§ 4. Примеры построения линий пересечения поверхностей с плоскостью

1. Рассмотрим несколько примеров построения сечений и их натуральных видов поверхностей плоскостью, причем вначале дадим примеры с многогранными поверхностями, а затем уже с кривыми поверхностями.

Пример 1. Построить сечение и его натуральный вид пирамиды SABCDE наклонной плоскостью Б (рис. 115).

Так как на виде спереди сечение в данном случае вырождается в отрезок прямой, совпадающей с вырожденным видом Б–Б плоскости Б, то можно отметить на этом виде вершины А¹, В¹, C¹, D¹ и E¹ искомого сечения. На виде сверху эти вершины находим на соответствующих ребрах; соединив их в последовательном порядке отрезками прямых, получим сечение на виде сверху.

Построение натурального вида сечения проще всего выполнить при помощи непосредственного измерения высот и широт вершин сечения. При этом высотами будем считать отрезки прямой наибольшего уклона и плоскости Б, которая в данном случае является фронталью, и поэтому эти отрезки не искажаются на виде спереди. Широты же вершин не искажаются на виде сверху, так как они располагаются на прямых, перпендикулярных фронтальной плоскости (горизонталях). Этот способ построения натуральных видов плоских фигур будем называть способом размерений.

Рис. 115

Пример 2. Построить сечение и натуральный вид сечения треугольной призмы АВСА¹В¹С¹, боковая поверхность которой на виде сверху имеет вырожденный вид, плоскостью Б (а ∩ b) общего положения (рис. 116).

Так как боковые ребра данной призмы являются вертикальными прямыми, то на виде сверху вершины D, Е и F искомого сечения совпадают с вырожденными видами самих ребер. На виде спереди вершины сечения легко определяются из условия их принадлежности секущей плоскости Б, для этого использованы прямые 1–2 и Е–3.

Натуральный вид сечения DEF легко построить, определив натуры D*E*, E°F* и D°F* сторон DE, EF и DF сечения с помощью трех прямоугольных треугольников, горизонтальные катеты которых равны соответственно этим сторонам на виде сверху, а вертикальные – соответствующим превышениям концов этих сторон друг над другом.

Рис. 116

Пример 3. Построить сечение и натуральный вид сечения треугольной призмы АВСА¹В¹С¹ плоскостью Б (М, N, Р) общего положения (рис. 117).

Чтобы найти вершины искомого сечения, строим точки пересечения боковых ребер призмы АА¹, ВВ¹ и СС¹ с данной плоскостью Б. Для этого на плоскости Б проводим три вспомогательные прямые 1–2, 3–4 и 5–6, конкурирующие на виде спереди с ребрами АА¹, ВВ¹ и СС¹. Далее строим точки пересечения вспомогательных прямых с соответствующими ребрами призмы. На ребре АА¹ получаем точку D, на ребре СС¹ – точку Е и на продолжении ребра ВВ¹ – вспомогательную точку 7. Если бы требовалось найти сечение призматической поверхности, не принимая во внимание оснований призмы, то в сечении был бы получен треугольник D–7–Е. Если же учитывать основания призмы, то в сечении получим четырех- угольник DEFG, у которого вершины F и G являются точками пересечения сторон ВС и АВ основания ABC призмы с данной плоскостью Б. Точки F и G определяют в пересечении сторон основания призмы ВС и АВ со сторонами сечения Е–7 и D–7.

Рис. 117

Так как боковые ребра призмы параллельны друг другу, то конкурирующие с ними вспомогательные прямые 1–2, 3–4 и 5–6 будут параллельны между собой. Поэтому, построив первую из них – прямую 1–2 – при помощи двух точек 1 и 2, можно каждую из остальных вспомогательных прямых строить при помощи одной точки. Так, прямую 3–4 можно построить при помощи точки 3, а прямую 5–6 – при помощи точки 5, проведя их параллельно прямой 1–2.

