Глава II линии и поверхности

§ 1. Линии и их проекции

1. Плоские линии. Все точки плоской линии, ломаной или кривой находятся в одной плоскости, определяемой любыми тремя точками этой линии, не лежащими на одной прямой. Наиболее часто встречающимися на практике плоскими линиями являются правильные замкнутые ломаные линии, а из кривых – кривые второго порядка^: окружность, эллипс, парабола и гипербола, а также различные закономерные кривые, такие как синусоида, циклоида, архимедова спираль и др.

На основании свойств параллельного проецирования можно установить, какие свойства линий сохраняются у их проекций. Из свойств однозначности, прямолинейности и принадлежности следует, что проекцией ломаной в общем случае будет также ломаная с тем же числом вершин. Из этих свойств следует также, что секущая и касательная к кривой линии проецируются соответственно в секущую и касательную к ее проекции, при этом сохраняется число точек пересечения секущей с кривой^. Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные точки ее проекции.

Сохранение этих свойств кривых при параллельном проецировании позволяет утверждать, что окружность и эллипс проецируются в эллипс, парабола проецируется в параболу, а гипербола – в гиперболу. Кривую линию называют гладкой кривой, если в каждой из ее точек имеется единственная касательная t.

Точки плоской кривой разделяются на обыкновенные и особые. На рис. 40а показана обыкновенная точка М, а на рис. 40б, в, г, д, е – некоторые особые точки (перегиба N, возврата первого рода Р и второго рода Q, узловая R и излома Т). При проецировании все эти особенности точек кривой сохраняются, и поэтому по проекции плоской кривой можно судить о характере самой кривой.

2. Ортогональная проекция окружности. Так как построение проекций окружности на комплексном чертеже будет встречаться в дальнейшем довольно часто, то выясним здесь некоторые свойства ортогональной проекции окружности.

а

б

в

г

д

е

Рис. 40

Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Так как ортогональная проекция является частным случаем параллельной проекции, то, проецируя окружность О, расположенную в плоскости общего положения Б (рис. 41), ортогонально на плоскость П', получим эллипс О'.

В окружности проведем два взаимно перпендикулярных диамет- ра АВ и CD, причем диаметр АВ пройдет по прямой уровня плоскости Б, а диаметр CD – по прямой наибольшего уклона этой плоскости по отношению к плоскости проекций П′. Тогда диаметр АВ спроецируется в диаметр А′В′ эллипса, равный диаметру окружности, т. е. |АВ| = |А'В′|, а диаметр CD – в диаметр C′D' эллипса. Так как угол, образованный этими диаметрами, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости Б к плоскости П', то, обозначив его через φ, получим |C′D'| = |CD|соs φ. Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), а это свойство при параллельном проецировании сохраняется, то диаметры А'В' и C'D' будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны, эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плоскости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причем А'В' – большая ось, а С'D' – малая ось.

Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, расположенной в некоторой плоскости Б, параллельна проекции прямой уровня этой плоскости и равна диаметру окружности, а малая ось параллельна проекции прямой наибольшего уклона плоскости Б и равна диаметру окружности, умноженному на косинус угла наклона плоскости Б к плоскости проекций.

Р

ис. 41

Если обозначить большую ось эллипса через 2а, малую – через 2b, а диаметр окружности через d, то будем иметь

2а = d; 2b = d соs φ.

Рассмотрим теперь примеры построения окружности на комплексном чертеже, основанного на свойствах ее ортогональной проекции.

Пример 1. Построить в наклонной плоскости Б окружность радиуса R с центром в точке О (рис. 42).

На виде спереди окружность выродится в отрезок прямой длиной 2R, a на виде сверху будет эллипсом. Большая ось этого эллипса СD будет, как и прежде, параллельна горизонтали плоскости Б (в данном случае прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости) и равна диаметру окруж- ности 2R. Малая ось АВ будет параллельна горизонтальной проекции прямой наибольшего уклона (в данном случае фронтали) плоскости Б и будет рав- на 2R cos φ, где φ – угол наклона плоскости Б к горизонтальной плоскости. Имея оси АВ и CD эллипса, легко построить сколько угодно его точек при помощи двух концентрических окружностей, построенных на этих осях, как на диаметрах.

Пример 2. Построить в плоскости Б (h ∩ f) общего положения окружность радиуса R с центром в точке О (рис. 43).

