§ 2. Стандартные аксонометрические системы

1. Государственный стандарт ЕСКД (ГОСТ 2.317-69) предусматривает три частных вида аксонометрических проекций: 1) ортогональную изометрию, 2) ортогональную диметрию и 3) фронтальную диметрию (косоугольную), которые ниже и будут рассмотрены.

2. Ортогональная изометрия. В изометрии показатели искажения по всем трем осям одинаковы, т. е. u = v = w. Отсюда на основании соотношений (4) следует, что cos  = cos  = cos  и  =  = , так как углы острые. Это означает, что в ортогональной изометрии натуральные координатные оси одинаково наклонены к плоскости проекций. Из конгруэнтности углов ,  и  вытекает конгруэнтность отрезков аксонометрических осей, т. е.[O'X']  [O'Y']  [O'Z] (см. рис. 217). Но тогда треугольник следов X'Y'Z' будет равносторонним. Как известно, высоты равностороннего треугольника попарно пересекаются между собой под углами в 120°. Поэтому совпадающие с ними аксонометрические оси в ортогональной изометрии образуют между собой углы по 120° (рис. 219).

Так как в ортогональной аксонометрии имеет место соотношение (3), то для ортогональной изометрии получим 3 u² = 2

На практике пользуются приведенной ортогональной изометрией, в которой показатели искажения приводятся к единице, т. е. U = V = W = 1. При этом коэффициент приведения

Это означает, что приведенная ортогональная изометрия дает подобное увеличение изображения приблизительно в 1,22 раза, т. е. масштаб такого изображения будет М 1,22 : 1.

Построение эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, производится следующим образом.

Малые оси этих эллипсов параллельны соответствующим аксонометрическим осям, а большие оси – им перпендикулярны (рис. 220). Величины этих осей в приведенной изометрии легко определить по соотношениям (5) и (6) с учетом коэффициента приведения m = 1,22. На основании первого из соотношений (5) получим, что большая ось каждого из трех эллипсов, изображающих окружности диаметра d, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, равна 1,22 d; малая ось каждого из этих эллипсов – на основании второго из соотноше- ний (5) и любого из соотношений (6), так как для изометрии

= =,

будет равна md= l,22d  0,71d.

Три эллипса, изображающие окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям, показаны на рис. 220. На выносках указаны показатели искажения соответствующих диаметров изображаемых окружностей.

Рис. 220

3. Ортогональная диметрия. В то время как ортогональная изометрия существует только одна, ортогональных диметрий можно построить бесчисленное множество. Наиболее простую и распространенную диметрию получают, если и = w и v = . Отсюда на основании соотношений (4) следует, что cos = cos  или   . Из конгруэнтности этих углов следует, что [О'X'] = [О'Z'] (см. рис. 217). Но тогда треугольник следов X'Y'Z' будет равнобедренным, равными его сторонами будут стороны X'Y' и Y'Z'.

Вычислим показатели искажения. Из соотношения (3) имеем , откудаu = 0,94, тогда w = 0,94, a v =  0,47.

При приведении к единице двух из показателей искажения u и w третий показатель v приведется к половине. Таким образом, в приведенной ортогональной диметрии показатели искажения будут U = W = 1 и V = 0,5. При этом коэффициент приведения m =  1,06. Это означает, что приведенная ортогональная диметрия дает изображение в масштабе М 1,06 : 1.

Определим взаимное расположение аксонометрических осей. Так как треугольник следов X'Y'Z' – равнобедренный, то его высота BY' является в то же время и медианой, т. е. [X'B]=[BZ'] (рис. 221).

Из прямоугольного треугольникаO'BZ' имеем: . Чтобы определить это отношение, выразим оба его члена через отрезокOZ' натуральной координатной оси z. Равнобедренный треугольник X'O'Z' является проекцией прямоугольного равнобедренного треугольника X'OZ' (см. рис. 217), поэтому |X'Z'|=|OZ'| .

Далее имеем |О'Z'| = w|OZ'|, но w =, поэтому |O'Z'| = , откуда 2|O'Z'|=. Теперь.

По найденному значению sin  определим уклоны диметрических осей х' и у' по отношению к стороне X'Y' треугольника следов, иначе говоря, определим tg  и tg  (см. рис. 221). Заметим, что tg  = tg (2 – 90°) = = ctg 2 = но tg = , поэтому tg = , a tg  = ctg  = .