Для построения натурального вида сечения строим сначала натуральный вид треугольникаD–7–Е, предварительно определив с помощью трех прямоугольных треугольников натуры D*E*, D*–7* и Е°–7° его сторон, а затем, определив натуры D*G* и E°F* сторон DG и EF, откладываем их на соответствующих сторонах треугольника D–7–Е. В результате получим натуру DGFЕ искомого сечения призмы.

Пример 4. Построить сечение и натуральный вид сечения четырехугольной пирамиды SAВCD плоскостью Б общего положения, заданной параллельными прямыми а и b (рис. 118).

Рис. 118

На плоскости Б проводим четыре вспомогательные прямые 1–2, 3–4, 5–6 и 7–8, конкурирующие на виде спереди с боковыми ребрами SA, SВ, SD и SC пирамиды. В пересечении вспомогательных прямых с соответствующими ребрами пирамиды находим вершины А¹, В¹, D¹ и С¹ искомого сечения. Соединяя в последовательном порядке отрезками прямых вершины сечения с учетом видимости, получим сечение А¹В¹С¹D¹.

Для увеличения наглядности чертежа секущая плоскость Б принята непрозрачной и ограниченной параллельными прямыми.

Так как боковые ребра пирамиды пересекаются в одной точке S, то конкурирующие с ними вспомогательные прямые 1–2, 3–4, 5–6 и 7–8 будут также пересекаться в одной точке, обозначенной на чертеже цифрой 9, причем эта точка будет конкурирующей на виде спереди с точкой S. Отсюда следует, что если первую из вспомогательных прямых – прямую 1–2 – определяем точками 1 и 2, то остальные можно определить точками 3 и 9, 5 и 9, 7 и 9, не строя точек 4, 6 и 8. Построение натурального вида сечения производим способом размерений, т. е. при помощи непосредственного измерения отрезков фронталей, проведенных в плоскости сечения через его вершины А, С и D (см. правую часть рис. 118) и отрезков, отсекаемых фронталями на прямой наибольшего уклона и плоскости сечения Б по отношению к фронтальной плоскости. При этом отрезки фронталей измерялись на виде спереди, а отрезки линии наибольшего уклона – на вспомогательном чертеже, полученном с помощью прямоугольного треугольника.

2. Теперь рассмотрим примеры построения линии пересечения плоскости с поверхностью вращения и линейчатой поверхностью.

Пример 5. Построить линию пересечения поверхности вращения с данной плоскостью и определить натуральный вид сечения.

Сначала рассмотрим случай, когда секущая плоскость имеет вырожденный вид, например, является наклонной плоскостью^ Б (рис. 119).

Предварительно строим опорные точки. На главном меридиане f данной поверхности отмечаем низшую точку А и высшую точку В. На экваторе h¹ отмечаем точки С и D, они являются точками видимости для вида сверху и разделяют на этом виде искомую линию пересечения на видимую и невидимую части.

Для построения случайных точек на поверхности вращения проводим графически простые линии, которыми являются ее параллели, и отмечаем на них точки, принадлежащие секущей плоскости Б. На рис. 119 проведена параллель h², являющаяся окружностью радиуса R, и на ней отмечены точки М и N , принадлежащие плоскости Б.

Точки Е и F, найденные при помощи параллели h³, являются точками видимости для вида слева, так как они лежат на профильном меридиане поверхности.

Построение натурального вида сечения проще всего выполнить при помощи способа размерений, измеряя высоты и широты точек сечения. При этом высоты точек следует измерять на виде спереди, так как они располагаются на фронтали и, следовательно, не искажаются на этом виде, а широты – на виде сверху, так как они располагаются на прямых, перпендикулярных фронтальной плоскости (горизонталях), и поэтому не искажаются на виде сверху.

Рис. 119

Теперь рассмотрим случай пересечения поверхности вращения плоскостью общего положения Б (а ∩ b) (рис. 120).

