getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie

уi , y j , то вводится функция двумерной плотности распределения

Функция n-мерного закона распределения вероятностей для случайного сигнала определяется на основе обобщения одномерного и двумерного законов и вычисляется как вероятность одновременного выполнения системы из n неравенств для моментов вре-

мени t1, t2 ,...,tn :

Fn (y1, t1, y2, t2,..., yn, tn ) P{Y(t1) y1, Y(t2 ) y2,..., Y(tn ) yn}.

Рассмотрим моментные характеристики первого порядка для одномерных функций плотности распределения вероятностей слу-

чайного сигнала. Математическим ожиданием и дисперсией слу-

чайного сигнала Y(t) называются неслучайные функции my (t),

Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного сиг-

Ryy (ti , t j ) является неслучайной и определяется на основе функции двумерной плотности распределения вероятностей:

Ryy (ti , t j ) (yi my (ti ))(y j my (t j )) p2 (yi , ti , y j , t j ) dyi dy j .

Очевидно, в соответствии с определением, корреляционная функция не изменится, если к рассматриваемому случайному сигналу добавить произвольную детерминированную функцию. Если берутся два случайных сигнала X(t), Y(t), то для них определяется

взаимная корреляционная функция, которая принимает вид

Rxy (ti , t j ) (xi mx (ti ))(y j my (t j )) p2 (xi , ti , y j , t j ) dxi dy j .

Введѐнные моментные характеристики имеют вполне нагляд-

ный физический смысл: my (t) определяет функцию времени для среднего значения случайного сигнала, Dy (t) представляет собой

функцию времени для среднеквадратичного отклонения случайного сигнала от среднего значения. Функция двух временных переменных Ryy (ti , t j ) определяет усреднѐнное произведение центрирован-

ных значений сигнала для разнесѐнных моментов времени ti , t j .

3.1.2.Оценивание статистических характеристик сигналов на множестве реализаций

Рассмотрим получение для случайных сигналов оценок функций плотностей распределения вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций. Пусть yn (t) – реализации слу-

чайного сигнала Y(t), n 1,..., M, M – число реализаций сигнала. Будем полагать, что для некоторого момента ti имеются M значений наблюдений yn (ti ).

Для вычисления оценки функции одномерной плотности распределения вероятностей в виде гистограммы найдѐм макси-

Оценка плотности вероятности случайного сигнала для момента времени ti на интервале с номером s вычисляется в виде кусочнопостоянной функции как отношение

распределения вероятностей представится системой кусочнопостоянных функций

функция p1 (yi , ti ) оценки одномерной плотности распределения вероятностей, полученная в форме гистограммы.

Рис. 3.1.2. Функция оценки одномерной плотности распределения вероятностей

83

lim Ryy (T0 , ) Ryy ( ).

T0

При дискретизации единственной реализации случайного стационарного эргодического сигнала y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1,

N – число наблюдений сигнала, возможна запись оценок математического ожидания и дисперсии в следующем виде:

Оценка корреляционной функции представится как функция

3.1.4.Нестационарные сигналы, оценивание локальных статистических характеристик для нестационарных сигналов

К нестационарным сигналам относятся все случайные сигналы, не удовлетворяющие сформулированным ранее условиям стацио-

нарности. Параметры или статистические характеристики нестационарных сигналов зависят от времени и в общем случае могут быть установлены усреднением на множестве реализаций. Однако во многих инженерных приложениях для анализа сигналов на стационарность, как правило, не бывает достаточного количества реализаций (чаще всего в распоряжении бывает только одна реализация), и это обстоятельство затрудняет проведение статистического оценивания.

Один из подходов к исследованию статистических характеристик нестационарных сигналов состоит в реализации разбиения основного временного интервала наблюдения сигнала на некоторое количество локальных (малых) временных интервалов, на которых рассматриваемый нестационарный сигнал допустимо считать квазистационарным (почти стационарным), и проведения соответствующего статистического анализа на образованной последовательности локальных интервалов, с последующим объединением

85

набора локальных оценок для получения нестационарных статистических характеристик сигнала в целом. На локальных интервалах более удобно осуществлять определение статистических характеристик, которые в этом случае являются локальными и оцениваются на основе построения упрощѐнных локальных моделей сигналов.

Пусть наблюдается в общем случае нестационарный случайный сигнал y(i), i 0, 1,..., N f 1, N f – общее число наблюдений.

Ставится задача получения функций оценок математических ожиданий и дисперсий для нестационарного сигнала по одной реализации. Общий интервал времени наблюдения разбивается на m локальных интервалов, j – номер локального интервала, j 1, 2,..., m, через N1, N2,..., Nm 1 обозначаются номера точек,

где происходит стыковка локальных интервалов. К локальному интервалу с номером j принадлежат точки с номерами, которые удовлетворяют неравенствам: N j 1 i N j , N0 0, N0 N f .

В пределах выделенных локальных интервалов будем считать, что случайные сигналы являются квазистационарными. Тогда последовательность для локальных оценок математических ожиданий и дисперсий исследуемого сигнала на локальных интервалах вычисляется следующими суммами:

Оценки указанных статистических характеристик нестационарного сигнала на основном временном интервале будут представляться в виде кусочно-постоянных функций.

