§ 2. Комплексный чертеж точки

1. Наибольшее применение в технической практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций 1 располагается вертикально перед наблюдателем и поэтому называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 5а), а другая плоскость 2 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

а б

Рис. 5

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций 1 и 2 какую-нибудь точку А, тогда получим две ее проекции: фронтальную проек- цию А₁ на плоскости 1 и горизонтальную проекцию А₂ на плоскости 2.

Проецирующие прямые АА₁ и АА₂, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А₁АА₂, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х. Прямые А₁А_x и А_xА₂, являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций 1 и 2, будут перпендикулярны к оси проекций х.

Обратно, каждая пара точек А₁ и А₂, соответственно принадлежащих плоскостям 1 и 2 и расположенных на перпендикулярах к оси х, восстановленных из одной и той же точки А_х, определяет в пространстве единственную точку А. В самом деле, если провести через точки А₁ и А₂ перпендикуляры А₁А и А₂А соответственно к плоскостям 1 и 2, то они, находясь в одной плоскости А₁А_xА₂, пересекутся в некоторой точке А.

Расстояние А₂А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А, а ее расстояние А₁А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А.

2. Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций 2 c плоскостью 1, вращая плоскость 2 вокруг оси х в направлении, указанном на рис. 5а стрелкой. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 5б), состоящий из двух проекций А₁ и А₂ точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси х. Прямая А₁А₂, соединяющая две проекции точки, называется линией связи.

Полученный комплексный чертеж будет обратимым, т. е. по этому чертежу можно определить или, как говорят, реконструировать оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А₁ точки А и имея на чертеже ее глубину f =IА_xА₂I, можно реконструировать точку А. Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А₁ и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А.

3. Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил со времен Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако в технической практике нет необходимости в определении положения изображаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций. Основанием этому может служить установленное в § 1 (2) свойство 6, что проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Образование комплексного чертежа точки А при нефиксированных плоскостях проекций показано на рис. 6. В этом случае плоскости проекций 1 и 2 совмещают с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 2 лежали бы на одной прямой (рис. 6б)^. Это возможно сделать и при образовании комплексного чертежа любого множества точек, так как проекции всех проецирующих плоскостей этих точек на обеих плоскостях проекций будут параллельны, а расстояния между проекциями каждых двух из этих плоскостей на плоскостях 1 и 2 равны между собой. Для удобства чтения чертежа плоскость 2 считают расположенной ниже всех точек оригинала, а плоскость 1 – сзади всех точек оригинала.

а

б

Рис. 6

Изображение на плоскости проекции 1 в технической практике называют видом спереди, или, короче, видом 1, отображение же на плоскости проекций 2 называют видом сверху, или видом 2. Реконструи- рование оригинала по его комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, производят по его виду спереди 1 и измеренным на чертеже глубинам точек оригинала по отношению к фиксированной в произвольном положении плоскости проекции 1 (рис. 6а); на виде сверху эту плоскость обозначим знаком треугольника.

Фиксированные плоскости проекций, по отношению к которым производят какие-либо измерения, в дальнейшем будем называть базовыми плоскостями.

Таким образом, для реконструкции точки А по ее комплексному чертежу (рис. 6б) нужно восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А на виде спереди и отложить на нем от плоскости чертежа глубину f точки А, измеренную на виде сверху от базовой плоскости, отмеченной на этом виде знаком треугольника (вид сверху этой базовой плоскости будем называть базой отсчета глубин).

Конец этого перпендикуляра определит положение точки А по отношению к плоскости чертежа. Так как положение базовой плоскости выбирается произвольно, то при реконструкции оригинала по комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, его положение определяется с точностью до параллельного переноса.