Сначала построим опорные точки. Точки видимости А и В для вида сверху найдем в пересечении горизонтали h¹ плоскости Б, конкурирующей с экватором h² данной поверхности. Точки видимости С и D для вида спереди определятся в пересечении фронтали f¹ плоскости Б, конкурирующей с главным меридианом f² поверхности. Одновременно с этим в пересечении фронтали f¹ с осью поверхности вращения находим точку 5 пересечения этой оси с секущей плоскостью Б.

Для определения высшей и низшей точек линии пересечения проведем через точку 5 прямую наибольшего уклона и плоскости Б относительно горизонтальной плоскости, тогда точки пересечения Е и F этой прямой с поверхностью будут экстремальными точками линии пересечения. Для построения этих точек, очевидно, нужно провести на поверхности меридиан, конкурирующий с прямой и, и найти его точки пересечения с прямой и. Чтобы избежать построения этого меридиана, используем свойство, что все меридианы поверхности вращения одинаковы. Поэтому повернем вокруг оси поверхности вращения вертикальную плоскость, в которой находится меридиан и прямая и, до фронтального положения. При этом меридиан совпадет с фронтальным меридианом f², а прямая и займет положе-ние и¹. Это положение легко найти при помощи двух точек: точки 5, расположенной на оси вращения i, и поэтому неподвижной, и точки 6, которая после поворота займет положение 6¹.

Рис. 120

Точка 6 при вращении вокруг оси i опишет окружность в горизонтальной плоскости, и поэтому дуга этой окружности 6–6¹ не исказится на виде сверху, а на виде спереди изобразится горизонтальной прямой (подробно вращение вокруг прямых будет рассмотрено позже в гл. V, § 5). Прямая и в своем положении и¹ будет конкурировать с главным меридианом f² поверхности, и поэтому точки их пересечения определят экстремальные точки Е¹ и F¹ в повернутом положении. После обратного поворота получим высшую точку Е и низшую F.

Построение случайных точек линии пересечения выполняется при помощи горизонталей плоскости Б, конкурирующих с параллелями поверхности вращения. На рис. 120 проведена горизонталь h³ плоскости Б, конкурирующая с параллелью h⁴ поверхности.

При пересечении линий h³ и h⁴ получаем случайные точки М и N.

Натуральный вид сечения определяем способом размерений высот и широт точек сечения. При этом высоты точек измеряем на виде спереди по прямой и¹, повернутой до фронтального положения прямой наибольшего уклона и плоскости, а широты – на виде сверху по горизонталям этой плоскости.

Пример 6. Построить линию пересечения линейчатой поверхности (цилиндроида), заданной направляющими а и b, и фронтальной плоскости параллелизма с данной плоскостью Б (c ∩ d); определить натуральный вид сечения (рис. 121).

Направляющие а и b в данном примере являются окружностями, причем окружность а расположена в горизонтальной плоскости, а окружность b – в наклонной. Поэтому для построения образующих цилиндроида, которые в данном случае являются фронталями, непосредственно можно найти их концы на окружностях а и b либо, чтобы не пользоваться эллипсом b на виде сверху, построить дополнительный натуральный вид b этой окружности (на рисунке построена только полуокружность).

Для построения точек линии пересечения цилиндроида с данной плоскостью Б следует провести на секущей плоскости фронтали, конкурирующие с образующими цилиндроида. На рис. 121 проведена фронталь f ¹ плоскости Б, конкурирующая с двумя образующими f ² и f ³ цилиндроида. В пересечении f ^l с образующими f ² и f ³ получаем точки А и В, которые являются точками видимости для вида спереди. Аналогично находим точки видимости С и D для вида сверху при помощи фронталей f ⁴ и f ⁶ плос-кости Б, соответственно конкурирующих с образующими f ⁵ и f⁷ цилиндроида.

В пересечении фронтали f ⁸ плоскости Б, конкурирующей с образующими f ⁹ и f ¹⁰, находим случайные точки М и N искомой линии пересечения.

Натуральный вид сечения определяем способом размерений. При этом высоты точек измеряем на виде сверху по прямой и¹, повернутой до горизонтального положения прямой и наибольшего уклона плоскости, а широты – на виде спереди по фронталям плоскости.

