Глава VII аксонометрические проекции

§ 1. Общие сведения

1. Наглядное изображение. Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается необходимым иметь наряду с комплексным чертежом данного оригинала более наглядное его изображение, обладающее свойством обратимости. С этой целью применяют чертеж, состоящий только из одной параллельной проекции данного оригинала, дополненной проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесен изображаемый оригинал. Такой метод получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим методом.

Таким образом, построение аксонометрических проекций сводится к применению координатного метода на проекционном чертеже. Так как при пользовании координатным методом приходится производить измерения по координатным осям, то отсюда и получил свое название рассматриваемый метод. Слово «аксонометрия» означает буквально «осеизмерение».

2. Построение аксонометрической проекции. Выберем какую-нибудь плоскость проекций П' и спроецируем на нее по направлению s данную точку А вместе с пространственной системой координат Oxyz, к которой предварительно отнесена точка А (рис. 213). Как известно (см. гл. I, § 5, п. 5), для отнесения точки А к системе координат, называемой натуральной системой координат, необходимо построить координатную ломаную ОАхА₁А точки А. Тогда, измеряя отрезки этой ломаной единицей длины е, называемой натуральным масштабом, получим натуральные координаты точки А.

Рис. 213

В результате проецирования на плоскости П' получим проекцию А' данной точки, проекцию O'А'_хА'₁А' координатной ломаной и проекцию O'x'y'z' натуральной системы координат, на осях которой расположатся проекции е'_х, е'_у и е'_z натурального масштаба. Проекция А' называется аксонометрической проекцией точки А; проекция О'А'_Х, А'_Х А'₁ – аксонометрической координатной ломаной, а ее отрезки О'А'_х, А'_xА'₁ и А'₁А', соответственно параллельные осям х', у' и z', – аксонометрическими отрезками координат, при этом проекция А'₁ точки А₁ – вторичная проекция точки А. Проекция O'x'y'z' – аксонометрическая система координат, она состоит из аксонометрических осей х', у' и z', пересекающихся в данной точке О', называемой аксонометрическим началом координат.

Проекции е'_х, е'_у и e'_z натурального масштаба е называются аксонометрическими масштабами. В общем случае они различны, т. е. для каждой оси получается свой аксонометрический масштаб.

Для определения точки А на аксонометрическом чертеже недостаточно иметь только ее аксонометрическую проекцию А', нужно также иметь ее вторичную проекцию А'₁, причем прямая А'₁А' должна быть параллельна аксонометрической оси z' (рис. 214). В самом деле, имея точки А' и А'₁, можно будет провести через точку А'₁ прямую, параллельную оси у', в пересечении которой с осью х' получим точку А'_х, и проекция координатной ломаной О'А'_хА'₁А' будет определена.

Если измерить аксонометрические координатные отрезки натуральным масштабом е, то получим аксонометрические координаты точки А:

; ,

которые, в общем случае, отличаются от натуральных координат. Если же измерить аксонометрические координатные отрезки соответствующими аксонометрическими масштабами, то получим натуральные координаты точки А:

; ; ,

так как при параллельном проецировании натуральные координатные отрезки и натуральные масштабы по осям искажаются одинаково по каждой оси.

3. Показатели искажения. Отношения аксонометрических координат к натуральным (при одной и той же натуральной единице е) называются показателями искажения по осям. Обозначая через u показатель искажения по оси х, через v – показатель искажения по оси у и через w – показатель искажения по оси z, получим:

; ; . (1)

Обычно в практических вопросах аксонометрические координатные отрезки измеряют натуральным масштабом е. Поэтому построение аксонометрического чертежа производится не по аксонометрическим масштабам, а по заданным показателям искажения u, v и w. Так, для построения аксонометрического чертежа точки А относим ее к натуральной системе координат и определяем ее натуральные координаты. Имея показатели искажения по осям, можно по натуральным координатам точки А найти при помощи соотношений (1) ее аксонометрические координаты:

x' = ux, y' = vy, z' =wz.

Построив на чертеже аксонометрические оси координат и аксонометрическую координатную ломаную, длины координатных отрезков которой выражаются аксонометрическими координатами х', у' и z', получим аксонометрический чертеж точки А. Для реконструкции точки А измеряем аксонометрические координатные отрезки натуральным масштабом е, определяя тем самым аксонометрические координаты. При помощи соотношений (1) находим натуральные координаты:

; ; ,

по которым при помощи натурального масштаба е определяется положение точки А по отношению к выбранной системе координат.

