Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белгородский университет кооперации, экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

6.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>

S(a, H0 ),

Импульсно-переходная функция для (6.5.1) определена в (k 1) точках, h(s) as , s 0, 1,..., k. ПФ для КИХ-фильтра (6.5.2) линейно зависит от коэффициентов a0, a1,..., ak . Указанное обстоя-

тельство приводит к квадратичным функционалам при решении аппроксимационных задач, что позволяет в ряде случаев эффективно реализовывать синтез КИХ-фильтров на основе соответствующих систем линейных уравнений.

6.5.1.Синтез КИХ-фильтров на основе метода аппроксимации в частотной области

Рассмотрим достаточно общую постановку задачи синтеза КИХфильтров на основе метода аппроксимации в частотной области. Пусть на фиксированном частотном диапазоне ( 0, f ) заданы

частотные точки i , i 0, 1,..., N 1, 0

1 ...

N 1, f

N 1,

не обязательно расположенные равномерно. В этих точках определены комплексные значения эталонной ПФ H0 ( j i ), которые не-

обходимо аппроксимировать в точках	i	с помощью комплексной
	i
ПФ H(a, j iT), i 0, 1,..., N 1, синтезируемого			КИХ-фильтра.
Будем здесь полагать, что коэффициенты as , s			0, 1,..., k, явля-
ются комплексными.

Представим выражение для ПФ H(a, j T) КИХ-фильтра в

форме скалярного произведения, введя векторы a и Hd ( j			T ):
aT (a , a ,..., a ),		HT ( j T) (1,e j T , e j T 2,..., e j	Tk ),
0 1	k	d

H(a, j T) aT Hd ( j T).

Сформируем квадратичный по вектору коэффициентов a функционал определяющий близость эталонной ПФ и передаточ-

ной функции КИХ-фильтра, которая образуется в результате синтеза

N 1

) H(a, j T))* (H ( j

S(a, H

)

(H ( j

) H(a, j T))

N 1

) aT H ( j

T))* (H ( j

) aT H ( j

(H ( j

T)). (6.5.3)

i 0

211

Нахождение вектора a , обеспечивающего синтез КИХ-фильтра,

сводится к минимизации функционала (6.5.3). Введѐм необходимые векторно-матричные обозначения

H0 ( j 0 )

H0 ( j

N 1)

( j T)

e j 0T ,

e j 0Tk

( j T)

e j 1T ,

e j 1Tk

( j

N 1T

j N 1Tk

N 1

Воспользуемся результатами построения линейных моделей разд. 2.4 для комплексного случая (2.4.8), (2.4.11). Вычисление a производится на основе решения системы комплексных линейных уравнений

X*T X	H	a	X*T H .	(6.5.4)
H	H		H 0

В отличие от общей постановки синтеза ЦФ, описанной в разд. 6.3, как аппроксимационной задачи, решаемой на основе нелинейного программирования, изложенный подход синтеза КИХфильтра ввиду того, что оптимизируемый функционал является квадратичным, принципиально позволяет решить задачу построе-

ния	КИХ-фильтров с комплексными коэффициентами as ,
s	0, 1,..., k, с помощью решения соответствующей комплексной

системы линейных уравнений размерности (k 1) (6.5.4). Необходимо иметь в виду, что предложенный подход решает

задачу аппроксимации синтезированной ПФ H(a , j iT) к эталон-

ной ПФ H0 ( j i ) в точках			i ,	i	0, 1,..., N	1. Однако при этом
остаѐтся	открытым	вопрос	о	поведении		синтезированной ПФ
H(a , j	T) для частот , находящихся между частотными точка-
ми i	i 1 , i	0, 1,..., N		2.	Следует	также учитывать, что
для больших k и близких частот					i , i 1 могут возникать вычисли-

тельные проблемы, связанные с решением линейной системы

(6.5.4).

212

6.5.2. КИХ-фильтры с линейными ФЧХ

КИХ-фильтры с линейными ФЧХ используются в многочисленных задачах синтеза. Существуют четыре варианта КИХ-фильтров с линейной ФЧХ, которые обусловлены четырьмя типами симметрии коэффициентов КИХ-фильтров. Запишем выражение для ПФ КИХ-фильтра

	k		k
H( j T)	(a a e j T	a e j Tk )	a e j Ts.
	0 1	k	s
s	0	s	0

Вариант КИХ-фильтра 1. Порядок k – чѐтное число и для ко-

эффициентов

фильтра

выполняются

равенства as

ak s ,

s 0, 1,..., k/2

обеспечивающие

симметрию

относительно

коэффициента ak /2 :

H( j

e j

Tk/2

(a e j

Tk/2

a e j T (k/2 1) ...

s 0

e j

T (k/2 k/2)

... a e j

T (k/2 k) )

Tk/2

k/2

cos(

Ts)

Tk/2

c cos( Ts).

