§ 4. Основные задачи, решаемые способом дополнительных видов

1. Рассмотрим четыре основные задачи, к которым сводится решение различных задач способом дополнительных видов.

Первая задача. Построить дополнительный натуральный вид данной прямой l общего положения.

Чтобы получить натуральный вид данной прямой, надо сделать эту прямую прямой уровня, а для этого следует построить дополнительный вид прямой l по направлению какой-нибудь прямой уровня, перпендикулярной прямой l. Выберем горизонтальное направление проецирования, перпендикулярное данной прямой (это направление показано на рис. 174 стрелкой).

При этом проецировании сохраняются высоты точек относительно горизонтальной плоскости, отмеченной на рисунке знаком треугольника. Поэтому при выполнении построений на комплексном чертеже проводим в выбранном направлении, показанном стрелкой, новые линии связи через две произвольные точки 1 и 2 прямой l.

Рис. 174

Далее проводим базы отсчета высот перпендикулярно к старым и новым линиям связи соответственно. Эти базы на рисунке отмечены знаком треугольника. При этом для удобства отсчета высот базовая плоскость проведена на уровне точки 1, поэтому высота этой точки h₁ = 0 и, следовательно, на новом виде точка 1 будет находиться на базе. Отложив на новой линии связи точки 2 от базы нового вида высоту h этой точки, получим точку 2 на новом виде. Проведя через точки 1 и 2 прямую l, получим новый вид этой прямой.

Прямая l относительно соответствующей вертикальной плоскости будет прямой уровня.

На новом виде прямая l не искажается, а угол β, образованный новым видом прямой l с базой этого вида, дает натуральный угол наклона прямой l к горизонтальной плоскости.

Очевидно, что рассмотренную задачу можно решать и с помощью дополнительного вида, построенного по фронтальному направлению проецирования, перпендикулярному прямой l. Соответствующие построения показаны на рис. 175. Новые линии связи здесь проводились в выбранном направлении проецирования, показанном стрелкой, через точки 1 и 2 прямой l. На этих линиях связи строились точки 1 и 2 на новом виде так, чтобы их глубины относительно фронтальной базовой плоскости, отмеченной на чертеже знаком треугольника, не изменились.

Прямая l относительно соответствующей наклонной плоскости будет прямой уровня, и по­этому на новом виде изобразится без искажения, а угол α, образованный ее новым видом, с базой этого вида дает натуральный угол наклона прямой l с фронтальной плоскостью.

2. Вторая задача. Построить дополнительный вырожденный вид данной прямой уровня l.

Если прямая l является горизонталью, то, построив ее дополнительный вид по направлению проецирования, совпадающему с направлением прямой, получим на дополнительном виде вырождение прямой l в точку.

На комплексном чертеже (рис. 176) проводим новые линии связи через две произвольные точки 1 и 2 прямой l на виде сверху в выбранном направлении, показанном стрелкой. Эти линии связи в данном случае совпадают на виде сверху с прямой l.

Рис. 175 Рис. 176

Далее для удобства отсчета высот проводим горизонтальную базовую плоскость на уровне данной горизонтали. На рисунке эта плоскость обозначена знаком треугольника. Так как высоты обеих точек 1 и 2 равны нулю, то на дополнительном виде эти точки расположатся на базе дополнительного вида. Таким образом, получаем дополнительный вырожденный вид прямой l в виде точки 1 = 2 = l.

Если данная прямая l является фронталью, то для получения ее дополнительного вырожденного вида нужно применить фронтальное направление проецирования, при этом сохраняются глубины точек, определяющие прямую, относительно фронтальной базовой плоскости.

3. Для того чтобы построить дополнительный вырожденный вид прямой общего положения, нужно последовательно решить рассмотренные первую и вторую задачи.

Соответствующие построения на комплексном чертеже показаны на рис. 177. Вначале построен первый дополнительный вид по горизонтальному направлению проецирования, перпендикулярному прямой l. Это направление на рисунке показано первой стрелкой. При этом сохраняются высоты точек относительно горизонтальной плоскости, проведенной на уровне точки 1 и отмеченной на чертеже знаком треугольника.

Затем построен второй дополнительный вид по направлению проецирования, совпадающему с данной прямой. При этом сохраняются расстояния точек относительно вертикальной базовой плоскости, отмеченной на чертеже зачерненным треугольником и проведенной для простоты через прямую l. В результате получим второй дополнительный вырожденный вид прямой 1 = 2 = l.

4. Третья задача. Построить дополнительный вырожденный вид данной плоскости Б (А, В, С) общего положения.

