§ 8. Циклические и топографические поверхности

1. Циклической поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении.

Из рассмотренных выше поверхностей к циклическим можно отнести все поверхности вращения, так как они могут быть образованы движением окружности (параллели), центр которой переме­щается вдоль оси, а ее плоскость перпендикулярна к оси. Такими поверхностями будут являться те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения, а также каналовые и трубчатые поверхности.

Каналовая поверхность образуется движением окружности переменного радиуса, причем центр окружности О перемещается по заданной кривой l (направляющей), а ее плоскость остается перпендикулярной к этой кривой (рис. 77).

Трубчатая поверхность отличается от каналовой только тем, что ее образующая окружность m имеет постоянный радиус (рис. 78).

Если направляющая l трубчатой поверхности является цилиндрической винтовой линией, то образуется трубчатая винтовая поверхность (рис. 79). Она может быть получена и движением сферы постоянного диаметра, центр которой перемещается по цилиндрической винтовой линии.

Примером такой поверхности является цилиндрическая винтовая пружина.

2. Топографической поверхностью называется поверхность, образование которой не подчинено какому-либо геометрическому закону. К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, корпуса судна, обшивки самолета, автомобиля и др.

На чертеже эти поверхности изображают при помощи совокупности некоторых линий: так, земную поверхность – при помощи семейства ее горизонталей (рис. 80), поверхность обшивки самолета и др. – при помощи линий уровня (горизонталей, фронталей и профилей) с последующей их увязкой и согласованием.

Топографические поверхности часто называют каркасными, так как совокупность линий, которыми они задаются, образуют каркас поверхности.

Т

Рис. 77

Рис. 78

Рис. 79

Рис. 80

ак называемый теоретический чертеж поверхности фюзеляжа самолета, который обычно выполняется в натуральную величину, показан на рис. 81. На этом чертеже показаны три семейства линий рассматриваемой поверхности,а именно: ее горизонтали, фронтали и профили. При этом, чтобы не затемнять чертеж, на нем не изображены горизонтали на виде спереди и фронтали – на виде сверху.

Рис. 81

Глава III основные позиционные задачи и задачи на пересечение поверхностей с прямой и плоскостью. Касательные плоскости

§ 1. Основные позиционные задачи

1. Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимопринадлежность (взятие точки на линии или поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через данные линии и т. д.) и задачи на пересечение.

Выше были рассмотрены некоторые из позиционных задач, например, в § 3, п. 3 и в § 5, п. 3 была рассмотрена взаимопринадлежность точки и прямой, а в § 4, п. 2 – взаимопринадлежность точки и плоскости.

Указанные позиционные задачи относятся к числу прямых позиционных задач. В настоящем же параграфе рассматриваются обратные основные позиционные задачи, в которых определяется взаимное расположение двух точек, точки и прямой, точки и плоскости и двух прямых относительно друг друга.

2. Взаимное расположение двух точек. Две точки пространства могут совпадать или не совпадать. Если данные точки А и В совпадают, то они совпадают и на каждом виде.

Если же данные точки А и В не совпадают, то они не совпадают и на каждом виде (рис. 82) или, по крайней мере, не должны совпадать на одном из видов (рис. 83 и 84).

Рис. 82 Рис. 83 Рис. 84

Если точки А и В не совпадают, то возникает вопрос, как они расположены относительно друг друга.

Рассматривая рис. 82, легко определить, что точки А и В не совпадают, причем точка А расположена левее точки В на a единиц, ближе точки В на b единиц и ниже точки В на с единиц. На рис. 83 изображены точки А и В, конкурирующие на виде сверху, а на рис. 84 – конкурирующие на виде спереди. Из двух точек А и В (см. рис. 83), конкурирующих на виде сверху, точка А расположена выше точки В на с единиц. При этом говорят, что А расположена «над» точкой В, или точка В расположена «под» точкой А. На виде сверху точка А будет видимой, а точка В – невидимой. Из двух точек А и В (см. рис. 84), конкурирующих нa виде спереди, точка А расположена дальше, чем точка В, на b единиц, т. е. точка А находится «за» точкой В или точка В находится «перед» точкой А.

На виде спереди точка В будет видимой, а точка А – невидимой.

3. Взаимное расположение точек и прямой. Точка может находиться на прямой и вне прямой. Если точка находится на данной прямой l, то, как указывалось в § 3, п. 3, она должна лежать на прямой на обоих видах. Если же данная точка находится вне прямой, то, по крайней мере, на одном из видов она не должна лежать на прямой. Справедливы и обратные предположения, если только прямая, заданная своими видами спереди и сверху, не является профильной. Взаимное расположение точки и профильной прямой будет рассмотрено дальше.