(6.5.5)

k/2

s 1

ФЧХ для КИХ-фильтра первого вида (6.5.5) представляется линейной функцией частоты ( ) Tk/2.

Вариант КИХ-фильтра 2. Порядок k – нечѐтное число и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as ak s , s 0, 1,..., (k 1)/2, обеспечивающие симметрию:

k
H( j T) e j Tk/2	(a e j Tk/2				a e j T (k/2 1)
	0				1
s 0
(k	1)/2								1
e j Tk/2		2a		cos		T	s		1
e j Tk/2		2a	k /2	cos		T	s
		s	k /2						2
s	0								2
s	0
	(k	1)/2						1
			cs cos		T	s		1	.
			cs cos		T	s		2	.
	s	0						2
	s	0

... ake j T (k/2 k) )

e j Tk/2

(6.5.6)

Вариант КИХ-фильтра 3. Порядок фильтра k – чѐтное число и

для коэффициентов фильтра выполняются равенства as	ak s ,
213

s 0, 1,..., k/2 1, обеспечивающие антисимметрию относительно

ak/2 0:

H( j T) e j Tk/2

s 0

e j Tk/2 j /2

(a e j Tk/2	a e j	T (k/2	1)	... a e j T (k/2 k) )
0	1			k
k/2 1
2a	sin(	Ts)	e j	Tk/2 j /2
s k/2
s 0
k/2 1
cs sin( Ts).				(6.5.7)
s 0

Вариант КИХ-фильтра 4. Порядок фильтра k – нечѐтное число

и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as	ak s ,
s 0, 1,..., (k 1)/2, обеспечивающие антисиметрию:

H( j T)

k
e j Tk/2	(a e j Tk/2			a e j		T (k/2 1)			...	a e j	T (k/2 k) )
		0			1					k
s	0
	(k	1)/2					1
j Tk/2 j /2			2a	sin	T	s	1		e j	Tk/2	j /2
j Tk/2 j /2			2a	sin	T	s			e j	Tk/2	j /2
			s k/2				2
	s	0					2
	s	0
		(k	1)/2				1
			cs sin		T	s	1	.			(6.5.8)
			cs sin		T	s	2	.			(6.5.8)
		s	0				2
		s	0

6.5.3. Синтез КИХ-фильтров методом оконных функций

Комплексная ПФ любого ЦФ является периодической функци-

ей частоты с периодом, равным	частоте дискретизации	2 / T.
Представим эталонную ПФ H0 ( j	T) синтезируемого ЦФ еѐ в виде
комплексного ряда Фурье с использованием (2.5.2):
H ( j T)	h(s)e j Ts ,	(6.5.9)
0

где параметры h(s) с номерами s определяются в соответствии с

известной формулой для коэффициентов комплексного ряда Фурье

(2.5.4):

214

H(z) z

k/2H(z).

	T	/T
h(s)	T	H		( j T)e	j Tsd ,	s .
h(s)	2	H	0	( j T)e	j Tsd ,	s .
			0
		/T
		/T

Нетрудно убедиться из (6.5.9), что коэффициенты разложения ПФ ЦФ в ряд Фурье могут интерпретироваться как отсчѐты импульсно-

переходной функции h(s),	s	. Если	ввести замену
e j T z, то на основе (6.5.9)	можно получить ПФ ЦФ в форме
z-преобразования
H (z)	h(s)z s.		(6.5.10)
0

Определѐнная подобным образом ПФ (6.5.10) описывает физически нереализуемый ЦФ бесконечного порядка.

Для получения ЦФ конечного порядка k необходимо провести усечение ряда (6.5.10), полагая h(s) 0 при s k /2. Здесь примем

для упрощения выкладок, что порядок k является чѐтным числом. Случай нечѐтного порядка k производится почти аналогично. Про-

изведѐм усечение в (6.5.10), получим H0(z):

	k/2
H (z) h(0)	h( s)zs h(s)z s .	(6.5.11)
0
	s 1

Физическая реализуемость ЦФ с передаточной функцией типа (6.5.11) может быть достигнута путѐм умножения H0 (z из (6.5.11) на z k/2:

(6.5.12)

Подобная модификация ПФ допустима, поскольку АЧХ при этом остаѐтся неизменной, а фазовое запаздывание уменьшается на ве-

личину Tk/2. Подстановкой z	e j T в выражение (6.5.12) можно
получить комплексную ПФ физически реализуемого ЦФ
	k/2
H( j T) e j Tk/2 h(0)	(h( s)e j Ts h(s)e j Ts ) .
	s 1

Рассмотрим случаи, когда импульсно-переходная характеристика КИХ-фильтра симметрична h(s) h( s) и антисиметрична

h(s) h( s), k – чѐтное число. В первом случае имеем следующее выражение для ПФ КИХ-фильтра:

215

		k/2
H( j T)	e j Tk/2	h(0)	2h(s) e j	Ts e	j Ts
		s	1	2
		s	1
	j Tk/2	k/2
e	j Tk/2	h(0)	2h(s)cos(	Ts)	,