Если провести в данной плоскости какую-нибудь прямую уровня, например, горизонталь h (рис. 178), то, построив дополнительный вид по направлению проецирования, параллельному этой горизонтали, получим на дополнительном виде вырождение горизонтали h в точку, а плоскости Б – в прямую.

1

2

Рис. 177 Рис. 178

На комплексном чертеже проводим новые линии связи через точки А, В и С на виде сверху в направлении горизонтали h, показанном стрелкой. Далее проводим горизонтальную базовую плоскость на уровне гори- зонтали h и отмечаем ее на рисунке знаком треугольника. На соответствующих новых линиях связи строим точки А, В и С на дополнительном виде так, чтобы их высоты относительно базовой плоскости не изменились. При этом, так как точка С находится над горизонтальной базовой плоскостью, а точка В – под ней и, как говорят, на виде спереди точка С расположена в сторону своего вида, а точка В – чужого вида (вида сверху), то и на дополнительном виде точки С и В должны располагаться от базы в сторону своего (дополнительного) вида и чужого вида (вида сверху). На дополнительном виде точки А, В и С лежат на одной прямой Б–Б, которая и будет вырожденным видом плоскости Б.

Угол β, образованный вырожденным видом Б–Б плоскости Б с базой отсчета на дополнительном виде, дает натуральный угол наклона плоскости Б к горизонтальной плоскости.

Аналогично можно определить и угол наклона плоскости Б к фронтальной плоскости, только тогда нужно построить дополнительный вид по направлению проецирования, параллельному фронтали плоскости Б.

5.Четвертая задача. Построить натуральный вид плоскости Б (А, В, С) перпендикулярно какой-нибудь плоскости уровня.

Пусть плоскость Б перпендикулярна горизонтальной плоскости (рис. 179), т. е. будет вертикальной плоскостью. Построим ее дополнительный натуральный вид по направлению горизонтали, перпендикулярной плоскости Б.

Рис. 179

Чтобы решить эту задачу, на комплексном чертеже проводим новые линии связи через точки А, В и С на виде сверху в направлении, показанном на чертеже стрелкой.

Затем принимаем за базовую горизонтальную плоскость, отмеченную на чертеже знаком треугольника и проведенную на уровне самой низкой точки С, тогда высота этой точки будет равна нулю. Измерив на виде спереди от базы этого вида высоты данных точек, отложив их от базы дополнительного вида на соответствующих новых линиях связи, получим точки А, В и С на дополнительном виде.

На дополнительном виде треугольник АВС, определяющий плоскость Б, дает натуральный вид этого треугольника.

Если данная плоскость Б будет наклонной, то для построения ее натурального вида нужно построить ее дополнительный вид по фронтальному направлению проецирования, перпендикулярному плоскости Б.

6. Для того чтобы построить натуральный вид плоскости Б (А, В, С) общего положения, нужно последовательно решить рассмотренные третью и четвертую задачи. Соответствующие построения на комплексном чертеже показаны на рис. 180. Вначале построен первый дополнительный вид по направлению проецирования, параллельному горизонтали h плоскости Б. Это направление на чертеже показано стрелкой.

При этом сохраняются высоты точек относительно горизонтальной плоскости, проведенной на уровне горизонтали h и показанной на рисунке знаком треугольника. Затем построен второй дополнительный вид по направлению проецирования, перпендикулярному плоскости Б и показанному на рисунке второй стрелкой. При этом сохраняются расстояния точек относительно второй вертикальной базовой плоскости, проведенной через точку С и отмеченной на чертеже зачерненным треугольником. Плоскость Б будет плоскостью уровня относительно второй дополнительной плоскости проекций, поэтому второй дополнительный вид дает натуральный вид плоскости Б, а значит, треугольник АВС на этом виде будет натуральным видом этого треугольника.

7. Рассмотрим ряд примеров, решение которых сводится к решению указанных четырех основных задач.

Пример 1. Из точки А опустить перпендикуляр на прямую l общего положения (рис. 181).

Если сделать прямую l прямой уровня, построив дополнительный вид по горизонтальному направлению проецирования, перпендикулярному прямой l (см. первую основную задачу), то нетрудно провести искомый перпендикуляр, так как перпендикулярность к прямой уровня сохранится на дополнительном виде. Поэтому, опустив на дополнительном виде из точки А перпендикуляр на прямую l, получим искомый перпенди- куляр [АВ] на этом виде. Теперь легко построить этот перпендикуляр на видах сверху и спереди (сравнить указанное решение с решением, приведенным на рис. 170).

Натуральную величину перпендикуляра [АВ] можно найти способом прямоугольного треугольника.

Рис. 180 Рис. 181

Пример 2. Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых а и b.

