§ 2. Пересечение прямой с плоскостью и поверхностью

1. Пересечение прямой с плоскостью. Прямая может принадлежать плоскости, пересекаться с плоскостью или быть ей параллельной. Если прямая l принадлежит или параллельна плоскости Б или пересекается с ней, то вместе с тем она будет соответственно совпадать (рис. 95а) или пересекаться (рис. 95б) с какой-нибудь прямой а этой плоскости, или будет ей параллельна (рис. 95в).

а

б

Справедливы и обратные положения. Поэтому определение взаимного расположения прямой и плоскости, в общем случае, сводится к определению взаимного расположения двух прямых – данной и вспомогательной, принадлежащей данной плоскости. Обычно в качестве вспомогательной прямой выбирают прямую, конкурирующую с данной.

Т

в

аким образом,чтобы определить взаимное расположение прямой l и плоскости Б, нужно на данной плоскости провести вспомогательную прямую а, конкурирующую с прямой l, и определить взаимное положение конкурирующих прямых l и а (см. гл. III, § 1, п. 5). Если эти прямые пересекаются в некоторой точке К, то в этой же точке данная прямая пересекается с плоскостью. Если же конкурирующие прямые совпадают или параллельны, то данная прямая соответственно принадлежит или параллельна данной плоскости.

Прямая l и плоскость Б (ABC) общего положения изображены на рис. 96. Определим их взаимное положение.

Рис. 96

Построим на плоскости Б вспомогательную прямую а, конкурирующую с данной прямой l. Нами построена прямая а, конкурирующая на виде сверху с прямой l. Для этого на прямых АС и ВС плоскости Б выделены точки 1 и 2, конкурирующие на виде сверху с прямой l. Точки 1 и 2 определяют прямую а, принадлежащую плоскости Б и конкурирующую на виде сверху с прямой l. Теперь определяем относительное положение прямых l и а (см гл. III, § 1, п. 5). По виду спереди замечаем, что прямые l и а пересекаются; при этом вначале определяется точка пересечения К на виде спереди, а затем на виде сверху. Точка К и будет точкой пересечения прямой l с данной плоскостью Б.

Определяем видимость прямой l относительно плоскости Б. На виде спереди левее точки К прямая l расположена «под» прямой а, а значит, и под плоскостью Б, поэтому на виде сверху прямая l левее точки К будет невидимой, а правее этой точки – видимой. Видимость прямой l на виде спереди легче всего определить исходя из того факта, что в данном случае плоскость Б является нисходящей. Поэтому если нами уже определено, что левее точки К прямая расположена под плоскостью, то она вместе с тем расположена и перед этой плоскостью. Это означает, что на виде спереди прямая l левее точки К видима, следовательно, правее точки К она невидима. Так как на рис. 96 для увеличения наглядности плоскость Б ограничена треугольником ABC, то вне видов треугольника прямая l будет видима.

Если при построении вспомогательной прямой а, конкурирующей на виде сверху с данной прямой l (рис. 97), окажется, что l // а на виде спереди, то это условие совместно с условием l = a на виде сверху означает, что l // а в пространстве, значит, прямая l параллельна плоскости Б. Так как, судя по виду спереди, прямая l расположена «над» прямой а, а значит, и «над» плоскостью Б, то прямая l полностью видима на виде сверху. Плоскость Б – нисходящая, поэтому прямая l, будучи расположена «над» плоскостью Б, будет находиться в то же время и «за» плоскостью Б, а это означает, что на виде спереди прямая l невидима.

Если же при построении вспомогательной прямой а окажется, что l = а на обоих видах (рис. 98), то прямая l принадлежит плоскости Б.

Рис. 97 Рис. 98

Рассмотрим теперь случай определения взаимного расположения профильной прямой и плоскости.

Пусть даны профильная прямая р, на которой отмечены две точки М и N, и плоскость общего положения Б (А, В, С) (рис. 99). Как и в общем случае, построим на плоскости Б вспомогательную прямую а, конкурирующую с прямой^ р. Для чего выделим на прямых АС и АВ плоскости Б точки 1 и 2, которыми и определится прямая а. Прямая а будет так же, как и прямая р, профильной прямой. Далее определяем относительное положение двух профильных прямых, данной р и вспомогательной а (см. гл. III, § 1, п. 5). Для этого строим их прямые преломления M₀N₀ и 1₀2₀, или их виды слева. Так как прямые преломления или виды слева пересекаются, то прямые р и а также пересекаются, и точка их пересече-ния К является точкой пересечения прямой р с плоскостью Б.