Точка А находится на прямой l, а точки В, С и D находятся вне прямой l (рис. 85). При этом на виде спереди определяем, что точка В находится «над» прямой l, так как она расположена выше, нежели конкурирующая с ней на виде сверху точка прямой l (на виде спереди эта точка прямой l отмечена крестиком). Аналогично на виде сверху определяем, что точка С находится «за» прямой l, так как она расположена дальше, нежели конкурирующая с ней на виде спереди точка прямой l (на виде сверху эта точка прямой l отмечена крестиком).

Рис. 85

Если сравнивать положение точки D с положением точки прямой l, которая находится в той же профильной плоскости, что и точка D (она на обоих видах отмечена крестиком), то легко определить, что точка D расположена ближе и ниже, нежели точка прямой l, отмеченная на обоих видах крестиком.

Для определения взаимного положения точки и профильной прямой приходится пользоваться прямой преломления ломаных линий связи, соединяющих разноименные виды точек профильной прямой, или прибегнуть к построению вида слева.

Пусть дана профильная прямая р при помощи двух точек А и В (рис. 86). Определим положение точек М и N относительно прямой р. Построив прямую преломления А₀В₀ так, как это указывалось в гл. I, § 3, п. 3, можно легко определить, что точка М лежит на прямой р, а точка N – вне прямой р (рис. 86а).

а)

б

а

б

Рис. 86

В самом деле, оба вида точки М лежат на одной ломаной линии связи, вершина которой находится на прямой преломления. Поэтому отрезок АВ делится точкой М на обоих видах в одном и том же отношении, что доказывает принадлежность точки М прямой р. Что касается точки N, то ломаная линия связи, проходящая через нее на виде сверху, не проходит через нее и на виде спереди, поэтому точка N находится вне прямой р. Если бы точка N лежала на прямой р, то на виде спереди она бы находилась в точке, отмеченной крестиком. Но так как на виде спереди точка N расположена выше, то она находится «над» прямой р. Проведя ломаную ли- нию связи через точку N на виде спереди, можно определить положение точки N относительно прямой р по глубине. Проще это сделать непосредственно, исходя из пространственного представления. Прямая р является нисходящей прямой (ее виды спереди и сверху различно ориентированы), и так как точка N находится «над» прямой р, то она в то же время находится и «за» прямой р.

Определение взаимного положения точек М и N относительно прямой р с помощью построения вида слева показано на рис. 86б. При рассмотрении вида слева легко определить, что точка М лежит на прямой р, а точка N – «над» и «за» ней.

Таким образом, определение взаимного положения точки и прямой сводится к определению взаимного положения двух точек.

4. Взаимное расположение точки и плоскости. Если точка находится в плоскости, перпендикулярной какой-нибудь плоскости уровня, то на соответствующем виде она должна лежать на прямой, являющейся вырожденным видом плоскости (см. гл. I, § 6, п. 3).

Если же точка находится на плоскости общего положения, то она должна лежать на какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости (см гл. I, § 4, п. 2). Справедливо и обратное положение, если только при решении вопроса в системе плоскостей проекций 1, 2 вспомогательная прямая не является профильной.

Для определения взаимного положения точки и плоскости общего положения следует провести на данной плоскости какую-нибудь вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой, и определить взаимное положение данной точки и вспомогательной прямой. Если точка будет принадлежать вспомогательной прямой, то она находится на данной плоскости, если же точка окажется вне прямой, то она расположена и вне данной плоскости. При этом если точка окажется «над» («под») или «перед» («за») прямой, то она точно так же будет расположена и относительно плоскости.

Определим расположение двух точек М и N точек относительно плоскости Б, заданной треугольником ABC (рис. 87).

Сначала найдем положение точки М. Проведем на плоскости Б прямую l, конкурирующую с точкой М на виде сверху. Для того чтобы прямая l была конкурирующей с точкой М на виде сверху, нужно, чтобы она на виде сверху проходила через точку М, а для того чтобы прямая l принадлежала плоскости Б, необходимо, чтобы две ее точки (на рис. 87 этими точками являются точки А и 1) принадлежали плоскости. Так как и на виде спереди прямая l проходит через точку М, то точка М принадлежит прямой l, а значит, и плоскости Б. Теперь определим положение точки N относительно плоскости Б. Для этого проведем на плоскости Б прямую m, конкурирующую с точкой N на виде спереди. Точками плоскости Б, определяющими прямую m, являются точки С и 2. Тогда на виде сверху опре- деляем, что точка N находится вне прямой m, а значит, и вне плоскости Б. В самом деле, если бы точка N лежала на прямой m, то она бы находилась на виде сверху в точке, отмеченной крестиком. Но так как точка N расположена на комплексном чертеже ближе, то она находится «перед» конкурирующей с ней на виде спереди точкой плоскости Б, а значит, и «перед» самой плоскостью Б. Проведя на плоскости Б новую прямую, конкурирующую с точкой Б на виде сверху, можно было бы определить положение точки N относительно плоскости Б по высоте. Однако проще это сделать непосредственно, исходя из пространственного представления. Плоскость Б является восходящей плоскостью (ее виды одинаково ориентированы), и так как точка N находится «перед» плоскостью Б, то в то же время она находится и «над» этой плоскостью.

