§ 6. Прямые и плоскости частного положения

1. Прямые и плоскости, наклоненные к плоскостям проекций, называются прямыми и плоскостями общего положения. Прямые и плоскости, перпендикулярные, либо параллельные плоскости проекций, называются прямыми и плоскостями частного положения.

Прямые и плоскости частного положения разделяются на проецирующие^ прямые и плоскости, перпендикулярные плоскости проекций, и на прямые и плоскости уровня, параллельные плоскости проекций. Нетрудно видеть, что каждая проецирующая прямая является вместе с тем и прямой уровня, а каждая плоскость уровня – и проецирующей плоскостью.

2. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций. Прямая i, перпендикулярная плоскости проекций 2 и называемая вертикальной прямой, проецирует все свои точки на плоскость проекций 2 в одну точку i, являющуюся ее видом сверху (рис. 25). На видах спереди и слева прямая i параллельна вертикальным линиям связи.

Прямая i, будучи параллельна плоскостям проекций 1 и 3, проецируется на эти плоскости без искажения, т. е. длина |АВ| отрезка АВ может быть измерена на видах спереди и слева. Так как точки вертикальной прямой i (в том числе точки А и В) совпадают на виде сверху, то такие точки будем называть конкурирующими на вид сверху. Аналогично, прямая i, перпендикулярная плоскости проекций 1, проецирует все свои точки (в том числе точки С и D) на плоскость проекций 1 в одну точку^ i, являющуюся ее видом спереди (рис. 26). Эта прямая на виде сверху параллельна вертикальным линиям связи, а на виде слева – горизонтальным.

Рис. 25

Прямая i, будучи параллельна плоскостям проекций 2 и 3, проецируется на эти плоскости без искажения, т. е. длина |СD| отрезка CD может быть измерена на видах сверху и слева. Точки прямой, перпендикулярной плоскости проекций 1 и, в частности, ее точки С и D, называют конкурирующими на виде спереди.

Рис. 26

Наконец, прямая i, перпендикулярная плоскости 3, проецирует все свои точки, в том числе и точки Е и F (рис. 27), на плоскость проекций 3 в одну точку i, являющуюся ее видом слева; на видах спереди и сверху прямая параллельна горизонтальным линиям связи. Так как прямая i параллельна плоскостям проекций 1 и 2, то она проецируется на эти плоскости без искажения, т. е. длина |EF| отрезка ЕF может быть измерена на видах спереди и сверху. Точки прямой, перпендикулярной плоскости проекции 3 и, в частности, ее точки E и F будем называть конкурирующими на виде слева.

Рис. 27

3. Плоскости, перпендикулярные плоскости проекций. Плос-кость Б, перпендикулярная к плоскости проекций 2, называется вертикальной. Эта плоскость проецирует все свои точки на плоскость проек- ций 2 в одну прямую Б-Б, которая является видом сверху плоскости Б. На видах спереди и слева плоскость Б занимает всю плоскость чертежа^ (рис. 28).

Рис. 28

На виде сверху точка или фигура, лежащие в вертикальной плоскости Б, располагаются на прямой Б–Б. Так, прямая l, лежащая в этой плоскости, на виде сверху совпадает с видом Б–Б плоскости Б. В связи с этим говорят, что вид Б–Б вертикальной плоскости Б «собирает на себе» точки, прямые и фигуры, расположенные в этой плоскости.

Вертикальная плоскость Б вполне определяется ее одним видом сверху. Вместе с этим углы α и γ, которые образует вид Б–Б соответственно с прямой, перпендикулярной вертикальным линиям связи, и с самими линиями связи задают углы наклона плоскости Б к плоскостям проекций 1 и 3.

Плоскость Д, перпендикулярная к плоскости проекций 1, называется наклонной плоскостью, она имеет вырожденный вид Д–Д на виде спереди, а на видах сверху и слева занимает все поле чертежа (рис. 29).

На виде спереди всякие точка, прямая или фигура, лежащие в наклонной плоскости Д, располагаются на прямой Д–Д. Так, треугольник ABC, лежащий в этой плоскости, на виде спереди изображается отрезком [АВС], принадлежащим прямой Д–Д. Иначе говоря, на виде спереди наклонная плоскость Д «собирает на себе» точки, прямые и фигуры, расположенные в этой плоскости.