Рис. 99

Видимость прямой р относительно плоскости Б можно определить с помощью прямых преломления, но в данном случае это нетрудно сделать непосредственно из пространственного представления. Так как прямая р – восходящая (виды прямой МN одинаково ориентированы), а плоскость Б – нисходящая (виды треугольника ABC различно ориентированы), то прямая р от точки К в сторону точки М находится «над» и «за» плос- костью Б. Поэтому на виде сверху прямая р от точки К видима в сторону точки М и невидима в сторону точки N, а на виде спереди прямая р, наоборот, видима в сторону точки N и невидима в сторону точки М.

Если прямые преломления M₀N₀ и 1₀2₀ или виды слева прямых р и а окажутся параллельными или совпадут, то прямые р и а будут параллельны или совпадут, а это означает, что профильная прямая р параллельна плоскости Б или ей принадлежит.

При определении взаимного положения прямой и плоскости, имеющих вырожденные виды, следует воспользоваться вырождением их соответствующих видов в точку или прямую. При этом решение существенно упрощается. Так, если прямая, имеющая вырожденный вид, пересекается с какой-либо плоскостью, то на соответствующем виде точка пересечения совпадает с точкой, в которую вырождается сама прямая. Если же плоскость, имеющая вырожденный вид, пересекается с какой-либо прямой, то на одном из видов точка пересечения определяется в пересечении вырожденного вида плоскости с видом прямой.

Построение точки К пересечения вертикальной прямой i с плоскостью общего положения Б (ABC) показано на рис. 100. На виде сверху точка К совпадает с вырожденным видом прямой i, а на виде спереди точка К определяется из условия принадлежности точки К плоскости Б, для чего использована вспомогательная прямая А–1, принадлежащая плоскости Б.

Построение точки К пересечения прямой общего положения l с наклонной плоскостью Б показано на рис. 101. На виде спереди точка К определяется в пересечении вырожденного вида Б–Б плоскости Б с прямой. На виде сверху точка К находится из условия ее принадлежности прямой l.

Рис. 100 Рис. 101

Задача о пересечении прямой с плоскостью является одной из важнейших задач курса, так как она используется как вспомогательная при решении более сложных задач на пересечение, в частности, многогранных поверхностей с прямой, плоскостью и друг с другом.

2. Пересечение прямой с многогранными поверхностями. Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника осуществляется тем же приемом, что и построение точки пересечения прямой с плоскостью, но конкурирующая с данной прямой линия проводится не на плоскости, а на поверхности многогранника. Поэтому эта линия будет представлять собой ломаную линию, сторонами которой будут служить отрезки прямых, лежащие в гранях многогранника и конкурирующие с данной прямой. Точки пересечения данной прямой с вспомогательной линией и будут точками пересечения прямой с поверхностью многогранника. Если прямая не будет пересекаться с вспомогательной линией, то это означает, что она не пересекается с многогранником. Таким образом, для определения взаимного положения прямой и поверхности многогранника нужно провести на его поверхности вспомогательную ломаную линию, конкурирующую с данной прямой, и определить взаимное положение этих линий; если они пересекаются, то точки их пересечения и являются точками пересечения данной прямой с поверхностью многогранника.

Рассмотрим выполнение указанного построения на комплексном чертеже.

Пример 1. Построить точки М и N пересечения прямой l с поверхностью треугольной пирамиды SABC (рис. 102).

