§ 6. Поверхности второго порядка

1. Так как поверхности второго порядка находят особенно широкое применение в технике, то здесь мы дадим краткую сводку всех поверхностей второго порядка, включая и те из них, которые были рассмотрены как поверхности вращения или линейчатые поверхности.

Поверхность второго порядка можно определить либо как поверхность, пересекающуюся с произвольной плоскостью по кривой второго порядка (иногда распадающейся на пару прямых или мнимой), либо как поверхность, пересекаемую произвольной прямой, не принадлежащей ей, в двух точках (иногда совпадающих или мнимых).

2. Рассмотрим отдельные типы поверхностей второго порядка:

1. коническая поверхность: конус вращения (см. рис. 53) и эллиптический конус, который может быть получен из конуса вращения деформацией его параллелей в эллипсы;

2. цилиндрическая поверхность: цилиндр вращения (см. рис. 52), эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры. Эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы;

3. эллипсоид – эллипсоид вращения (см. рис. 58), в частности, сфера, а также трехосный эллипсоид, который может быть получен из эллипсоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы;

4. параболоид: параболоид вращения (см. рис. 59), эллиптический и гиперболический параболоиды. Эллиптический параболоид может быть получен из параболоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы. Гиперболический параболоид (рис. 72) является линейчатой поверхностью; он был рассмотрен в § 5, п. 3 (см. рис. 70);

5. однополостный гиперболоид: однополостный гиперболоид вращения (см. рис. 60) и однополостный эллиптический гиперболоид. Последний может быть получен из первого деформацией его параллелей в эллипсы, а также непосредственно движением прямолинейной образующей по трем прямолинейным направляющим (см. § 5, п. 4);

6. двуполостный гиперболоид: двуполостный гиперболоид вращения (см. рис. 61) и двуполостный эллиптический гиперболоид, который может быть получен из первого деформацией его параллелей в эллипсы.

Рис. 72

Следует отметить, что из всех поверхностей второго порядка только конус, цилиндр, однополостный и гиперболический параболоиды являются линейчатыми поверхностями, причем у последних двух по- верхностей через каждую их точку проходят две прямолинейные образующие. Отметим также, что все поверхности второго порядка, за исключением параболического и гиперболического цилиндров, а также гиперболического параболоида, могут пересекаться плоскостью по окружности, т. е. имеют круговые сечения.

§ 7. Винтовые поверхности

1. Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо линией – образующей при ее винтовом движении.

Так как точки образующей при ее винтовом движении описывают соосные цилиндрические винтовые линии, то винтовая поверхность может быть образована движением образующей по соосным цилиндрическим винтовым линиям, которые будут ее направляющими.

Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью, или геликоидом. Геликоид может быть прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или наклонна.

2. Рассмотрим некоторые виды линейчатых винтовых поверхностей.

1) Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим, из которых одна является цилиндрической винтовой линией m, а другая – ее осью i, причем во всех своих положениях образующая l параллельна плоскости параллелизма, перпендикулярной оси i. Обычно за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей уровня (рис. 73). У прямого геликоида образующая l пересекает винтовую ось i под прямым углом. Прямой геликоид может быть отнесен к числу коноидов и назван винтовым коноидом.

2) Наклонный геликоид отличается от прямого тем, что его образующая l пересекает ось геликоида под постоянным углом φ, отличным от прямого.

Иначе говоря, образующая l наклонного геликоида при своем движении скользит по двум направляющим, из которых одна является цилиндрической винтовой линией m, а другая – ее осью i, причем во всех своих положениях образующая l параллельна образующим некоторого конуса вращения. У этого конуса угол между образующими и осью, параллельной оси геликоида, равен φ. Он называется направляющим конусом наклонного геликоида.

Рис. 73

Построение наклонного геликоида показано на рис. 74. Его направляющими являются цилиндрическая винтовая линия m и ее ось i. Образующие геликоида параллельны соответствующим образующим направляющего конуса.

3) Развертывающийся геликоид образуется движением прямолинейной образующей l, касающейся во всех своих положениях цилиндрической винтовой линии m, являющейся ребром возврата геликоида (рис. 75). Развертывающийся геликоид как линейчатая поверхность с ребром возврата относится к числу торсов.

Как видно из рис. 75, поверхность развертывающегося геликоида ограничена ребром возврата m и линией а от пересечения геликоида с поверхностью соосного цилиндра большего диаметра, чем диаметр винтовой линии m.

Рис. 74 Рис. 75

3. Винтовые поверхности имеют большое значение в технике. Чаще всего они используются в крепежных изделиях (винты, болты и др.), домкратах и ходовых винтах, сверлах, червячных передачах и винтовых транспортерах.

Тело, ограниченное винтовыми поверхностями, называется винтом. Винт образуется от винтового движения какой-нибудь плоской фигуры-профиля. Профили некоторых винтов изображены на рис. 76. В случае прямоугольного профиля (рис. 76а) винт ограничен поверхностями двух цилиндров вращения и двух прямых геликоидов; в случае треугольного профиля (рис. 76б) – двумя наклонными геликоидами и, наконец, в случае трапецеидального профиля (рис. 76в) – поверхностями двух цилиндров вращения и двух наклонных геликоидов.

а

б

в

Рис. 76