4. Виды аксонометрии. В зависимости от сравнительной величины показателей искажения по осям различают три вида аксонометрических проекций:

1. Если все три показателя искажения по осям равны между собой: u = v = w, то аксонометрическая проекция называется изометрией.

2. Если два показателя искажения равны между собой и отличаются от третьего показателя: u = v  w или v = w  u, или w = u  v, то аксонометрическая проекция называется диметрией.

3. Если все три показателя искажения по осям различны: u  v, v  w и w  u, то аксонометрическая проекция называется триметрией.

В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций П' аксонометрические проекции разделяются на ортогональные, когда направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекций.

5. Основное предложение аксонометрии. Различным положениям натуральной системы координат по отношению к плоскости проекций и различным направлениям проецирования будут соответствовать различные положения аксонометрических осей (исключая случай их совпадения) и различные длины аксонометрических масштабов. Отсюда возникает естественный вопрос о том, с какой степенью произвола могут быть заданы на чертеже аксонометрические оси и аксонометрические масштабы.

Этот вопрос полностью решается основным предложением аксонометрии (теорема Польке), на основании которого система аксонометрических осей, а также аксонометрических масштабов на них может быть задана совершенно произвольным образом^. Иначе говоря, всегда найдется такое положение прямоугольной системы натуральных координат в пространстве и такой размер натурального масштаба по осям, а также такое направление проецирования, что любая аксонометрическая система (например, такого вида, как изображенная на рис. 215) окажется параллельной проекцией натуральной системы.

Необходимо еще отметить, что если аксонометрические масштабы можно задавать совершенно произвольно, то делать этого по отношению к показателям искажения нельзя, так как уголφ, образованный направлением проецирования с плоскостью проекций, и показатели искажения и, v, w связаны соотношением

u²+ v² + w² = 2 + ctg² φ (2)

Таким образом, при заданном направлении проецирования показатели искажения не являются независимыми, будучи связанными соотношением (2).

В случае ортогональной аксонометрии, когда угол φ = 90° и, следовательно, ctg φ = 0, соотношение (2) принимает вид

u² + v² + w² = 2. (3)

6. Пример построения произвольной аксонометрии. Построить аксонометрическую проекцию отрезка AB, заданного своим комплексным чертежом.

Отрезок АВ отнесем к натуральной системе координат, для этого на комплексном чертеже отрезка АВ зададим координатные оси (рис. 216а). Измеряя натуральным масштабом е = 1 мм координатные отрезки ОА_х и ОВ_х на оси х, отрезки А_хА и В_хВ на видах спереди и сверху, получим натуральные координаты точек А и В: х₁ = 40; х₂ = 4; y₁ = 12; y₂ = 24; z₁ = 44; z₂ = 12. Теперь строим аксонометрическую систему координат. Для этого на основании теоремы Польке проводим три произвольные прямые х', у' и z', пересекающиеся в одной и той же точке О' (рис. 216б). Далее выбираем показатели искажения по осям. Пусть и = 1; v = 0,5 и w = 1,5. Необходимо отметить, что произвольно можно задавать только отношения показателей искажения и : v : w, если же заданы сами показатели искажения, то это означает, что аксонометрический чертеж будет подобно преобразован. При таком преобразовании чертежа его наглядность нисколько не пострадает, так как вид изображения не изменится, а изменятся только его размеры.

а

б

Рис. 216

Зная натуральные координаты точек, легко определить при помощи соотношений (1) значения их аксонометрических координат:

x'₁ = ux₁ = 1  40 = 40; y'₁ = vy₁ = 0,5  12 = 6; z'₁ = wz₁ = 1,5  44 = 66;

x'₂ = ux₂ = 1  4 = 4; y'₂ = vy₂ = 0,5  24 = 12; z'₂ = wz₂ = 1,5  12 = 18.

Построив две аксонометрические координатные ломаные О'А'_хА'₁А' и О'В'_хВ'₁В', у которых координатные отрезки соответственно равны вычисленным значениям, получим аксонометрический чертеж отрезка АВ (см. рис. 216б).

Несмотря на то что полученный аксонометрический чертеж выполнен только с точностью до подобия, его легко реконструировать, даже не зная коэффициента подобия. В самом деле, имея показатели искажения по осям и = 1; v = 0,5; w =1,5 и измерив натуральным масштабом е = 1 мм аксонометрические координатные отрезки точек А и В, можно при помощи соотношений (1) определить натуральные координаты искомых точек и тем самым реконструировать отрезок АВ относительно натуральной системы координат.