Построим на поверхности пирамиды вспомогательную ломаную линию, конкурирующую на виде спереди с прямой l. Эта вспомогательная линия определяется точками 1, 2 и 3. Данная прямая пересекается со вспомогательной линией в точках М и N, которые и будут искомыми точками. При этом вначале точки строятся на виде сверху в пересечении прямой l со вспомогательной линией 1–2–3, а затем по свойству их принадлежности прямой l они находятся на виде спереди. Установим видимость прямой l. По виду сверху определяем, что точки М и N лежат соответственно в гранях ASC и BSC. Эти грани видимы на виде сверху, поэтому видимы и обе точки М и N, следовательно, прямая l будет невидима только на отрезке MN, находящемся внутри пирамиды. На виде спереди грань ASC невидима, и поэтому прямая l невидима от точки N до точки М и далее до точки, конкурирующей с точкой 1 ребра AS.

В частных случаях при построении точек пересечения прямой с поверхностью многогранника, когда прямая или грани многогранника имеют вырожденный вид, следует использовать вырождение их соответствующих видов в точку или прямыесоответственно. Рассмотрим это на двух примерах.

Пример 2. Построить точки М и N пересечения прямой i, перпендикулярной фронтальной плоскости, с поверхностью пирамиды SABC (рис. 103).

На виде спереди искомые точки М и N совпадают с вырожденным видом данной прямой i. На виде сверху эти точки легко находятся с помощью вспомогательных прямых S–1 и S–2, принадлежащих граням SAC и SBC, которые пересекает прямая i.

Пример 3. Построить точки М и N пересечения прямой l общего положения с поверхностью треугольной призмы АВСА¹В¹С¹, боковые грани которой являются вертикальными плоскостями, а основания – горизонтальными плоскостями (рис. 104).

Рис. 103 Рис. 104

Прямая l пересекается в точке М с левой боковой гранью призмы, а в точке N – с ее верхним основанием. При построении этих точек сначала найдем точку М на виде сверху, а точку N на виде спереди в пересечении прямой l с вырожденными видами боковой грани и верхнего основания, а затем построим точку М на виде спереди, а точку N на виде сверху по свойству их принадлежности прямой l.

3. Пересечение прямой с кривыми поверхностями. Построение точек пересечения прямой с какой-либо кривой поверхностью производится аналогично построению точек пересечения прямой с многогранником. Только если в случае многогранника с прямой конкурировала ломаная линия, проведенная на поверхности многогранника, то в случае кривой поверхности она преобразуется в кривую линию, проведенную на этой поверхности. Поэтому общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью можно сформулировать так: для построения точек пересечения прямой с поверхностью нужно построить на поверхности вспомогательную линию, конкурирующую с данной прямой, и найти точки пересечения этой линии с прямой. При этом, строя вспомогательную линию, следует для определения ее отдельных точек пользоваться графически простыми линиями поверхности. Так, в случае поверхности вращения такими простыми линиями будут параллели (окружности), а в случае линейчатой поверхности – образующие (прямые). Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Построить точки пересечения поверхности вращения (тора) с прямой l (рис. 105).

Строим на данной поверхности линию t, фронтально конкурирующую с данной прямой l. Точки 1 и 2 вспомогательной линии t находим на главном меридиане f поверхности, а остальные точки 3, 4, 5, 6, 7 и 8 – на ее параллелях h¹, h², h³, из которых параллель h² является экватором поверхности.

Соединяя найденные точки плавной линией, получим линию t поверхности, конкурирующую с прямой l. Отметив точки М и N пересечения линии t с прямой l, найдем искомые точки пересечения прямой l с поверхностью.

Точка М будет видимой на обоих видах, так как она находится над экватором и перед главным меридианом поверхности. Точка N будет невидимой на обоих видах, так как она находится под экватором и за главным меридианом.

Рис. 105

Пример 5. Построить точки пересечения линейчатой поверхности эллиптического цилиндра с прямой l (рис. 106).

Строим на данной поверхности линию t, конкурирующую на виде спереди с данной прямой l. Точки 1 и 2 вспомогательной линии t находим на образующих, составляющих очерк на виде спереди цилиндрической поверхности, а точки 3 и 5 – на образующих, составляющих ее очерк на виде сверху.

Помимо этого находим точки 4 и 6 на образующих, конкурирующих на виде спереди с последними образующими. Далее находим промежуточные точки 7, 8, 9 и 10, привязывая их к поверхности соответствующими образующими.

