§ 2. Способ конкурирующих линий

1. Вначале рассмотрим взаимное пересечение многогранников. Вершинами линии пересечения многогранников являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, а также ребер второго многогранника с гранями первого. Сторонами или звеньями линии пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников.

Обычно строят вершины линии пересечения, а стороны определяют соединением соответствующих вершин. Причем отрезками прямых можно соединять только те пары вершин, которые лежат в одной и той же грани первого многогранника и в то же время в одной и той же грани второго многогранника. Если же рассматриваемая пара вершин хотя бы в одном многограннике принадлежит разным граням, то такие вершины не соединяются.

Порядок соединения вершин линии пересечения в большинстве случаев легко определяется, если после построения вершин выяснен вопрос о видимости ребер обоих многогранников, причем для каждого ребра, на котором имеются вершины линии пересечения, отмечена видимость до и после его пересечения с другим многогранником. Разумеется, что окончательно видимыми будут только те видимые ребра каждого многогранника, которые пересекаются с видимыми гранями другого многогранника.

При соединении вершин линии пересечения необходимо учитывать видимость ее звеньев. Видимыми звеньями будут только те, которые принадлежат одновременно видимым граням как первого, так и второго многогранников.

Итак, при построении линии пересечения двух многогранников следует вначале найти вершины этой линии, построение которых сводится к проведению на поверхности каждого многогранника вспомогательных ломаных линий, конкурирующих с ребрами другого многогранника, и определению точек пересечения этих линий с соответствующими ребрами. Стороны линии пересечения находятся последовательным соединением отрезками прямых тех пар найденных вершин, которые лежат в одной и той же грани каждого из данных многогранников.

Покажем два примера построения линии пересечения многогранников.

Пример 1. Построить линию пересечения треугольной пирамиды SABC и треугольной призмы DEFD¹E¹F¹ (рис. 138).

а

б

Рис. 138

Найдем сначала точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Ребра АВ, ВС, СА основания пирамиды не пересекают граней призмы, поскольку эти ребра располагаются вне площади наложения. Поэтому будем искать точки пересечения ребер SA, SB и SC пирамиды с гранями призмы. Для каждого из этих ребер строим на поверхности призмы вспомогательные линии, конкурирующие на виде спереди (рис. 138а). Эти линии образуют треугольники. Так, линия, конкурирующая на виде спереди с ребром SA, образует треугольник 1–2–3. В пересечении ребра SA со сторонами 1–2 и 1–3 треугольника 1–2–3 находим точки К и L пересечения ребра SA с поверхностью призмы.

Определяем видимость ребра SA. Так как это ребро пересекается в точке К с гранью DЕЕ¹D¹, а в точке L – с гранью EFF¹E¹, а обе эти грани видимы на виде сверху, то ребро SA будет на виде сверху видимым на отрезках SK и LA. На виде спереди грань DEE¹D¹ видима, а грань EFF¹E¹ невидима, поэтому на виде спереди ребро SA будет видимым на отрезке SK и на отрезке от точки, конкурирующей с точкой 3, до точки А. Аналогично находим точки М, N и Р, Q пересечения ребер SB и SC с поверхностью призмы, а также определяем видимость этих ребер.

Теперь определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Ребра обоих оснований призмы не пересекают поверхности пирамиды, так как они расположены вне площади наложения. Таким образом, остается определить точки пересечения ребер ЕЕ¹, DD¹ и FF¹ призмы с поверхностью пирамиды. Проведя на поверхности пирамиды вспомогательные линии, конкурирующие на вид спереди с рассматриваемыми ребрами призмы (на рис. 138а показана только вспомогательная линия для ребра FF¹), выясняем, что ребра ЕЕ¹ и DD¹ не пересекают поверхности пирамиды, а ребро FF¹ пересекает поверхность пирамиды в точках R и Т. Тут же определяем видимость этих ребер.

Теперь все вершины линии пересечения построены, и остается их соединить в определенном порядке. Так как каждая пара вершин К, М; М, Р и Р, К лежит в одной и той же грани пирамиды, а все вместе они находятся в грани DEE¹D¹ призмы, что легко обнаружить из рассмотрения вида сверху (рис. 138а), то эти вершины можно соединить попарно, при этом получим треугольник КМР, являющийся сечением пирамиды гранью DЕЕ¹D¹ (рис. 138б).