3.2.Оценивание и устранение трендов для нестационарных сигналов

3.2.1. Определение трендовых функций для нестационарных сигналов

В ряде случаев нестационарные сигналы могут обладать особенностями, которые значительно упрощают задачи цифровой обработки. Вполне возможны ситуации, когда исследуемые случайные нестационарные сигналы имеют специальную структуру, позво-

86

ляющую выделить в них детерминированные низкочастотные трендовые функции.

Положим, что рассматриваемые нестационарные сигналы описываются функциональными моделями, которые специальным образом учитывают их нестационарный характер. Пусть является заданным исходный стационарный широкополосный сигнал х0 (t) с

нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией и составляющие модулирующие функции р1(t), р2 (t), р3(t). На их

основе определяются нестационарные сигналы х1(t), х2 (t), х3(t) с

модулирующими функциями, которые действуют мультипликативно, аддитивно или изменяют временной масштаб:

х1(t) р1(t)х0 (t), х2 (t) х0 (t) р2 (t), х3(t) х0 (tр3(t)). (3.2.1)

Возможны определения нестационарных сигналов вида х4 (t) с действием комбинаций модулирующих функций, например, в виде

Формулы для функциональных моделей сигналов (3.2.1), (3.2.2) допускают различные варианты обобщений; так, в ряде случаев нестационарные сигналы могут состоять из суммы нескольких модулированных несущих сигналов или быть многомерными.

Модулирующие функции р1(t), р2 (t), р3(t) обусловливают нестационарный характер сигналов х1(t), х2 (t), х3(t) и х4 (t). Как правило, функции р1(t), р2 (t), р3(t) являются низкочастотными; по отношению к этим функциям сигнал х0 (t) имеет существенно более высокие частоты. Условие низкочастотности для функций р1(t), р2 (t), р3(t) почти эквивалентно введению ограничений на

их производные; поэтому в ряде случаев используется термин «медленные» модулирующие функции. Иногда модулирующие функции р1(t), р2 (t) называются трендовыми.

3.2.2.Алгоритмы локального оценивания трендовых функций, устранение трендовых функций

В практике ЦОС существует целое множество задач, в которых требуется произвести оценивание указанных трендовых функций

87

для нестационарных сигналов или осуществить их устранение (центрирование и нормализацию).

Перейдѐм от непрерывных функций в (3.2.1), (3.2.2) к дискретным x(Ti), x0 (Ti), p1(Ti), p2 (Ti). Будем рассматривать на-

блюдения нестационарных сигналов, описываемых функциональными моделями типа (3.2.1), (3.2.2), y(Ti), i 0, 1,..., N f 1. Осу-

ществим разбиение временного интервала наблюдения на m рав-

где w(Ti) – модельные помехи, являющиеся случайными независимыми нормальными числами с нулевым математическим ожида-

Рассмотрим нестационарный случайный сигнал с мультипликативным и аддитивным трендами вида

(3.2.4)

Будем полагать, что трендовые функции р1(Ti), р2 (Ti) , яв-

ляющиеся медленными, могут быть заменены на локальных интервалах на кусочно-постоянные. Примем, что мультипликативная трендовая функция всегда положительна p1(Ti) p0 0; в этом

случае оценки трендовых функций p1 j (Ti), p2 j (Ti) на локальных

интервалах совпадают с оценками математических ожиданий и дисперсий:

Оценки трендовых функций представятся в виде суммы оценок на локальных интервалах

Проиллюстрируем предложенный алгоритм вычислениями на математических моделях. Сигнал x0 (Ti) сформируем с использованием датчика нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; возьмѐм N f 512,

T 0,02 c. Модели для трендовых функций примем в виде

где параметры этих функций принимают следующие значения: р01 2,7, 0,2, р02 8, f 0,04 Гц, 3,1. На рис. 3.2.1 изо-

бражена отдельная реализация модельных наблюдений нестацио-

Рис. 3.2.1. Реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала

Рис. 3.2.2а и 3.2.2б содержат изображения оценок трендов в виде кусочно-постоянных функций – линии 1, полученные с помощью (3.2.5). Для вычисления оценок число локальных интервалов было принято равным m 16 (N 32). Одновременно на этих же

рисунках отмечены пунктирными линиями 2 модельные трендовые функции.

89

Рис. 3.2.2а. Функция оценки мультипликативного тренда

Рис. 3.2.2б. Функция оценки аддитивного тренда

Устранение трендов в нестационарных сигналах реализуется на основе применения операций центрирования и нормализации:

x (Ti) (y(Ti) p2(Ti)) / p1 (Ti).

Рассмотрим нестационарный случайный сигнал с медленным аддитивным трендом вида

Введѐм локальные интервалы. Будем полагать, что трендовая функция р2 (Ti) может быть с достаточной точностью заменена на

локальных интервалах последовательностью локальных модельных кусочно-линейных функций вида

90