Глава VI развертки поверхностей
§ 1. Общие понятия о развертывании поверхностей
1. Представляя поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой пленки, можно говорить о таком преобразовании поверхности, при котором она совмещается с плоскостью без складок и разрывов. Следует указать, что далеко не каждая поверхность допускает такое преобразование. Ниже будет показано, какие типы поверхностей возможно совместить с плоскостью при помощи изгибания, без растяжения и сжатия.
Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися, а фигура на плоскости, в которую поверхность преобразуется, называется разверткой поверхности.
Построение разверток поверхностей имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала. При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей. Более подробно это будет показано дальше на отдельных примерах.
2. Теперь дадим более строгое определение развертывающейся поверхности и ее развертки, которое позволит рассмотреть геометрические свойства этих понятий.
Поверхность
В
называется
развертывающейся
на плоскость S,
если между их точками
М и
(рис. 201)
можно
установить взаимно-однозначное
соответствие, при котором сохраняются
длины линий, расположенных на поверхности,
величины углов между линиями и площади
фигур, ограниченных замкнутыми линиями.
Таким
образом, если обратиться к рис. 201, то
длина S
дуги АВ будет
равна
длине
дуги
,
угол
φ равен углу
и
площадь
F
равна
площади
.
Указанные свойства вытекают из представления поверхности в виде нерастяжимой пленки, и поэтому при ее изгибании все эти свойства сохраняются.
Если
какой-нибудь дуге CD,
расположенной
на поверхности, соответствует на
развертке отрезок прямой
,
то дуга CD
будет
кратчайшей из
всех дуг на поверхности, проведенных
между точками С
и D.
Рис. 201
Кратчайшие линии на поверхности называются геодезическими линиями.
3. Выясним теперь, какие виды поверхностей принадлежат к типу развертывающихся. Очевидно, что к этому типу относятся все многогранные поверхности. Разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех ее граней. Поэтому построение развертки многогранной поверхности сводится к определению натурального вида ее отдельных граней.
Из кривых поверхностей к числу развертывающихся относятся только те линейчатые поверхности, у которых касательная плоскость касается поверхности во всех точках ее прямолинейной образующей. Иначе говоря, у развертывающейся линейчатой поверхности касательная плоскость во всех точках одной и той же образующей постоянна. Если же у линейчатой поверхности в различных точках одной и той же образующей разные касательные плоскости, то она не развертывается и называется косой поверхностью.
Таким образом, к числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилиндрические (рис. 202а), конические (рис. 202б) и торсы (рис. 202в). Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость, и поэтому при необходимости изготовления этих поверхностей из листового материала их приближенно заменяют развертывающимися поверхностями.
Рис. 202