Если секущая плоскость имеет вырожденный вид, то построение точек сечения несколько упростится, так как в этом случае нет нужды в построении на плоскости прямых, конкурирующих с образующими линейчатой поверхности.

Рис. 121

3. Рассмотренные примеры дают представление об общем методе построения линии пересечения поверхностей вращения и линейчатых поверхностей с какой-либо плоскостью.

Однако весьма часто заранее известен вид кривой, получающейся в сечении поверхности плоскостью. В этом случае линия пересечения может быть построена при помощи основных элементов, определяющих эту кривую. Так, сфера пересекается плоскостью всегда по окружности, цилиндр вращения – по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна или перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении получается соответственно пара параллельных прямых или окружность (рис. 122).

В сечении конуса вращения получаются все виды кривых второго порядка (конические сечения). Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, т. е. пересекает все образующие, то сечение представляет собой эллипс (рис. 123); в частности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается окружность; если она параллельна только одной образующей конуса, то в сечении – парабола, если же двум образующим, то в сечении – гипербола. В частности, если плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара пересекающихся в вершине прямых. Разумеется, что в случае, когда линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой окружность или эллипс, а также когда она распадается на пару прямых, можно избежать кропотливого построения линии пересечения по точкам, а провести его по основным элементам этих линий. Так как проекции окружности и эллипса являются эллипсами, то построение в этих случаях сводится к определению центров эллипсов и их осей или сопряженных диаметров. Покажем на примерах построение таких сечений.

Рис. 122 Рис. 123

Пример 7. Построить сечение и натуральный вид сечения сферы данной плоскостью.

Сначала рассмотрим случай, когда секущая плоскость является наклонной плоскостью Б (рис. 124). Так как сфера сечется плоскостью по окружности, а плоскость в данном случае является наклонной, то на виде спереди эта окружность выродится в отрезок АВ прямой Б–Б, а на виде сверху окружность изобразится эллипсом. Центр О окружности сечения легко построить, так как на виде спереди центр должен находиться посредине отрезка АВ, который дает натуральную величину d диаметра окружности. Поэтому натуральный вид сечения может быть построен сразу как окружность диаметра d.

Эллипс, являющийся изображением окружности на виде сверху, определяется своими осями АВ и CD, причем ось CD равна диаметру d окружности сечения, так как диаметр CD, являясь отрезком прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости, не искажается на виде сверху. Имея оси эллипса, можно его вычертить любым из известных способов. Однако для уточнения чертежа полезно дополнительно построить точки видимости Е и F; они легко находятся в пересечении секущей плоскости Б с экватором h сферы.

Рис. 124

Необходимо заметить, что при построении эллипса не по осям, а при помощи случайных точек, определяемых в пересечении параллелей сферы с секущей плоскостью, все же рекомендуется для уточнения эллипса строить и его оси.

Теперь рассмотрим случай пересечения сферы плоскостью общего положения Б (a ∩ h) (рис. 125).

Этот случай сводится к предыдущему построением дополнительного вида по направлению горизонтали h секущей плоскости. Тогда плоскость Б будет иметь на дополнительном виде вырожденный вид Б–Б, и поэтому сечение и натуральный вид сечения можно построить точно так же, как это сделано на рис. 124.

Рис. 125

Для построения эллипса, являющегося видом спереди сечения, следует построить на виде спереди егo диаметры АВ и СD, концы которых легко найти из условия сохранения высот точек при построении дополнительного вида. Эти диаметры эллипса будут его сопряженными диаметрами, так как являются изображениями взаимно перпендикулярных диаметров окружности, обладающих свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании окружности в эллипсе сохраняется. Имея сопряженные диаметры эллипса, можно его вычертить известным способом (с помощью описанного параллелограмма).

В дополнение к этому определены точки видимости G и Н на виде спереди. Они построены при помощи фронтали 2–3 плоскости Б, конкурирующей с главным меридианом сферы.

