§ 2. Построение разверток пирамидальных, конических и других линейчатых поверхностей, исключая цилиндрические

1. Построение разверток указанных поверхностей приводит к многократному построению натурального вида треугольников, из которых состоит данная пирамидальная или многогранная поверхность, вписанная (или описанная) в данную коническую или линейчатую поверхность, которой заменяется эта поверхность. Так как этот способ приводит к разбивке поверхности на треугольники, то он называется способом треугольников (триангуляция).

2. Покажем применение этого способа для пирамидальных поверхностей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки таких поверхностей можно считать точными.

Пример 1. Построить полную развертку поверхности части треугольной пирамиды SABC, заключенной между плоскостью основания и секущей наклонной плоскостью Б (рис. 203).

Вначале следует построить развертку боковой поверхности всей пирамиды SABC. Так как боковые грани пирамиды являются треугольниками, то для построения ее развертки нужно построить натуральные виды этих треугольников. Для этого предварительно должны быть определены натуральные величины боковых ребер.

Боковые ребра можно определить при помощи прямоугольных треугольников, в каждом из которых одним катетом является превышение точки S над точками А, В и С, а вторым – отрезок, равный виду сверху соответствующего бокового ребра. Так как стороны нижнего основания являются горизонталями, то их натуральные величины можно измерить на виде сверху.

После этого каждая боковая грань строится как треугольник по трем сторонам. Развертка боковой поверхности пирамиды получается в виде ряда примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной .

Рис. 203

Для нанесения на развертку точек , и , соответствующих вершинам D, Е и F сечения пирамиды плоскостью Б, нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S, для чего следует перенести точки D, Е и F на соответствующие натуральные величины боковых ребер.

После построения развертки боковой поверхности усеченной части пирамиды следует пристроить к ней треугольники и , являющиеся натуральными видами оснований усеченной пирамиды.

3. Теперь рассмотрим построение разверток конических поверхностей. Несмотря на то что конические поверхности являются развертывающимися и, следовательно, имеют теоретически точные развертки, практически строят их приближенные развертки, пользуясь способом треугольников. Для этого заменяют коническую поверхность вписанной в нее поверхностью пирамиды.

Пример 2. Построить развертку боковой поверхности эллипти-ческого конуса с круговым основанием (рис. 204).

Рис. 204

В данном примере коническая поверхность заменяется поверхностью вписанной двенадцатиугольной пирамиды. Так как коническая поверхность имеет плоскость симметрии Б, то можно построить развертку только одной половины поверхности. Разделив от точки О половину окружности основания конической поверхности на шесть равных частей и определив с помощью прямоугольных треугольников натуральные величины образующих, проведенных в точки деления, строим шесть примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной . Каждый из этих треугольников строится по трем сторонам; при этом две стороны равны натуральным величинам образующих, а третья – хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления. После этого через точки , ,...разогнутого по способу хорд основания конической поверхности проводится плавная кривая.

Если на развертке надо нанести какую-либо точку М, находящуюся на поверхности конуса, то следует предварительно построить точку М* на гипотенузе S–7* прямоугольного треугольника, с помощью которого определена натуральная величина образующей S–7, проходящей через точку М. После этого следует провести на развертке прямую , определив точку из условия равенства хорд |2–7| = |–|, и на ней отложить расстояние || = |SM*|.

Пример 3. На поверхности данного конуса вращения провести геодезическую линию между ее точками A и В (рис. 205).

Рис. 205

Чтобы провести искомую геодезическую линию, необходимо предварительно построить развертку боковой поверхности конуса. Этой разверт-кой является круговой сектор, радиус которого равен натуральной величине образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса. Практически дугу сектора определяют при помощи ее хорд, которые принимают равными хордам, стягивающим дуги основания конуса. Иначе говоря, поверхность конуса заменяется поверхностью вписанной пирамиды.

Так как точки А и В расположены на передней половине поверхности конуса, то на рис. 205 построена развертка только этой половины поверхности. При помощи образующих S–7 и S–8, на которых лежат точки А и В, найдены соответствующие им точки и на развертке; при этом предварительно на очерковой образующей S–О, являющейся натуральной величиной образующих конуса, определены натуральные величины SА* и SB* расстояний точек A и В от вершины S конуса.

Если теперь соединить на развертке точки и отрезком прямой, а затем отметить на нем точки ,ипересечения с прямыми–,– и –,соответствующими образующим S–2, S–3 и S–4, то можно построить искомую геодезическую линию при помощи точек ,и. Для этого предварительно нужно построить на очерковой образующей конуса вспомогательные точки С*, D* и Е*, расстояния которых от вершины конуса равны расстояниям точек ,иот точки, а затем перенести эти вспомогательные точки на соответствующие образующие конуса. При построении на виде сверху точки D, расположенной на профильной образующей S–3, сначала найдена точка D* на очерковой образующей конуса S–О, которая затем повернута до совмещения с профильной образующей S–3.

4. В заключение этого параграфа рассмотрим построение приближенных разверток неразвертывающихся линейчатых поверхностей при помощи замены их вписанными многогранными поверхностями, состоящими из треугольников. Покажем это на следующем примере.

Пример 4. Построить развертку поверхности цилиндроида, у которого направляющими являются две одинаковые окружности, причем одна из них расположена в горизонтальной плоскости, а другая – в профильной, и плоскостью параллелизма является фронтальная плоскость Ф (рис. 206).

Так как поверхность данного цилиндроида имеет плоскость симметрии, то можно ограничиться построением развертки только одной половины поверхности.

Заменим данную поверхность вписанной в нее многогранной поверхностью, состоящей из треугольников. Для этого проводим образующие О–7, 1–8, 2–9 и т. д., учитывая, что в данном примере они являются фронталями. Концы образующих на горизонтальной окружности можно найти непосредственно делением половины этой окружности на шесть равных частей, а концы на профильной окружности можно найти с помощью построения натурального вида этой окружности на виде слева. Далее каждый элемент поверхности, ограниченный смежными образующими, разделим на два треугольника. Так, элемент, ограниченный образующими О–7 и 1–8, разделим на треугольники О–7–8 и О–1–8 и т. д. Построив натуральные виды этих треугольников так же, как это было сделано в примере 1 (см. рис. 204), и проведя через их вершины плавные кривые, получим приближенную развертку поверхности цилиндроида.

Рис. 206

Чтобы нанести на развертке какую-нибудь точку М, находящуюся на поверхности цилиндроида, необходимо провести на развертке прямую –, соответствующую образующей 14–15, на которой находится точка М, и на ней отложить расстояние –, равное расстоя- нию 15–М, измеренному на виде спереди.