§ 4. Способ приближений
Иногда при построении линии пересечения поверхностей не удается применить ни один из «точных» способов, рассмотренных выше. В этих случаях удобно пользоваться приближенным способом построения точек линии пересечения. Он обладает большой универсальностью, если только данные поверхности заданы семейством каких-либо линий либо они допускают построение таких семейств для обеих поверхностей. Выясним сущность этого способа.
Пусть дана полоса какой-либо поверхности, ограниченная ее линиями l1 и l2, а также некоторая кривая m (рис. 150а). Будем называть первым приближением точки пересечения кривой m с данной полосой поверхности точку К, построенную по схеме, указанной на рис. 150а. По существу, точка К является точкой пересечения кривой m с плоской кривой, которой заменена, или, как говорят, аппроксимирована кривая данной полосы поверхности, конкурирующая с кривой m.
б
а
Рис. 150
Кривая m пересекается с поверхностью внутри полосы (l1, l2), если ориентация видов полосы и ориентация видов кривой различны и у видов полосы имеется общая часть, в которую включены виды кривой. Виды полосы и кривой на рис. 150а ориентированы по-разному: виды полосы одинаково ориентированы, а виды кривой – противоположно.
Если же виды полосы имеют ту же ориентацию, что и виды кривой, то кривая m будет пересекаться с поверхностью внутри полосы (l1, l2) в том случае, когда соответствующий вид кривой m, например вид сверху (рис. 150б), пересекает противоположные стороны четырехугольника, образованного видами l1 и l2 и вертикальными линиями связи. Два вида сверху кривой m изображены на рис. 150б; один пересекает виды l1 и l2, а другой – вертикальные линии связи.
Дальнейшие приближения точки пересечения кривой m с данной полосой поверхности можно получить, если удастся построить промежуточные линии t1, t2, ... этой полосы. Приближения К1, К2, К3, построенные по той же схеме, что и на рис. 150, показаны на рис. 151.
Рис. 151
Будем называть приближенной линией пересечения двух поверхностей, заданных семействами линий, лекальную кривую, наилучшим образом приближающуюся к ломаной, вершинами которой служат приближенные точки пересечения линий одной поверхности с соответствующими полосами другой поверхности или наоборот, линий второй поверхности с полосами первой поверхности. Разумеется, если ограничиться только первыми приближениями, то линия пересечения, построенная с помощью линий первой поверхности и полос второй поверхности, будет несколько отличаться от линии пересечения, построенной с помощью линий второй поверхности и полос первой поверхности. Однако при дальнейших приближениях обе линии пересечения практически совпадут. Рассмотрим пример.
Пример. Построить линию пересечения поверхностей двух усеченных конусов, оси которых не пересекаются (на рис. 152 дано изображение только левой половины большого конуса).
Рис. 152
Для решения данного примера не применим ни способ конкурирующих линий, ни способ сфер. Выполним решение способом приближений, для чего предварительно проведем образующие обеих поверхностей. На поверхности большого конуса проведем шесть образующих, концы которых О–5 и О1–51 являются точками деления окружностей оснований усеченного конуса на 24 равные части. На малом усеченном конусе проведены образующие, концы которых делят окружности его оснований на шесть равных частей.
Вначале с помощью горизонтали h большого конуса найдем точки видимости А и В малого конуса для вида сверху. Далее покажем построение случайных точек С и D.
Виды образующей 7 малого конуса имеют противоположную ориентацию, а у видов полосы 4–51 большого конуса ориентация одинаковая. Поэтому по первому признаку образующая 7 пересекается с полосой 4–51 в точке С, которая на виде сверху легко находится при помощи диагонали четырехугольника с вершинами, расположенными на образующих большого конуса. При построении точки D пересечения образующей 8 малого конуса с полосой 3–41 большого конуса использован второй признак пересечения линии с полосой. В данном случае виды образующей имеют одинаковую ориентацию, и виды полосы также одинаково ориентированы, т. е. виды образующей имеют ту же ориентацию, что и виды полосы. Тогда пересечение будет иметь место, так как образующая 8 пересекает противоположные стороны четырехугольника с вершинами на образующих 3–31 и 4–41.
Помимо случайных точек показано построение точек видимости F и Е малого конуса для вида спереди и точек видимости G и Н большого конуса для того же вида.
Эти точки на виде сверху построены с помощью соответствующих диагоналей четырехугольников с вершинами на образующих большого конуса в случае точек F и Е и на образующих малого конуса в случае точек G и Н.