Рис. 87

5. Взаимное расположение двух прямых. Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

Если прямые l и m пересекаются в некоторой точке K, то на основании свойства принадлежности (см. гл. I, § 3, п. 2) точка K должна принадлежать прямым l и m на обоих видах (рис. 88). Иначе говоря, точки пересечения одноименных видов двух пересекающихся прямых лежат на одной и той же линии связи.

Если прямые l и m параллельны, то на основании свойства параллельности (см. гл. I, § 3, п. 2) одноименные виды этих прямых также параллельны (рис. 89).

Если, наконец, прямые l и m скрещиваются и их одноименные виды соответственно пересекаются в точках А и В, то эти точки не должны лежать на одной линии связи (рис. 90), так как в противном случае прямые l и m пересекались бы. Заметим, что на точку А на виде сверху конкурируют две точки А^l и А^m, принадлежащие прямым l и т. Так как точка А^l расположена выше точки А^m, то на виде сверху в точке А видима прямая l, а прямая m невидима. Аналогично на точку В на виде спереди конкурируют две точки В^l и В^m, соответственно принадлежащие прямым l и m. На виде спереди в точке В видима прямая m, а прямая l невидима, так как точка В^m расположена ближе, чем точка В^l.

Рис. 88 Рис. 89 Рис. 90

Справедливы и обратные положения, если прямые, заданные в системе плоскостей проекций 1, 2, не являются профильными.

Таким образом, взаимное положение двух непрофильных прямых определяется следующим образом: если одноименные виды двух непрофильных прямых параллельны (см. рис. 89), то и прямые параллельны. Если точки пересечения одноименных видов двух непрофильных прямых лежат на одной линии связи (см. рис. 88), то прямые пересекаются, если же эти точки не лежат на одной линии связи (см. рис. 90), то прямые скрещиваются.

В частном случае, если две непрофильные прямые являются конкурирующими, то, находясь в одной и той же плоскости, перпендикулярной какой-либо плоскости уровня, они не могут быть скрещивающимися. Взаимное расположение таких прямых легко определяется на том виде, на котором прямые не сливаются. Так, по виду спереди определяем, что конкурирующие на виде сверху прямые l и m пересекаются в точке К (рис. 91), а по виду сверху – что конкурирующие на виде спереди прямые l и m параллельны (рис. 92).

Рис. 91 Рис. 92

Для определения взаимного положения профильных прямых следует воспользоваться прямыми преломления или построить вид слева данных прямых.

Пусть даны две профильные прямые р¹ и р², причем первая задана своими точками А и В, а вторая – точками С и D, и пусть обе прямые лежат в одной профильной плоскости (рис. 93). Построив для каждой из данных прямых ее прямую преломления (см. гл. I, § 3, п. 3), можно легко определить взаимное положение прямых р¹ и р² (рис. 93а).

Если прямые преломления А₀В₀ и C₀D₀ пересекаются в некоторой точке К₀, то данные прямые р¹ и р² пересекаются в точке К.

Из равенства отношений и на обоих видах следует, что точка К принадлежит обеим данным прямым, а значит, является их точкой пересечения (равенство указанных отношений определяется из их равенства соответствующим отношениям и ). Если же прямые преломленияА₀В₀ и C₀D₀ совпадут или окажутся параллельными, то и данные прямые р¹ и р² соответственно совпадают или параллельны.

Определение взаимного положения профильных прямых р¹ и р² при помощи построения их на виде слева показано на рис. 93б. Так как прямые р¹ и р² пересекаются на виде слева, то эти прямые пересекаются и в пространстве в точке К.

а

б

Рис. 93

Очевидно, что если профильные прямые р¹ и р² расположены в различных профильных плоскостях (рис. 94), то в случае параллельности прямых преломления А₀В₀ || С₀D₀ они также параллельны, а в случае непараллельности прямых преломления профильные прямые р¹ и р² скрещиваются.

Рис. 94