Остальные пять вершин можно соединить в следующем порядке: L–R–N–Т–Q–L. В самом деле, у вершин L и R общие грани SAB и EFF¹E¹, у вершин R и N общие грани SAB и DFF¹D¹, у вершин N и Т общие грани SBC и DFF¹D¹, у вершин Q и Т общие грани SBC и EFF¹E¹ и, наконец, у вершин Т и Q общие грани SАC и ЕFF¹Е¹.

Итак, линия пересечения состоит из двух замкнутых ломаных линий – из треугольника КМР и пространственного пятиугольника LRNTQ.

Решая вопрос о видимости звеньев линии пересечения, убеждаемся, что на виде сверху видимыми будут только звенья KM, KP, LR и LQ, а на виде спереди – звенья KM, MP, NT и NR, так как эти звенья одновременно лежат на видимых гранях как первого, так и второго многогранников.

Если при построении линии пересечения двух многогранников поверхность хотя бы одного из них имеет вырожденный вид, то следует использовать вырождение соответствующих видов ребер и граней этого многогранника в точки и прямые. При этом задача построения линии пересечения значительно упрощается.

Пример 2. Построить линию пересечения треугольной пирамиды с треугольной призмой, боковая поверхность которой имеет вырожденный вид (рис. 139).

Рис. 139

На виде сверху точки А, В, С, D, F и G пересечения ребер пирамиды с гранями призмы находятся в пересечении соответствующих ребер с вырожденными видами граней призмы, после чего они определяются на виде спереди на соответствующих ребрах. На виде сверху точки Е и Н пересечения правого ребра призмы с гранями пирамиды совпадают с вырожденным видом самого ребра, а на виде спереди эти точки построены с помощью прямых S–1 и S–2, принадлежащих граням пирамиды, которые пересекает ребро призмы.

2. Теперь перейдем к пересечению кривых поверхностей. Как было указано выше, построение точек линии пересечения двух поверхностей способом конкурирующих линий сводится к проведению на обеих данных поверхностях графически простых линий (прямых или окружностей), конкурирующих друг с другом. Точки пересечения каждой пары конкурирующих линий и будут точками линии пересечения поверхностей.

Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей указанным способом.

Пример 3. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, у которых оси скрещиваются под прямым углом (рис. 140).

Рис. 140

Построение линии пересечения данных поверхностей можно произвести с помощью конкурирующих линий. В самом деле, если провести на цилиндрической поверхности ее образующие (прямые), то каждая из них будет конкурировать с некоторой параллелью (окружностью) конической поверхности, и так как эти параллели являются горизонталями, то они не будут искажаться на виде сверху.

Вначале покажем построение опорных точек. У цилиндрической поверхности точками видимости для вида сверху являются точки А и В, они же будут и наиболее удаленными точками. Эти точки найдены в пересечении контурной образующей h¹ цилиндрической поверхности и конкурирующей с нею параллели h² конической поверхности. У конической поверхности точек видимости для вида сверху нет, так как вся она на виде сверху видима.

Точки видимости С, D и Е, F цилиндрической поверхности для вида спереди найдены в пересечении контурных образующих цилиндрической поверхности h³ и h⁵ и соответственно конкурирующих с ними параллелей h⁴ и h⁶ конической поверхности. При этом точки С и D будут высшими точками, а точки Е и F – низшими. Точки видимости G, Н и К, L конической поверхности для вида спереди найдены в пересечении контурных образующих f¹ и f ³ конической поверхности и соответственно конкурирующих с ними образующих f ² и f ⁴ цилиндрической поверхности.

Образующие f ² и f ⁴ на виде спереди построены при помощи вида слева. Точки видимости М и N конической поверхности для вида слева найдены на контурной профильной образующей р конической поверхности; при этом предварительно эти точки построены на виде слева в пересечении образующей р с вырожденным видом цилиндрической поверхности.

Теперь можно построить сколько угодно случайных точек. Построение четырех случайных точек P, Q, R и Т показано на рис. 140. Эти точки найдены в пересечении образующих h⁷ и h⁸ цилиндрической поверхности и конкурирующей с ними параллели h⁹ конической поверхности^.

Построив достаточное число случайных точек линии пересечения, следует их соединить в определенной последовательности, учитывая условия видимости. В данном случае видимость линии пересечения на обоих видах определяется цилиндрической поверхностью, поэтому видимыми будут только те участки линии пересечения, которые расположены на видимой части цилиндрической поверхности^.