Рис. 29

Плоскость Д перпендикулярная плоскости 1, вполне определяется одним своим видом спереди Д–Д. Углы β и γ, которые образует вид спереди Д–Д соответственно с горизонтальными и вертикальными линиями связи, измеряют углы наклона плоскости Д к плоскостям проекций 2 и 3.

Плоскость Ж, перпендикулярная к плоскости проекций 3, на виде слева изображается прямой Ж–Ж, а на видах спереди и сверху плоскость Ж занимает все поле чертежа (рис. 30). Аналогично предыдущей ее также называют наклонной плоскостью. На виде слева всякая точка, прямая или фигура, лежащие в плоскости Ж, располагаются на прямой Ж–Ж_, которая «собирает на себе» эти оригиналы. Так, прямые i¹ и i² плоскости Ж и перпендикулярные плоскости проекций 3, на виде слева изображаются точками i¹ и i², принадлежащими виду слева Ж–Ж плоскости Ж. Плоскость Ж вполне определяется одним своим видом Ж–Ж. Углы α и β, которые образует вид Ж–Ж, соответственно с вертикальными и горизонтальными линиями связи, задают углы наклона плоскости Ж к плоскостям проекций 1 и 2.

Рис. 30

В практике очень часто прибегают к помощи плоскостей, перпендикулярных плоскостям проекций, так как различные вопросы с ними решаются весьма просто. Так, чтобы построить произвольную точку, прямую или фигуру в такой плоскости, достаточно один из видов этих фигур взять на прямой, являющейся видом плоскости (см. рис. 28, 29 и 30).

Точку и прямую, а также две прямые, расположенные в одной и той же вертикальной плоскости, называют конкурирующими на вид сверху точкой и прямой или конкурирующими на вид сверху прямыми, так как, в общем случае, на виде сверху они либо взаимно принадлежат друг другу, либо совпадают. Исключение составляют случаи точки и вертикальной прямой, а также двух вертикальных прямых. В этих случаях на виде сверху оригиналы не принадлежат друг другу и не совпадают и поэтому они не являются конкурирующими.

Аналогично точку и прямую, а также две прямые, расположенные в одной и той же плоскости, перпендикулярной плоскости 1 или 3, называют конкурирующими соответственно на вид спереди или слева точкой и прямой или прямыми. Так, каждая вершина и противоположная сторона, а также стороны треугольника АВС, расположенного в наклонной плоскости Д (см. рис. 29), являются конкурирующими на вид спереди, в то время как прямые i¹ и i², расположенные в одной и той же плоскости Ж, перпендикулярной плоскости проекций 3 (см. рис. 30), конкурирующими называть не следует.

4. Плоскости уровня. Плоскость, параллельную какой-нибудь плоскости проекций, называют плоскостью уровня, так как все точки этой плоскости одинаково удалены от соответствующей плоскости проекций. Плоскость Г, параллельную горизонтальной плоскости проекций 2, называют горизонтальной плоскостью (рис. 31), а плоскость Ф, параллельную фронтальной плоскости проекций 1, называют фронтальной плоскостью (рис. 32). Профильная плоскость П, рассмотренная в § 3, п. 2, также является плоскостью уровня по отношению к профильной плоскости проекций 3, которой она параллельна (рис. 33).

Рис. 31

Так как плоскости уровня Ф, Г и П перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, то на комплексном чертеже они могут быть заданы одним своим вырожденным видом: плоскость Ф – видом сверху или слева, плоскость Г – видом спереди или слева и плоскость П – видом спереди или сверху. При этом каждый из этих видов является прямой, перпендикулярной или параллельной соответствующим линиям связи.

Всякая фигура, лежащая во фронтальной Ф, горизонтальной Г или профильной П плоскости, проецируется без искажения соответственно на плоскости проекций 1, 2 или 3.

5. Прямые уровня. Прямая, параллельная какой-нибудь плоскости проекций, называется прямой уровня. Прямая уровня h, параллельная горизонтальной плоскости проекций 2, называется горизонталью, а прямая уровня f, параллельная фронтальной плоскости проекций 1, называется фронталью. Профильная прямая р (§ 3, п. 2) также является прямой уровня по отношению к плоскости проекций 3, которой она параллельна.

Так как горизонталь h лежит в соответствующей горизонтальной плоскости Г (см. рис. 31), то на видах спереди и слева она соответственно совпадает с вырожденными видами плоскости Г. Поэтому на комплексном чертеже горизонталь на видах спереди и слева совпадает с одной и той же горизонтальной линией связи.

