§ 3. Комплексный чертеж прямой

1. Прямая линия определяется двумя точками, поэтому на комплексном чертеже всякая прямая l может быть задана видами спереди и сверху двух ее точек А и В (рис. 7). Но так как параллельная проекция обладает свойствами прямолинейности и принадлежности (см. § 1, 2), то прямую l на комплексном чертеже, вообще говоря, можно задать и ее видами спереди и сверху, причем на этих видах она будет проходить через точки А и В (рис. 7б).

Очевидно, и обратно, пара видов прямой l, из которых ни один не параллелен линиям связи, определяет в пространстве некоторую прямую. В самом деле, виды спереди и сверху прямой задают две проецирующие плоскости, пересечением которых будет линия l.

l

а

б

Рис. 7

Полезно заметить, что у прямой l, изображенной на рис. 7а, ближайшая к наблюдателю точка А (напоминаем, что наблюдатель предполагается стоящим лицом к плоскости П₁) расположена ниже, чем более удаленная от наблюдателя точка В. Иначе говоря, прямая l по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, поэтому прямую l называют восходящей. Если же прямая по мере удаления от наблюдателя понижается, то такую прямую называют нисходящей (рис. 8а). Заметим, что на комплексном чертеже виды восходящей прямой наклонены к линиям связи в одну и ту же сторону (см. рис. 7), а виды нисходящей прямой наклонены в разные стороны (рис. 8б). В дальнейшем условимся считать, что на комплексном чертеже восходящая прямая на видах спереди и сверху ориентирована одинаково, а нисходящая – противоположно. Прямую, не параллельную ни одной плоскости проекций, принято называть прямой общего положения.

а

б

Рис. 8

2. Профильная прямая. В то время как вид спереди и вид сверху двух каких-либо точек А и В вполне определяют прямую l (см. рис. 7), не всякие две прямые, заданные на этих видах, могут определять в пространстве некоторую прямую. Если оба вида прямой параллельны линиям связи, не совпадая с одной и той же линией связи (рис. 9), или если на одном виде прямая параллельна линиям связи, а на другом (рис. 10) не параллельна им, то в обоих этих случаях такие виды не определяют прямую в пространстве. В самом деле, в этих случаях нельзя по линиям связи найти для всех точек прямой на виде сверху соответствующие точки на виде спереди.

Рис. 9 Рис. 10

Если же оба вида прямой p (рис. 11) находятся на одной линии связи, то проецирующие плоскости, определяемые этими видами, совпадают в одну плоскость П, и поэтому этой паре видов соответствует в пространстве бесчисленное множество прямых, лежащих в плоскости П. Плоскость П, перпендикулярная к обеим плоскостям проекций 1 и 2, называется профильной плоскостью, а прямые этой плоскости – профильными прямыми.

а б

Рис. 11

Таким образом, все профильные прямые, расположенные в одной и той же профильной плоскости П, изображаются на комплексном чертеже одной и той же парой видов, расположенных на одной линии связи. Поэтому эта пара видов не определяется единственной профильной прямой.

Итак, всякая непрофильная прямая l вполне определяется двумя своими видами, для определения же профильной прямой необходимо задать на обоих видах прямой р две ее точки А и В (см. рис. 11)^.

3. Взаимопринадлежность точки и прямой. Деление отрезка в данном отношении. Чтобы задать на данной непрофильной прямой какую-нибудь точку М, достаточно задать ее на обоих видах прямой (рис. 12).

Точка М будет принадлежать данной прямой l на основании сохранения принадлежности при параллельном проецировании.

Рис. 12

Так как отношение отрезков одной и той же прямой сохраняется на каждом виде этой прямой (§ 1, п. 2), то для деления данного отрезка АВ в данном отношении достаточно разделить в этом отношении один из видов этого отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другой его вид. Отрезок АВ разделен точкой М в отношении 2 : 3, первоначально в этом отношении был разделен вид сверху данного отрезка (рис. 13). Деле- ние отрезка в данном отношении можно использовать для задания точки на профильной прямой. Пусть дана профильная прямая р, на которой отмечены две точки А и В (рис. 14). Чтобы задать какую-нибудь точку М на этой прямой, выбираем сначала точку М, например, на виде сверху в произвольной точке прямой p. На виде спереди точку М находим на прямой р при помощи деления отрезка АВ в том же отношении, в котором точка М делит отрезок АВ на виде сверху. Построение удобнее произвести следующим образом: через данные точки А и В на виде сверху проводим два параллельных луча произвольного направления до пересечения в точках А₀ и В₀ с соответствующими параллельными лучами, проведенными через точки А и В на виде спереди.

Далее через выбранную точку М на виде сверху проводим луч, параллельный лучам, проходящим через точки А и В на этом виде до пересечения его в точке М₀ с прямой А₀В₀, называемой прямой преломления лучей, и через точку М₀ проводим луч, параллельный лучам, проходящим через точки А₀ и В₀, до пересечения с прямой р на виде спереди в искомой точке М. Справедливость указанного построения следует из сохранения отношения AМ : МБ| на обоих видах, которое имеет место на основании свойств отрезков прямых, пересеченных параллельными прямыми.

Рис. 13 Рис. 14

Таким образом, точки профильной прямой на видах спереди и сверху связаны между собой ломаными линиями связи, вершины которых находятся на прямой преломления. Этот способ построения точек, принадлежащих прямой, рекомендуется применять не только для профильных прямых, но и для таких, виды которых образуют с линиями связи комплексного чертежа весьма острые углы. В этих случаях ломаные линии связи дают большую точность построения, чем обычные линии связи комплексного чертежа.

4. Определение натуральной величины отрезка прямой и его углов наклона к плоскостям проекций. Эту задачу можно выполнить с помощью так называемого способа прямоугольного треугольника.

Пусть дан отрезок АВ общего положения (рис. 15а). Зафиксируем плоскость проекций П¹ так, чтобы она прошла через один из концов отрезка, например, через точку А, тогда получим прямоугольный треуголь- ник АВ'В, в котором гипотенузой является отрезок АВ, одним катетом –проекция А'В' отрезка АВ, а вторым катетом – расстояние h точки В от плоскости проекций. Угол φ, образованный отрезком АВ и его проекцией А'В', является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций П'.

Очевидно, что если плоскостью проекций будет горизонтальная или фронтальная плоскость, то одним из катетов будет соответственно вид сверху или вид спереди отрезка АВ, а другим – высота или глубина одного конца отрезка относительно другого.

а

б

в

Рис. 15

Таким образом, натуральная величина отрезка является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого одним из катетов будет любой из видов отрезка, а вторым катетом соответственно – высота или глубина одного из концов отрезка относительно другого.

Построение натуральной величины отрезка АВ выполнено на рис. 15б, его длина обозначена АВ, при этом показаны два варианта решения. В одном варианте построен прямоугольный треугольник АВВ¹ на виде сверху данного отрезка, а в другом – прямоугольный треугольник АВВ² на его виде спереди. Гипотенузы этих треугольников АВ¹ и АВ² определяют натуральную величину отрезка АВ, а углы  и  – углы наклона этого отрезка к плоскостям проекций 1 и 2.

Иногда удобнее строить прямоугольный треугольник не на виде отрезка, а на высоте h или на глубине f одного из концов отрезка относительно другого. Оба варианта этих построений показаны на рис. 15в. Отрезки А¹В и А²В определяют натуральную величину отрезка АВ.