹ пересекаются в некоторой точке К, то плоскости пересекаются, и прямая пересечения этих плоскостей k пройдет через точку К параллельно прямым l² и m² (см. рис. 112в).

При определении взаимного положения двух плоскостей, когда одна или обе плоскости имеют вырожденные виды, следует воспользоваться вырождением их соответствующих видов в прямую. При этом решение значительно упростится.

Построение прямой k пересечения плоскости Б /ABC/ общего положения с вертикальной плоскостью Д показано на рис. 114. На виде сверху прямая k совпадает с вырожденным видом Д–Д плоскости Д. На виде спереди прямая k определена при помощи вспомогательных точек 1 и 2 из условия принадлежности прямой k плоскости Б.

Рис. 114

2. Пересечение поверхностей с плоскостью. Линия пересечения какой-либо поверхности с плоскостью является плоской линией, которая будет либо ломаной в случае пересечения с многогранной поверхностью, либо кривой линией в случае пересечения с кривой поверхностью. Линия пересечения может распадаться и на прямые линии в случае пересечения плоскости с линейчатой поверхностью по ее образующим.

У ломаной линии пересечения плоскости с многогранной поверхностью вершинами будут точки пересечения ребер многогранной поверхности с секущей плоскостью, а сторонами – отрезки прямых пересечения ее граней с той же плоскостью.

Поэтому построение линии пересечения многогранной поверхности плоскостью сводится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью (см. гл. III, § 1, п. l) или же к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей (см. гл. III, § 3, п. 1). Так как решение первой задачи проще, нежели решение второй, то обычно при построении линии пересечения многогранной поверхности с плоскостью строят вершины сечения как точки пересечения ее ребер с секущей плоскостью. После построения вершин линии пересечения следует соединить отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранной поверхности. При этом стороны линии пересечения, лежащие в видимых гранях, будут видимы, а лежащие в невидимых гранях – невидимы.

Таким образом, построение линии пересечения многогранной поверхности плоскостью сводится к проведению на секущей плоскости вспомогательных прямых, конкурирующих с ребрами многогранника, и определению точек пересечения этих прямых с соответствующими ребрами.

Разумеется, что если при построении линии пересечения многогранной поверхности с плоскостью секущая плоскость или грани многогранной поверхности вырождаются на каком-нибудь виде в прямые, то следует использовать вырождение их соответствующих видов в прямые.

3. Кривую линию пересечения кривой поверхности с плоскостью, обычно строят по ее отдельным точкам. Основным способом построения этих точек является способ конкурирующих линий.

Если при построении прямой пересечения двух плоскостей (см. п. 1), две точки искомой прямой строились с помощью двух пар конкурирующих прямых, проведенных на этих плоскостях, то, очевидно, что при построении точек линии пересечения кривой поверхности с секущей плоскостью следует на секущей плоскости проводить прямые, конкурирующие с какими-либо линиями кривой поверхности, данными или легко строящимися. К последним принадлежат так называемые графически простые линии, которыми являются прямые или окружности. Причем если эти линии являются окружностями, то поверхность должна быть расположена так, чтобы окружности не искажались на одном из видов.

Итак, для построения точек линии пересечения поверхности с данной плоскостью необходимо провести на секущей плоскости прямые, конкурирующие с графически простыми линиями данной поверхности. Тогда точки пересечения каждой прямой и конкурирующей с ней линией поверхности будут точками искомой линии пересечения.

Если секущая плоскость имеет вырожденный вид, то точки линии пересечения определяются сразу в пересечении проецирующей плоскости с графически простыми линиями поверхности.

Среди точек линии пересечения имеются такие, которые выделяются из других точек какими-либо своими особыми свойствами. К этим точкам относятся экстремальные точки и точки видимости. Экстремальными точками являются высшая и низшая точки линии сечения, а также самая ближняя, самая дальняя, самая левая и самая правая точки сечения (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости). Точками видимости являются точки, которые расположены на контурной линии поверхности. На каждом виде эти точки лежат на очерке поверхности. Точки видимости разграничивают линию пересечения поверхности с секущей плоскостью на видимую и невидимую части.

Экстремальные точки и точки видимости относятся к числу опорных точек, в отличие от которых остальные точки называются произвольными или случайными.

Если все случайные точки могут быть найдены общим приемом, указанным ранее, то для нахождения опорных точек даже для одной и той же поверхности приходится каждый раз искать свой особый прием построения. Однако для построения точек видимости можно указать следующий прием. Если на секущей плоскости построить линию, конкурирующую с соответствующей контурной линией поверхности, то точки пересечения этих линий будут точками видимости линии пересечения поверхности с плоскостью для того или другого вида.

При построении случайных точек линии пересечения поверхности с плоскостью выбор графически простых линий, конкурирующих с прямыми секущей плоскости, зависит от того, к какому классу относится поверхность.

У поверхностей вращения этими линиями будут параллели (окружности); у линейчатых, включая линейчатые винтовые, – образующие (прямые линии), у поверхностей второго порядка – либо их прямолинейные образующие (конус, цилиндр, однополостный гиперболоид, косая плоскость), либо их круговые сечения (конус, эллиптический цилиндр, эллипсоид, параболоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды (см. гл. IV, § 5); у циклических – образующие (окружности); наконец, у топографических – линии, которыми они заданы.