Соединяя полученные точки плавной кривой (эта кривая является эллипсом), получим линию t цилиндрической поверхности, конкурирующую с прямой l. Отметив точки М и N пересечения линии t с прямой l, найдем искомые точки пересечения прямой l с поверхностью.

Точка М будет видимой на обоих видах, так как находится на образующей, видимой на них. Точка же N будет невидимой на обоих видах, так как принадлежит невидимой образующей на этих видах.

Рис. 106

Пример 6. Построить точки пересечения сферы с прямой l (рис. 107).

Строим на поверхности сферы линию t, конкурирующую на виде сверху с прямой l. Так как всякая плоская кривая на сфере является окружностью, то и линия t будет окружностью. Чтобы избежать построения эллипса, являющегося видом спереди этой окружности, задаем дополнительный вид прямой l и окружности t по направлению (показано стрелкой), перпендикулярному прямой l. Тогда на дополнительном виде линия t изобразится окружностью. Построив также прямую l при помощи ее точек 1 и 2 и определив точки М и N пересечения линий l и t на дополнительном виде, легко найти точки пересечения прямой l со сферой на видах сверху и спереди.

В частных случаях при построении точек пересечения прямой с кривой поверхностью, когда прямая или поверхность имеют вырожденный вид, следует использовать вырождение их соответствующих видов в точку или кривую линию.

Рассмотрим это на примерах.

Рис. 107

Пример 7. Построить точки пересечения поверхности кругового конуса с прямой i, перпендикулярной профильной плоскости (рис. 108).

На виде слева искомые точки М и N совпадают с вырожденным видом i данной прямой. На виде спереди эти точки легко определяются: М – с помощью образующей S–1 конуса, N – на вырожденном виде основания конуса.

Рис. 108

Пример 8. Построить точки пересечения поверхности кругового цилиндра с прямой l (рис. 109).

Так как образующие данной цилиндрической поверхности являются фронталями, то, построив дополнительный вид по направлению этих образующих, получим вырожденный вид цилиндрической поверхности в виде окружности и прямую l, построенную по ее точкам 1 и 2.

Рис. 109

Указанное решение, в котором использован вырожденный вид цилиндрической поверхности, несравненно проще, а значит, и точнее общего решения с помощью конкурирующей линии, приведенного в примере 5. Его можно использовать и в случае цилиндрической поверхности общего вида, а также в случае конической поверхности. Для этого надо применить способ дополнительных видов. При пользовании этим способом вид проецирования, его направление (при параллельном проецировании) или центр проецирования (при центральном проецировании), а также плоскость, на которую производят проецирование, выбирают так, чтобы на дополнительном виде поверхность выродилась в линию. В этом случае легко определяются точки пересечения прямой с цилиндрической или конической поверхностями. Покажем это на двух примерах.

Пример 9. Построить точки пересечения цилиндрической поверхности с прямой l (рис. 110).

Построим дополнительный вид цилиндрической поверхности и прямой l на плоскость Г основания цилиндрической поверхности, приняв за направление проецирования s образующие цилиндрической поверхности. Тогда цилиндрическая поверхность спроецируется в кривую линию своего основания, а прямая l – в прямую l′, которая построена при помощи точек 1 и 2. Если теперь отметить на виде сверху точки М′ и N′ пересечения прямой l′ с линией основания цилиндрической поверхности, то точки М и N пересечения прямой l с этой поверхностью можно будет найти при помощи обратного проецирования.

Рис. 110

Пример 10. Построить точки пересечения конической поверхности с прямой l (рис. 111).

Построим дополнительный вид конической поверхности и прямой l на плоскость Г основания конической поверхности, приняв ее вершину S за центр проецирования. Тогда коническая поверхность спроецируется в кривую линию своего основания, а прямая l – в прямую l′.

Отметив на виде сверху точки М′ и N′ пересечения l′ с основанием конической поверхности и произведя обратное проецирование, получим искомые точки М и N.

Рис. 111

Решения последних двух примеров позволяют сделать следующий вывод: при построении точек пересечения прямой с цилиндрической или конической поверхностью целесообразно применять способ дополнительных видов, используя параллельное проецирование для цилиндрической поверхности и центральное – для конической, при этом поверхность на дополнительном виде выродится в линию и решение значительно упрощается.