Рис. 32

Рис. 33

Из условия, что фронталь f лежит в соответствующей фронтальной плоскости Ф (см. рис. 32), следует, что на видах сверху и слева она совпадает соответственно с вырожденными видами плоскости Ф. Поэтому на комплексном чертеже фронталь на видах сверху и слева соответственно перпендикулярна вертикальным и горизонтальным линиям связи.

Профильная прямая р, как уже отмечалось, на видах спереди и сверху совпадает с одной и той же вертикальной линией связи (см. рис. 33).

Прямые уровня проецируются без искажения на параллельную им плоскость проекций. Поэтому на плоскости проекций 2 горизонтали не искажаются, на плоскости проекций 1 не искажаются фронтали, а на плоскости проекций 3 – профильные прямые.

Отсюда следует, что длина |AB| отрезка АВ горизонтали h может быть измерена на виде сверху, длина |CD| отрезка CD фронтали f – на виде спереди, а длина |EF| отрезка EF профильной прямой р – на виде слева.

Одновременно с этим на виде сверху можно измерить углы α и γ наклона горизонтали h соответственно к плоскостям проекций 1 и 3 (см. рис. 31). Аналогично на виде спереди можно измерить углы β и γ наклона фронтали f соответственно к плоскостям проекций 2 и 3 (см. рис. 32), а на виде слева – углы α и β наклона профильной прямой р соответственно к плоскостям проекций 1 и 2 (см. рис. 33).

6. Плоскости общего положения. В плоскости общего положения можно провести бесчисленное множество горизонталей, фронталей и профильных прямых, при этом все горизонтали будут параллельны между собой, точно так же будут параллельны между собой фронтали и профильные прямые.

Пример. Плоскость Б задана тремя точками А, В и С. Провести в этой плоскости через одну из данных точек, например, точку А, горизонталь h и фронталь f, а через точку В – профильную прямую р.

Рис. 34

Для удобства построения, а также для большей наглядности изобра-жения перезададим плоскость Б треугольником ABC (рис. 34). Определим горизонталь h данной точкой А и вспомогательной точкой 1, причем точка 1 взята на прямой ВС так, чтобы на виде спереди она была бы перпендикулярна вертикальным линиям связи. Фронталь f проводим через точку А и точку 2, взятую на прямой ВС так, чтобы на виде сверху она была перпендикулярна вертикальным линиям связи. Таким образом, построение горизонтали начинаем на виде спереди, а построение фронтали – на виде сверху.

Профильную прямую р определим данной точкой В и точкой D, взятой на прямой АС так, чтобы она на обоих видах совпадала с одной и той же вертикальной линией связи.

Следует отметить, что так как в системе плоскостей проекций 1 и 2 профильная прямая не определяется ее видами спереди и сверху, точки В и D, которыми она определена, являются не вспомогательными, а ее основными точками. Очевидно, что через каждую точку плоскости можно провести в этой плоскости лишь одну горизонталь, одну фронталь и одну профильную прямую.

7. Задание плоскости следами. Выше были рассмотрены различные формы задания на комплексном чертеже плоскости общего положения (§ 4, п. 1). Если комплексный чертеж образован при фиксированных плоскостях проекций, то возможно задание плоскости ее следами, т. е. прямыми ее пересечения с плоскостями проекций (рис. 35). След на горизонтальной плоскости проекций 2 является не чем иным, как горизонталью h данной плоскости, а след на фронтальной плоскости проекций 1 – ее фронталью f.

Рис. 35

В общем случае следы плоскости пересекаются, и точка их пересечения F лежит на оси проекций. Задание плоскости ее следами на плоскостях проекций является частным случаем задания плоскости двумя пересекающимися прямыми. Отсюда следует, что решение всевозможных задач с плоскостями, заданными их следами, можно производить так же, как с плоскостями, заданными двумя пересекающимися прямыми уровня. Так, на рис. 35 показано построение точки М, принадлежащей плоскости Б, заданной своими следами h и f. Это построение выполнено при помощи вспомогательной прямой, определяемой точками 1 и 2, выделенными на прямых (следах) h и f данной плоскости, т. е. так же, как это делалось в случае задания плоскости тремя точками (см. § 4, п. 2).

Задание плоскости следами не находит применения в технической практике, так как требует фиксации плоскостей проекций, что без нужды вносит дополнительные усложнения. Кроме того, оно может быть и неудобно, например, когда точка схода следов или сами следы оказываются за пределами чертежа.