Сначала найдем центр О, большую АВ и малую CD оси эллипса, являющегося видом сверху искомой окружности. Для этого проводим в плоскости Б ее горизонталь О–1 и прямую наибольшего уклона О–2 к горизонтальной плоскости. Тогда центр О и большая ось АВ легко найдутся на горизонтали О–1, при этом |AВ| = 2R. Малая же ось СD эллипса найдется на горизонтальной проекции прямой наибольшего уклона О–2. Для определения ее длины построим прямоугольный треугольник О–О*–2, одним катетом которого является отрезок О–2, а другим – превышение точки О над точкой 2. Тогда гипотенуза О*–2 будет натуральной величиной отрезка О–2, а φ = О–2–О* будет измерять угол наклона плоскости Б к горизонтальной плоскости. Поэтому если отложить от точки О* на гипотенузе О*–2 величину радиуса R, то при помощи полученной точки D* легко определить сначала точку D, являющуюся одним из концов малой оси эллипса, а затем и точку С – второй конец малой оси.

Таким же образом можно построить оси второго эллипса, являющегося видом спереди искомой окружности. На рис. 43 этот эллипс построен по его сопряженным диаметрам АВ и СD, являющимся изображениями на виде спереди взаимно перпендикулярных диаметров АВ и CD искомой окружности. Как известно, при помощи параллелограмма, построенного на диаметрах АВ и CD как на его средних линиях, можно построить сколько угодно точек эллипса.

3. Пространственные кривые. Кривые, точки которых не лежат в одной плоскости, являются пространственными кривыми.

Если особенности плоских линий при их проецировании сохраняются, то при проецировании пространственных линий дело обстоит иначе. На рис. 44 даны проекции пространственной кривой, каждая из которых имеет узловые точки, однако, сама кривая таких точек не имеет, это видно при совместном рассмотрении двух ее видов.

Таким образом, для изучения свойств пространственной линии необходимо рассматривать оба вида линии. Так, прямая является касательной к пространственной кривой только в том случае, когда она на обоих видах касается кривой в одной и той же ее точке.

Рис. 43

Теперь рассмотрим спрямление пространственной кривой для определения длины ее дуги (рис. 44).

Рис. 44

Сначала спрямим в отрезок А*В* вид сверху дуги АВ данной кривой. Для этого разбиваем данную дугу на части, мало отличающиеся от стягивающих их хорд, и эти хорды последовательно откладываем на горизонтальной прямой. Затем через полученные точки делений проводим прямые, параллельные линиям связи, на которых откладываем относительные высоты соответствующих точек пространственной кривой. Тогда ломаная после спрямления в отрезок прямой и будет давать приближенную длину данной дуги АВ.

Приведенное спрямление дуги пространственной кривой основано на построении натуральной величины отрезка по способу прямоугольного треугольника.

4. Из пространственных кривых наиболее часто встречается в практике цилиндрическая винтовая линия, которую и рассмотрим.

Если какая-нибудь точка А совершает равномерное движение по некоторой прямой, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг параллельной ей оси, то указанная прямая опишет поверхность кругового цилиндра, а точка А опишет пространственную кривую, называемую цилиндрической винтовой линией. Высота h, на которую поднимается точка А при одном полном повороте, называется шагом винтовой линии.

Построение винтовой линии, ось i которой расположена перпендикулярно горизонтальной плоскости, показано на рис. 45. В этом случае на виде сверху винтовая линия будет окружностью. Для построения ее вида спереди следует разделить на одинаковое число равных частей окружность, являющуюся видом сверху винтовой линии, и ее шаг; на рис. 45 деление произведено на двенадцать частей. Тогда в пересечении соответствующих горизонтальных и вертикальных прямых, проведенных через одноименные точки деления, получим точки винтовой линии на виде спереди. Соединив эти точки плавной кривой, будем иметь вид спереди винтовой линии, которая является синусоидой, что следует из способа ее построения.

Показанная на рис. 45 винтовая линия является правой, так как она имеет подъем вправо на передней стороне цилиндра. В противном случае винтовая линия является левой.

Если спрямить вид сверху винтовой линии и провести через точки деления прямые, параллельные линиям связи, на которых отложить относительные высоты соответствующих точек винтовой линии, то полученные точки лягут на одну прямую. Это следует из самого способа образования винтовой линии. Обозначив угол наклона этой прямой к горизонтальной прямой через α, а диаметр цилиндра, на котором расположена винтовая линия, через d, можно написать следующее соотношение: tg α = .Указанное соотношение позволяет определить угол α, называемый углом наклона винтовой линии.

Рис. 45