§ 2. Ортогональная аксонометрическая проекция

1. Наибольшее распространение в практике получили ортогональные аксонометрические проекции. Это объясняется тем, что обычно мы рассматриваем предметы, расположенные прямо перед глазами, поэтому ортогональная аксонометрия в большей степени, нежели косоугольная, удовлетворяет условию наглядности изображения. Кроме того, распространенность ортогональных проекций объясняется также теми упрощениями, которые в ней достигаются. Для сравнения рассмотрим ортогональную и косоугольную проекции шара. В первом случае в пересечении цилиндрической проецирующей поверхности, обертывающей шар, с плоскостью проекций, получается окружность, а во втором случае – эллипс. Поэтому ортогональная проекция шара является кругом, а косоугольная – эллипсом. Разумеется, что ортогональная проекция шара является и более наглядной, и в то же время более простой.

В ортогональной аксонометрии все три координатные оси пересекают плоскость проекций. В самом деле, если одна из координатных осей параллельна плоскости проекций, то две другие оси будут расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций, и поэтому их проекции сольются. Если же две координатные оси будут параллельны плоскости проекций, то третья ось будет ей перпендикулярна, и тогда проекция этой оси выродится в точку. И в том, и в другом случае аксонометрическая проекция лишается наглядности и исключается из рассмотрения. Обозначим точки пересечения координатных осей х, у и z с плоскостью проекций П' соответственно через X', Y' и Z' (рис. 217). Треугольник X'Y'Z', по которому плоскость П' пересекает координатные плоскости натуральной системы координат, будем называть треугольником следов, так как стороны этого треугольника являются следами координатных плоскостей на плоскости П'.

2. Рассмотрим некоторые свойства ортогональной аксонометрии.

1. Аксонометрические оси в ортогональной аксонометрии являются высотами треугольника следов. В самом деле, если натуральная система координат Oxyz ортогонально спроецирована на плоскость П', т. е. (ОО')  П' (рис. 217), то нетрудно показать, что, например, аксонометрическая ось z' является одной из высот треугольника следов X'Y'Z'.

Так как натуральная ось z перпендикулярна к координатной плоскости хОу, то ось z перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости, в частности, z  (X'Y'). Но ось z по отношению к плоскости П' является наклонной, а ее проекцией на эту плоскость является аксонометрическая ось z', поэтому на основании обратной теоремы «о трех перпендикулярах» проекция z' наклонной z также будет перпендикулярна прямой X'Y', т. е. z'  (X'Y'). Последнее утверждение означает, что аксонометрическая ось z' является высотой треугольника X'Y'Z'.

Рис. 217

Совершенно аналогично можно показать, что и две другие аксонометрические оси х' и у' также являются высотами треугольника следов X'Y'Z'.

Таким образом, аксонометрическое начало координат О' является ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника следов.

2. Треугольник следов всегда остроугольный. Действительно, прямая X'У', перпендикулярная к оси z' (см. рис. 217), будет на основании теоремы «о трех перпендикулярах» перпендикулярна и к прямой ОС . Поэтому точка С является основанием перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла треугольника X'OY' на его гипотенузу X'Y' Отсюда следует, что точка С лежит внутри отрезка Х'У', и, значит, высота Z'C треугольника следов X'Y'Z' находится внутри этого треугольника. Точно так же можно показать, что и остальные высоты треугольника X'Y'Z' лежат внутри него. Итак, все три высоты треугольника следов лежат внутри последнего. Значит, ортоцентр треугольника X'Y'Z' лежит внутри него, а этим свойством, как известно, обладает только остроугольный треугольник.

3. Три полупрямые плоскости, выходящие из одной точки, только в том случае могут являться аксонометрическими осями ортогональной аксонометрии, если они образуют между собой тупые углы.

Необходимость этого условия следует из того, что если тройка полупрямых х', у' и z' является системой аксонометрических осей (рис. 218), то согласно вышесказанному эти полупрямые являются высотами остроугольного треугольника следов. Но, как известно, отрезки высот остроугольного треугольника, соединяющие ортоцентр с вершинами, образуют попарно тупые углы^.

4. Показатели искажения в ортогональной аксонометрии равны косинусам углов наклона натуральных осей к плоскости проекций.

В самом деле, в случае ортогональной аксонометрии (ОО')  П' (см. рис. 217), и, следовательно, отре- зок О'Х' является ортогональной проекцией отрезка ОX'. Поэтому u = , где через  обозначен угол наклона оси х к плоскости проекций П'. Аналогично выразятся и показатели искажения v и w, поэтому

u = cos ; v = cos ; w = cos  . (4)

Таким образом, в ортогональной аксонометрии все три показателя искажения ограничены крайними значениями 0 и 1.

Рассмотренные свойства ортогональной аксонометрии показывают, что если в косоугольной аксонометрии, согласно теореме Польке, систему аксонометрических осей и аксонометрические масштабы на них можно задавать совершенно произвольным образом, то в ортогональной аксонометрии этого делать нельзя, так как система аксонометрических осей должна удовлетворять свойству 3, а показатели искажений – свойству 4 и, кроме того, соотношению (4).

3. В заключение рассмотрим построение ортогональной аксонометрии окружности, расположенной в какой-нибудь из координатных плоскостей.

Для этого необходимо использовать некоторые свойства ортогональной проекции окружности, установленные ранее (см. гл. II, § 1, п. 2). Там было выяснено, что у эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, расположенной в какой-либо плоскости Б, большая ось равна диаметру окружности d и параллельна прямой уровня плоскости Б, а малая ось равна d cos φ, где φ – угол наклона плоскости Б к плоскости проекций, и параллельна проекции перпендикуляра к плоскости Б.

Эти свойства позволяют указать способ построения ортогональной аксонометрии окружностей, расположенных в координатных плоскостях.

В самом деле, если окружность расположена в одной из координатных плоскостей, то перпендикуляром к ее плоскости будет отсутствующая в этой плоскости натуральная координатная ось. Поэтому малая ось эллипса, изображающего окружность, лежащую в одной из координатных плоскостей, параллельна аксонометрической проекции натуральной оси, отсутствующей в этой плоскости, а большая ось ей перпендикулярна.

Так как величины осей эллипса определяются соотношениями:

2a = d; 2b = d cos φ, (5)

то показатель искажения по направлению большой оси эллипса равен единице, а по направлению малой оси – косинусу угла наклона плоскости Б, в которой лежит окружность, к плоскости П'.

Угол φ_ху наклона координатной плоскости хОу к плоскости П' является дополнительным углом угла  (см. рис. 217), так как у треуголь- ника COZ' угол при вершине О – прямой. Отсюда следует, что cos φ_ху = sin  или cos φ_xy = . Точно так же можно определить показатели искажения малых осей для двух других координатных плоскостей. В результате получим, что показатели искажений малых осей эллипсов, изображающих окружности, лежащие в координатных плоскостяххОу, xOz и yOz, соответственно равны:

cos φ_xy = , cos φ_xz = , cos φ_yz = . (6)

Все выводы о направлениях и размерах осей эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях, также справедливы и для эллипсов, изображающих окружности, лежащие в плоскостях, параллельных координатным плоскостям^.