3. Если при построении линии пересечения двух поверхностей хотя бы одна из них имеет вырожденный вид, то следует использовать вырождение вида этой поверхности в линию. При этом построение линии пересечения поверхностей значительно упрощается, так как на одном из видов любая ее точка принадлежит вырожденному виду поверхности, а на другом виде легко определяется с помощью графически простых линий второй поверхности. Покажем это на следующих примерах.

Пример 4. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения со скрещивающимися осями, причем поверхность одного из них является горизонтально проецирующей (рис. 141).

Рис. 141

Так как поверхность одного из данных цилиндров имеет вырожденный вид, то на виде сверху искомая линия пересечения совпадает с дугой АВ окружности, являющейся вырожденным видом этого цилиндра. Для определения на виде спереди линии пересечения следует построить при помощи графически простых линий, в данном случае образующих второго цилиндра, на виде спереди точки, определяющие линии пересечения поверхностей.

Построение на виде спереди опорных точек А и В (самой дальней и самой ближней), С и D (наивысшей и наинизшей; они же являются точками видимости второго цилиндра для вида спереди), Е и F (самых левых; они же являются точками видимости первого цилиндра для вида спереди) и случайных точек М и N показано на рис. 141.

Необходимо заметить, что на виде спереди точки Е, F и случайные точки М, N удобнее всего находить с помощью дополнительного вида по направлению образующих второго цилиндра. Тогда этот цилиндр на дополнительном виде выродится в окружность и можно построить при помощи глубин f¹ и f² точки Е, F и М, N на этом виде, после чего они легко определяются на виде спереди. В отдельном круге показан элемент линии пересечения с точками видимости С и Е в увеличенном виде.

Пример 3. Построить линию пересечения треугольной призмы со сферой (рис. 142).

Линия пересечения в рассматриваемом примере состоит из дуг окружностей, являющихся линиями пересечения граней призмы со сферой. Эти дуги соединяются между собой в точках пересечения ребер призмы со сферой. Таким образом, в данном случае, как и в других случаях построения линии пересечения многогранной и кривой поверхностей, задача сводится к последовательному решению задач о пересечении кривой поверхности с прямой и плоскостью (см. гл. III, § 4, 5, гл. IV, § 1). И в том, и в другом случае пользуются методом конкурирующих линий.

Так как ребра призмы являются фронталями, то можно построить дополнительный вид по направлению этих ребер. Тогда боковая поверхность призмы на дополнительном виде выродится в треугольник, что значительно облегчит построение искомой линии пересечения.

На дополнительном виде линия пересечения совпадает с частью вырожденного вида призмы, заключенной внутри очерка сферы. При помощи фронталей f¹ и f² сферы находим точки А, В и C, D пересечения ребер призмы со сферой. Построение линии пересечения сферы только с одной из граней призмы, а именно с гранью, видимой на обоих видах, подробно показано на рис. 142.

Сначала находим центр V окружности, являющейся искомой линией пересечения. Для этого на дополнительном виде опускаем из точки О перпендикуляр на прямую G–Н. Основание этого перпендикуляра определит центр окружности на дополнительном виде, а отрезок G–Н – величину диаметра искомой окружности. Потом находим центр V на видах спереди и сверху. Эллипс, являющийся видом спереди линии пересечения, определяется своими осями Е–F и G–Н, при этом ось Е–F равна диаметру окружности, т. е. отрезку G–Н на дополнительном виде. Находим также точки видимости К и L для вида спереди.

Рис. 142

Эллипс, являющийся видом сверху искомой окружности, можно построить по сопряженным диаметрам E–F и G–Н, которыми изобразятся на виде сверху взаимно перпендикулярные диаметры окружности.

В дополнение к этому следует определить точки видимости М и N для вида сверху.

Они построены при помощи прямой 1–2, принадлежащей рассматриваемой грани и конкурирующей с экватором сферы.

4. В заключение рассмотрим технический пример на построение линии перехода цилиндров вращения с пересекающимися осями (рис. 143).

Так как поверхность среднего цилиндра имеет вырожденный вид сверху, то на этом виде линия перехода совпадает с дугами окружности, которой изображается этот цилиндр. Построение на виде спереди точек линии перехода легко осуществить при помощи дополнительных видов по направлению образующих боковых цилиндров.

Рис. 143