Среди бесчисленного множества прямых, перпендикулярных к двум данным скрещивающимся прямым, имеется только один общий перпендикуляр, пересекающий данные прямые. Отрезок [KL] (рис. 182а) между точками пересечения этого перпендикуляра с данными прямыми является кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Если спроецировать прямые а и b на плоскость П', перпендикулярную к одной из данных прямых, например, к прямой а, то эта прямая спроецируется в точку а'. Общий перпендикуляр [KL] прямых а и b, будучи перпендикулярен к прямой а, будет прямой уровня по отношению к плоскости П'. Поэтому прямой угол между прямыми [KL] и b спроецируется на эту плоскость также в прямой угол, т. е. [K′L′]  b', а сам отрезок спроецируется без искажения, т. е. |KL| = |K′L′|.

Таким образом, для решения этого примера нужно для одной из данных прямых, например, прямой а, построить вырожденный вид (см. первую и вторую основные задачи). Прежде всего определяем прямую а двумя точками 1 и 2, а прямую b – точками 3 и 4, выбранными для простоты построения так, что на виде спереди 1 = 3, а на виде сверху 2 = 4 (рис. 182б). Теперь построим дополнительный вид по горизонтальному направлению проецирования, перпендикулярному прямой а и показанному на рисунке первой стрелкой. Тогда получим натуральный вид прямой а (см. первую основную задачу). Затем построим второй дополнительный вид по направлению прямой а, показанному на рисунке второй стрелкой. На этом виде прямая а выродится в точку (см. вторую основную задачу). Опустив перпендикуляр на втором дополнительном виде из точки, в которую выродилась прямая а, на прямую b, получим общий перпенди- куляр [KL] скрещивающихся прямых а и b, который определяет натуральную величину кратчайшего расстояния между этими прямыми.

а

б

Рис. 182

Для построения перпендикуляра [KL] на видах сверху и спереди находим сначала на первом дополнительном виде точку L на прямой b, а затем проводим [KL] перпендикулярно прямой а (рис. 182а, б). Теперь уже нетрудно построить искомыйперпендикуляр [KL] на видах сверху и спереди.

Пример 3. Из точки М опустить перпендикуляр на плоскость Б (ABC) общего положения.

Если спроецировать плоскость Б на плоскость П′, перпендикулярную к плоскости Б, то эта плоскость спроецируется в прямую Б′ (рис. 183а).

а

б

Рис. 183

Перпендикуляр MN, опущенный из точки М на плоскость Б, будет линией уровня по отношению к плоскости П′. Поэтому перпендикуляр MN спроецируется на плоскость П′ без искажения, т. е. |MN| = |M′N′|, причем M′N′  Б′.

Таким образом, для решения данного примера нужно построить дополнительный вырожденный вид плоскости Б (см. третью основную задачу). За направление проецирования выбираем направление какой-либо горизонтали h плоскости Б (рис. 183б). Тогда на дополнительном виде получим вырожденный вид Б–Б плоскости Б. Опустив из точки М на дополнительном виде перпендикуляр на вырожденный вид Б–Б плоскости Б, получим искомый перпендикуляр на этом виде, который определяет натуральную величину перпендикуляра [МN].

На виде сверху проводим [МN]  h. Для построения перпенди- куляра [МN] на виде спереди определяем его основание N из условия сохранения высоты точки N при построении дополнительного вида.

Для контроля точности построения точки N на видах сверху и спереди проверяем принадлежность точки N плоскости Б.

Пример 4. Построить сечение и натуральный вид сечения пирамиды SABC плоскостью Б (MNP) общего положения (рис. 184).

h

h

Рис. 184

Искомое сечение можно построить, определяя вершины сечения как точки пересечения ребер пирамиды с данной плоскостью общего положения. Но так как кроме сечения требуется построить и его натуральный вид, то целесообразно использовать способ дополнительных видов. Сначала следует построить вырожденный вид плоскости Б (см. третью основную задачу), а затем дополнительный натуральный вид этой плоскости (см. четвертую основную задачу). Тогда виды сверху и спереди сечения проще построить после получения вырожденного вида плоскости Б. Решение данного примера сводится к последовательному применению третьей и четвертой основных задач.

Сначала построим по направлению горизонтали h плоскости Б дополнительный вырожденный вид Б–Б данной плоскости. Одновременно с этим построим дополнительный вид и данной пирамиды. Тогда на дополнительном виде легко построить сечение DEFG, отмечая точки пересечения плоскости Б с ребрами пирамиды. После этого можно построить искомое сечение на видах сверху и спереди. Затем построим второй дополнительный натуральный вид плоскости Б, на котором получим и натуральный вид DEFG искомого сечения.