Пример 8. Построить сечение и натуральный вид сечения конуса вращения данной плоскостью.

Опять вначале рассмотрим случай, когда секущая плоскость является наклонной плоскостью (рис. 126).

Так как в данном случае наклонная плоскость Б пересекает все образующие конуса, то в сечении получится эллипс. На виде спереди эллипс выродится в отрезок АВ прямой Б–Б, а на виде сверху он будет эллипсом, так как ортогональная проекция эллипса также является эллипсом.

Рис. 126

Большая ось АВ эллипса-сечения является фронталью и поэтому не искажается на виде спереди. Малая же ось CD является прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости. Поэтому она на виде спереди вырождается в точку О = С = D, делящую отрезок АВ пополам (точка 0 – центр эллипса), а на виде сверху не искажается. Для построения малой оси CD на виде сверху достаточно провести на уровне точек С и D параллель h конуса; тогда СD на виде сверху будет хордой этой параллели. Теперь эллипс, являющийся видом сверху эллипса-сечения, можно построить по его осям АВ и CD; при этом большая ось АВ не искажается на виде спереди, а малая ось CD определяется при помощи случайных точек, которые можно находить, используя параллели конуса, как в случае поверхности вращения, или образующие конуса, как в случае линейчатой поверхности.

Теперь рассмотрим случай пересечения конуса вращения плоскостью общего положения Б (a ∩ h) (рис. 127).

Рис. 127

Если построить дополнительный вид сечения по направлению горизонтали h, секущей плоскости Б, то рассматриваемый случай сведется к предыдущему.

Сечение на виде сверху, являющееся эллипсом, можно построить по сопряженным диаметрам АВ и СВ. Концы этих диаметров легко находятся из условия сохранения высот относительно базовой плоскости при построении дополнительного вида. Дополнительно следует построить точки видимости Е и F на виде спереди. Эти точки найдены в пересечении с секущей плоскостью контурных образующих S–2 и S–3.

Эллипс, являющийся натуральным видом сечения, построен по его осям, при этом большая ось АВ не искажается на дополнительном виде, а малая ось CD – на виде сверху.

В заключение рассмотрим построение сечений двух технических деталей.

Пример 9. Построить линию среза головки рычага двумя фронтальными плоскостями Ф¹ и Ф² (рис. 128).

Рис. 128

Данная головка представляет собой некоторое тело вращения, ограниченное поверхностями цилиндра I, конуса II, тора III и сферы IV. После среза головки фронтальными плоскостями Ф¹ и Ф² получим переднюю и заднюю части линий пересечения (они на виде спереди совпадают). Точки линии пересечения легко строятся при помощи параллелей поверхности вращения, ограничивающей данную головку. На чертеже показано построение точек А и В при помощи параллели р, которая, являясь окружностью, расположенной в профильной плоскости, не искажается на виде слева. На чертеже также показано построение точки С – вершины гиперболы, по которой пересекается поверхность конуса. Точка С построена при помощи параллели, касающейся секущих плоскостей. На участке поверхности сферы линия пересечения является дугой окружности, и потому на этом участке построение производится не по точкам, а непосредственно циркулем.

Пример 10. Построить натуральный вид сечения данной детали наклонной плоскостью Б (рис. 129).

Для построения искомого натурального вида нет нужды в построении сечения на виде сверху, так как высоты и широты точек линий, ограничивающих сечение, непосредственно определяются по чертежу. В самом деле, высоты точек не искажаются на виде спереди, а широты точек располагаются на прямых, перпендикулярных фронтальной плоскости и, следовательно, не искажаются на виде сверху.

На чертеже показано построение точек А, В, С, D, E, F, G и Н натурального вида сечения. Эти точки построены при помощи их высот и широт. Эллипсы, которые получаются в сечениях цилиндров, построены по их осям, при этом малая ось каждого эллипса равна диаметру соответствующего цилиндра, а большая – отрезку вида Б–Б плоскости Б_у, заключенному между очерковыми образующими цилиндра.

Рис. 129