Краткий курс начертательной геометрии Учебное пособие

Издание пятое, переработанное и дополненное

Под редакцией доктора технических наук профессора В.И. Горячева

Редактор А.А. Сулейманова

Корректор Т.С. Самборская

Компьютерный набор Т.Б. Волкова

Компьютерная графика Т.П. Кузнецова

Компьютерная верстка Т.П. Кузнецова

Дизайн обложки Т.П. Кузнецова

Технический редактор А.Ю. Соколова

Подписано в печать 28.10.13

Формат 60х84/16 Бумага писчая

Физ. печ. л. 14,25 Усл.-печ. л. 13,25 Уч.-изд. л. 12,4

Тираж 150 экз. Заказ № 66 С – 61

Редакционно-издательский центр

Тверского государственного технического университета

170026, Тверь, наб. Афанасия Никитина, 22

Гаспар Монж. Сборник статей к двухсотлетию со дня рождения / под ред. В.И. Смирнова. Л.: Изд-во Академии Наук СССР, 1947.

Курдюмов В.И. Курс начертательной геометрии. Отд. I, ч. II. Проекция кривых линий и поверхностей. СПБ., 1898.

Здесь и дальше для большей выразительности наглядных изображений, иллюстрирующих то или иное положение курса, они выполнены в условной форме чертежей-моделей. При этом для упрощения таких изображений проекции точек даны в виде кружков.

Введение бесконечно удаленных элементов (точек и прямых) позволяет избежать исключений в геометрических положениях, связанных с понятием параллельности. Так, каждые две прямые одной плоскости всегда пересекаются в одной точке (обыкновенной или бесконечно удаленной). Каждые две плоскости всегда пересекаются по прямой (обыкновенной или бесконечно удаленной).

На рис. 6 и на всех последующих чертежах опущены индексы в обозначениях проекций то­чек и других оригиналов. Расположение видов определяется ГОСТ 2.305-68 ЕСКД.

Обычно при решении различных вопросов с профильными элементами и, в частности, с профильными прямыми и плоскостями прибегают к построению третьей проекции на профильную плоскость проекций 3, перпендикулярную к плоскостям 1 и 2, что будет рассмотрено нами дальше.

Проведение прямой линии на плоскости показано в § 3, п. 2.

^Изображение на комплексном чертеже двух пересекающихся или двух параллельных прямых показано в гл. III, § 1, п. 5.

Комплексный чертеж из двух видов иногда называют двухкартинным чертежом.

^В начертательной геометрии эту плоскость принято располагать правее оригинала. Однако в технической практике используют и вторые профильную, горизонтальную и фронтальную плоскости проекций, соответственно обозначаемые 4, 5 и 6 и расположенные левее, над и перед оригиналом. Изображение на плоскости проекций 4 называют видом справа, на плоскости 5 – видом снизу, а на плоско­сти 6 – видом сзади. Будем в дальнейшем называть плоскости проекций 1, 2, 3, 4, 5 и 6 стандартными (ГОСТ 2.305-68).

Систему координатных осей обычно рас­полагают так, чтобы координатная плоскость хОу бы­ла горизонтальной плоскостью. В соответствии с принятой нумерацией плоскостей проекций обозначение проекции точки на плоскости хОу снабжено ин­дексом 2 (рис. 22), вместе с этим на комплексных чертежах (рис. 23 и последующие) индекс в обозначениях точек и прямых опущен.

Термином «проецирующий» в дальнейшем пользоваться не будем, так как в технической практике он, как правило, не употребляется.

На рис. 26 и последующих, вплоть до рис. 313, построение видов слева произведено при помощи относительных глубин точек.

Если видом прямой является точка, а видом плоскости – прямая, то такой вид будем в дальнейшем называть вырожденным видом.

Кривые, определяемые в декартовых координатах алгебраическими урав­нениями, называются алгебраическими, причем степень уравнения является порядком кривой. Порядком алгебраической кривой определяется максимальное число точек ее пересечения с прямой. Так, кривая второго порядка пересекается со всякой прямой не более чем в двух точках.

^Это означает, что порядок плоской алгебраической кривой сохраняется при параллельном проецировании.

Построения дополнительных видов даны в главе V.

См. гл. II, § 6

В данном случае прямая а будет одновременно конкурировать с прямой р на оба вида.

Здесь и в следующих примерах секущую плоскость считаем прозрачной, чтобы не вносить излишних усложнений.

Это положение доказывается в курсе дифференциальной геометрии. Там же рассматриваются особые точки поверхности, в которых касательная плоскость или неопределенная, или же не единственная. Примером такой точки может служить вершина конической поверхности.

Так как цилиндрическая поверхность имеет вырожденный вид, то точки искомой линии пересечения можно найти при помощи образующих конической поверхности. В самом деле, в пересечении на виде слева этих образующих с вырожденным видом цилиндрической поверхности легко определяются искомые точки на виде слева.

^На рис. 140 и на последующих рисунках, иллюстрирующих пересечение поверхностей, не изображены элементы каждой из этих поверхностей, расположенные внутри другой поверхности. Иначе говоря, на этих рисунках принято, что каждая из пересекающихся поверхностей «высекает» из другой поверхности ее часть, заключенную внутри первой поверхности.

Образующие малого конуса обозначены одной цифрой, соответствующей обозначению одного их конца, а полосы обозначены двумя цифрами, соответствующими обозначениям противоположных концов разных образующих.

^Как известно, порядок линии пересечения двух алгебраических поверхностей равен произведению порядков поверхностей.

Доказательство этого положения можно найти, например, в книге Н.Ф. Четверухина и др. «Курс начертательной геометрии».

Как известно, углом между двумя кривыми называется угол между их касательными. Геометрическое преобразование, в котором сохраняются углы, называется конформным.

Этот признак развертывающейся линейчатой поверхности устанавли­вается в курсе дифференциальной геометрии.

Доказательство теоремы Польке можно найти в книге Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина «Аксонометрия», стр. 32–35.

Более строгое доказательство необходимости и достаточности упомянутого выше условия см. в книге Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина «Аксонометрия», стр. 96–97.

Построение ортогональной аксонометрии окружности, плоскость которой не параллельна ни одной из координатных плоскостей, см. в книге Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина «Аксонометрия», стр. 192–194.

На чертеже 227 и последующих чертежах опущены штрихи в обозначениях аксонометрических проекций.