§ 6. Способ вращения вокруг прямой уровня (способ совмещения)

1. Вращение точки. Рассмотрим вращение какой-либо точки А вокруг горизонтали. Точка А, вращаясь вокруг горизонтали h, опишет окружность в плоскости Б, перпендикулярной к оси вращения h. Эта плоскость будет вертикальной плоскостью и поэтому будет иметь вырожденный вид Б–Б сверху, перпендикулярный к горизонтали h.

Для упрощения чертежа плоскость проекций 2 зафиксирована на уровне горизонтали h (рис. 195а).

а

б

Рис. 195

Таким образом, окружность, которую описывает при своем вращении точка А, изобразится на виде сверху отрезком прямой. На виде спереди эта окружность изобразится эллипсом, так как она расположена в плоскости Б, наклоненной к плоскости 1.

Если ограничить вращение точки А и поставить целью нахождение только совмещения А с горизонтальной плоскостью Г, проведенной на уровне горизонтали h, то Ā легко построить, определив радиус вращения r точки А.

В самом деле, на виде сверху совмещение Ā точки А расположится на виде Б–Б плоскости Б на расстоянии, равном радиусу вращения r точки А, от центра вращения 0.

Натуральную величину радиуса вращения r можно определить по способу прямоугольного треугольника (см. гл. I, § 3, п. 4). Так, в прямоугольном треугольнике АА⁰О (рис. 195а) радиус вращения r является гипотенузой, а катетами этого треугольника соответственно являются вид сверху радиуса вращения r и высота h = |АА⁰| точки А относительно горизонтальной плоскости Г.

Выполнение построений на комплексном чертеже показано на рис. 195б. Проводим через точку А на виде сверху прямую Б–Б  h. В пересечении Б–Б и h находим на виде сверху центр вращения О. При помощи прямоугольного треугольника ОАА*, в котором катетом ОА является вид сверху радиуса вращения точки А, а катетом АА * – высота h точки А относительно плоскости Г, находим натуральную величину радиуса вращения r точки А. Откладывая на прямой Б–Б от точки О натуральную величину радиуса вращения r, получим на виде сверху искомое совмещение Ā точки А.

На рис.195б показано также построение центра вращения О, радиуса вращения [ОА] и совмещения Ā точки А на виде спереди. Однако построение указанных элементов на виде спереди не является необходимым, и их не показывают на чертеже.

Вращение точки вокруг фронтали производится аналогичным образом.

2. Вращение плоскости. Рассмотрим теперь вращение плоскости вокруг прямой уровня до ее совмещения с плоскостью уровня. Целью такого совмещения может являться либо определение натуральной формы и размеров любой фигуры, расположенной в совмещаемой плоскости, либо построение в данной плоскости фигуры наперед заданной формы и размеров.

Пусть требуется повернуть плоскость Б (ABC) общего положения вокруг какой-нибудь ее горизонтали до совмещения с горизонтальной плоскостью уровня (рис. 196).

Проводим в данной плоскости через ее точку С горизонталь h. Выбирая эту горизонталь в качестве оси вращения, добиваемся двух преимуществ. Во-первых, точка С будет неподвижной при вращении, и поэтому С = , а во-вторых, совмещение () не будет накладываться на вид сверху АВС. Определим на виде сверху совмещение точки А с плоскостью уровня Г, проведенной через горизонталь h. Для этого через точку А проводим прямую Д–Д  h и откладываем на ней от точки О натуральную величину радиуса вращения r, которую предварительно определяем с помощью прямоугольного треугольника ОАА*.

Находим на виде сверху совмещение точки В; при этом можно не определять радиус вращения точки В, а использовать неподвижную точку 1 прямой АВ. Совмещение определится в пересечении прямой А–1 с вырожденным видом Ж–Ж плоскости Ж, в которой происходит вращение точки В.

Рис. 196

Так как плоскость Б совмещена с горизонтальной плоскостью уровня Г, то треугольник дает натуральную форму и размеры треугольника ABC, определяющего плоскость Б.

Таким образом, при вращении какой-либо плоской фигуры вокруг ее прямой уровня необходимо определить радиус вращения для построения совмещения только одной точки. Совмещение остальных точек можно построить, не определяя их радиусов вращения, а используя неподвижные точки прямых, на которых находятся эти точки.

3. Измерение углов. Способ вращения вокруг прямой уровня имеет ограниченное применение. Но им выгодно пользоваться для определения натуральной формы и размеров любой плоской фигуры. Кроме этого, указанный способ целесообразно применять при определении натуральных величин углов между прямыми, плоскостями, а также между прямой и плоскостью. Покажем это на примерах.

Пример 1. Определить натуральную величину угла между двумя скрещивающимися прямыми а и b (рис. 197). Через произвольную точку М пространства проводим прямые с и d, соответственно параллельные данным прямым а и b. Тогда, как известно, угол между прямыми с и d и будет углом между данными скрещивающимися прямыми.

Рис. 197

Для определения натуральной величины угла между пересекающимися прямыми сиdповернем плоскость угла, например, вокруг фронтали f этой плоскости до совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня Ф, проходящей через фронталь f.

На виде спереди совмещение вершиныМ искомого угла определится на вырожденном виде Б–Б наклонной плоскости Б, в которой происходит вращение точки М. Определив с помощью прямоугольного треугольника ОММ* натуральную величину радиуса вращения r и отложив ее на вырожденном виде Б–Б от центра вращения 0, получим на виде спереди искомое совмещение точкиМ. Соединив точку с неподвижными точками1 и 2, найдем совмещения ипрямых с и d. Угол φ между прямыми иопределит натуральную величину искомого угла между прямыми с и d или, что то же самое, между прямыми а и b.