Отсюда получаем следующий способ построения аксонометрических осей в ортогональной диметрии. Через точку О' проводим вспомогательную прямую, перпендикулярную к выбранной оси z' (рис. 222). В обе стороны от точки О' откладываем на этой прямой по восемь конгруэнтных между собой отрезков. В направлении, противоположном положительному направлению оси z', откладываем от левой конечной точки один такой же отрезок, а от правой конечной точки – семь отрезков. Соединив полученные точки с точкой О', получим аксонометрические оси х' и у'.

Построение эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, производится следующим образом.

Малые оси этих эллипсов так же, как и в изометрии, параллельны соответствующим аксонометрическим осям, а большие оси им перпендикулярны (рис. 223). Большая ось каждого из трех эллипсов в приведенной диметрии равна 1,06d. Чтобы определить величины малых осей, необходимо вычислить их показатели искажений. Тогда на основании второго из соотношений (5) и соотношений (6) с учетом коэффициента приведе- ния m = 1,06 получим для координатных плоскостей хОу и yOz следующие величины малых осей: md , илиmd = = l,06d .

Для координатной плоскости xOz величина малой оси будет равна md= 1,06d 0,95d.

Все три эллипса, изображающие окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям показаны на рис. 223. На выносках указаны показатели искажения соответствующих диаметров изображаемых окружностей.

4. Косоугольная фронтальная диметрия. Как уже отмечалось, широкое распространение на практике ортогональных аксонометрических проекций объясняется тем, что получаемые при этом изображения наиболее наглядны, так как для глаза привычно рассматривать предметы, расположенные прямо перед ним. Однако при построении ортогональной аксонометрии все три натуральные координатные плоскости подвергаются искажению, а на практике часто бывает полезным построение такой аксонометрической проекции, в которой хотя бы одна из координатных плоскостей не искажалась. Очевидно, что для выполнения этого условия плоскость проекций должна быть параллельной одной из координатных плоскостей. При этом уже нельзя пользоваться ортогональным проецированием, так как координатная ось, перпендикулярная указанной координатной плоскости, изобразится точкой, и изображение будет лишено наглядности, поэтому пользуются косоугольным проецированием. Если расположить плоскость проекций П' параллельно координатной плоскости xOz, то аксонометрические оси х' и z' будут взаимно перпендикулярны и показатели искажения по этим осям равны единице, т. е. и = w = 1 (рис. 224). При этом фигуры, расположенные в плоскости xOz или в плоскостях, ей параллельных, не будут

искажаться на изображении. Это обстоятельство существенно упрощает построение аксонометрической проекции оригинала, у которого имеется много различных элементов, например, окружностей, расположенных в плоскости xOz или в плоскостях, ей параллельных.

Направление аксонометрической оси у' и величина показателя искажения v по этой оси зависит от направления проецирования ОО'. В самом деле, ось у' может рассматриваться как ортогональная проекция на плоскость П' направления проецирования (OO') (рис. 224), поэтому направление оси у' зависит от направления (ОО') и может быть выбрано произвольно. Но так как для косоугольной аксонометрии имеет место соотношение (2), т. е. и² + v² + w² = 2 + ctg² φ, то, учитывая, что и = w = 1, получим v = ctg φ. Отсюда следует, что показатель искажения v, выражаясь через котангенс угла φ, может иметь любое числовое значение.

На практике направление оси у' выбирают таким, чтобы углы, образованные осью у' с осями х' и z', равнялись бы 135°, а показатель искаже- ния v = 0,5 (рис. 225). Такую косоугольную аксонометрию называют фронтальной диметрией.

Вычислим угол φ наклона проецирующих лучей к плоскости проекций во фронтальной диметрии. Так как ctg φ = v, a v = 0,5, то ctg φ = 0,5 и φ  63°. Во фронтальной изометрии, в которой и = v = w = 1, этот угол φ = arcctg 1 = 45°. Фронтальная диметрия обладает большей наглядностью, нежели фронтальная изометрия, так как в большей степени приближается к ортогональной аксонометрии, поэтому применение фронтальной диметрии рекомендовано стандартом.

Проекции трех окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных координатным, показаны на рис. 226. Окружность, расположенная в плоскости, параллельной координатной плоскости xOz, спроецируется на плоскость проекций П' без искажения, а окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям хОу и yOz, спроецируются в виде эллипсов. Эти эллипсы обычно строятся по сопряженным диаметрам. На выносках даны показатели искажения соответствующих диаметров изображаемых окружностей.

Рис. 225 Рис. 226