Пример 2. Определить натуральную величину двугранного угла, образованного плоскостями Б (ABC) и Д (а // b) (рис. 198).

Если ребро двугранного угла задано, то можно определить натуральную величину этого угла способом дополнительных видов, построив вырожденный вид ребра (см. § 4, пп. 1–3).

В данном случае, как и во многих других, ребро двугранного угла не задано на чертеже и нет необходимости его находить, т. е. строить прямую пересечения данных плоскостей. В самом деле, проведя из какой-нибудь точки пространства М перпендикуляры п¹ и п² к плоскостям Б и Д, мы получим в плоскости этих перпендикуляров при точке М два плоских угла φ и ψ, соответственно равные линейным углам двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями Б и Д. Определив натуральные величины углов между перпендикулярами п¹ и п² путем вращения вокруг прямой уровня (см. первый пример), мы решим поставленную задачу без построения ребра двугранного угла (рис. 198а).

а

б

Рис. 198

Решение на комплексном чертеже показано на рис. 198б. Вначале в плоскостях Б и Д строим горизонтали h¹ и h² и фронтали f¹ и f². Далее проводим перпендикуляры n¹ и n² к плоскостям Б и Д, при этом на виде спереди n¹  f¹ и n²  f², а на виде сверху n¹  h¹ и n²  h². Направления этих перпендикуляров определены в левой части рисунка, а затем они проведены через произвольную точку М пространства, проекции которой выбраны в правой части рисунка.

Вращая плоскость угла этих перпендикуляров вокруг горизонтали h³ до совмещения с горизонтальной плоскостью Г, определим на виде сверху при совмещении два значения φ и ψ искомого угла между плоскостями.

Пример 3. Определить натуральную величину угла φ, образованного прямой l с плоскостью Б (рис. 199).

Если из какой-нибудь точки М прямой l опустить перпендикуляр п на плоскость Б, а затем соединить точки К и L пересечения прямых l и п с плоскостью Б, то угол MKL между прямой l и ее проекцией KL на плоскость Б будет искомым углом φ (рис. 199а).

Однако при выполнении указанных построений на комплексном чертеже возникают излишние усложнения, так как приходится находить точки К и L пересечения прямых l и n с плоскостью Б. Их можно избежать, если определить натуральную величину ψ угла KML между прямой l и перпендикуляром п. Этот угол является дополнительным к искомому углу φ до 90°. Поэтому после определения натуральной величины угла ψ путем вращения вокруг прямой уровня (см. первый пример) остается его дополнить до прямого угла, и это дополнение даст натуральную величину искомого угла φ.

а

б

Рис. 199

Определение угла φ на комплексном чертеже показано на рис. 199б. Плоскость Б задана параллельными прямыми а и b. В этой плоскости проведены горизонталь h и фронталь f. Затем через произвольную точку М прямой l проведен перпендикуляр n к плоскости Б, при этом на виде спереди n  f, а на виде сверху n  h. Далее вращением вокруг горизонтали h¹ плоскости угла прямых l и n до совмещения с плоскостью Г определена натуральная величина угла ψ, дополнительного искомому углу φ. И, наконец, построен угол φ.

4. В заключение рассмотрим пример применения способа вращения вокруг прямой уровня для построения в данной плоскости общего положения наперед заданной фигуры.

Пример 4. В плоскости Б, заданной пересекающимися прямыми l и m, построить правильный шестиугольник со стороной, равной а, и с центром в точке О, заданной на виде спереди (рис. 200).

Рис. 200

Сначала повернем данную плоскость вокруг ее горизонтали h до совмещения с горизонтальной плоскостью Г, проведенной через горизонталь. Для этого строим на виде сверху совмещение точки М, определяя радиус вращения r точки М с помощью прямоугольного треуголь- ника QММ*. Соединяя на виде сверху совмещение точки М с неподвижными точками 1 и 2, получим совмещения и прямых l и m.

Точку 0 на виде сверху и совмещение центра окружности О находим с помощью прямой плоскости Б, параллельной прямой m и определяемой неподвижной точкой 3.

Далее, при помощи окружности с центром в точке и радиусома строим правильный шестиугольник Ā, который является совмещением искомого шестиугольника. Затем обратными построениями плоскость Б возвращена в исходное положение и найдены сначала вид сверху, а потом и вид спереди шестиугольника. При этом для отыскания вершин шестиугольника использованы прямые плоскости Б, параллельные прямой m и определяемые неподвижными точками 3, 4 и 5 горизонтали h.

5. Рассмотренные в настоящем параграфе примеры сводятся к построению натурального вида плоской фигуры. Решение этих примеров осуществлялось при помощи способа вращения вокруг прямой уровня или, проще сказать, способа совмещения. Однако в гл. III, § 4 при построении натурального вида плоской фигуры применялся способ размерений, при котором производились непосредственные измерения высот и широт точек, определяющих плоскую фигуру. При этом высоты измерялись по прямой наибольшего уклона плоской фигуры, а широты – по соответствующим прямым уровня.

При сравнении способа совмещения со способом размерений можно заметить некоторую общность построений, совершаемых при пользовании этими способами. Но способ размерений не требует каких-либо преобразований, и он удобнее для пользования, так как его выполнение может быть произведено в любом свободном месте чертежа.

Таким образом, из рассмотрения основных способов преобразования чертежа можно сделать некоторые выводы о целесообразности применения того или иного способа при решении конкретной метрической задачи.

Очевидно, что при решении пространственных метрических задач целесообразным является применение способа дополнительных видов. При решении плоских метрических задач и задач, сводимых к ним, используется способ вращения вокруг прямой уровня или, что еще удобнее, способ размерений.