иво втором случае ПФ КИХ-фильтра имеет вид

		j	Tk/2	k/2	2 jh(s) e j Ts e j Ts
H( j T)	e	j	Tk/2	h(0)	2 jh(s) e j Ts e j Ts
				s 1	2 j
				s 1
e j	/2	j	Tk /2	k/2
e j	/2	j	Tk /2	h(0)	2h(s)sin( Ts) .
				s	1

Усечение ряда (6.5.10) и формирование ПФ (6.5.12) приводит к эффекту Гиббса, связанному с образованием пульсаций АЧХ около еѐ точки разрыва (точки среза). Использование весовой последовательности конечной длины w(s), s 0, 1,..., k, которая называется

оконной функцией, для умножения коэффициентов Фурье с целью регулирования сходимости усечѐнного ряда Фурье даѐт хорошие результаты в отношении устранения эффекта Гиббса.

Пусть H0(e j T ) – частотная функция неусечѐнного ЦФ из (6.5.10). Положим, что для выбранной оконной функции w(s) найдена частотная функция

	k/2
W(e j T ) W(z) Z{w(s)}	w(s)z s.
s	k/2

Обозначим через Hw(z) Z{w(s)h(s)} частотную функцию КИХ-

фильтра, полученного в результате умножения коэффициентов им- пульсно-переходной функции на функцию окна. Произведение функций во временной области переводится в свѐртку в частотной области. Тогда очевидна запись в виде свѐртки

			T	2 /T
H	w	(e j T )		H(e j 1T )W(e j( 1)T )d .
H		(e j T )		H(e j 1T )W(e j( 1)T )d .
			2	1
			2	0
				0

Частотная функция окна W(e j T ) должна иметь главный лепесток,

содержащий почти всю энергию окна, и боковые лепестки, которые должны обычно быстро затухать. При определѐнном выборе функции окна w(s) удаѐтся устранить явление Гиббса. Наиболее часто

216

для рассматриваемой здесь задачи используются временные оконные функции Хэннинга, Хемминга и Блэкмана. Разумеется, существует целый ряд других функций окон.

Рассмотрим пример синтеза низкочастотного КИХ-фильтра с заданными c , T и заданной эталонной функцией АЧХ H0 ( j T) в виде

	H0 ( j	T)	1 при 0	c;

H0 ( j T)		0 при c		2 / 2T.

Будем полагать, что для эталонной ПФ справедливо равенство

H0 ( j T) 1 для 0 c , H0 ( j T) 0 для c 2 / 2T и

H0 ( j T) имеет период 2 / 2T.

Найдѐм импульсно-переходную характеристику предполагаемого к синтезу КИХ-фильтра на основе разложения в ряд Фурье H0 ( j T), вычислим интеграл в симметричных пределах:

2 /T

( j T)e j Tsd

h(s)

Tsd

e j

1 e

( jTs)

T(e j

cTs

e j cs )

sin(

Ts)

(

jTs)

Запишем выражение для ПФ физически реализуемого КИХфильтра для z-переменных, пусть k – чѐтное число:

						k/2
	H(z)		z k/2		h(0)		h(s)(zs		z s )		,
						s	1
где	a h(0)	cT	, a	s	2h(s)			2sin(	cTs)	,	s 1,..., k 2.
	0			s				s
								s
ПФ синтезированного КИХ-фильтра имеет вид
					k/2
	H( j T) e j Tk/2					a (e j Ts			e j Ts )
							s
					s	0
					k/2
			e j		Tk /2	a cos( Ts).					(6.5.13)
						s
					s	0
					217


КИХ-фильтр (6.5.13) синтезирован							с прямоугольным окном
w0 (s) 1 при 0 s k,	w0 (s)		0	при s			0, s		k . На рис. 6.5.1а,
6.5.1б изображены АЧХ		H( j	T)		и L	H( j		T)	синтезированного
6.5.1б изображены АЧХ		H( j	T)		и L	H( j		T)	синтезированного
КИХ-фильтра (6.5.13) для k			100,		c		8,	T	0,2 в линейном и
					c

логарифмическом масштабе. Видно, что в окрестности частоты среза с функция АЧХ имеет значительные пульсации в полосе пропускания и задерживания.

Рис. 6.5.1а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с прямоугольным окном в линейном масштабе

Рис. 6.5.1б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с прямоугольным окном в логарифмическом масштабе

Этот же пример рассмотрим, когда для синтеза КИХ-фильтра используется окно Хэннинга. Для этого последовательность коэф-

218

фициентов as	умножается на функцию wH (s), которая описывает-
ся весовой функцией
w (s) 0,5	0,5сos	2	s при 0 s k, w (s) 0 при s 0, s k.

H		k	H

Модифицированная ПФ для синтезированного фильтра представляется формулой

k/2
H( j T) e j Tk/2	a w (s)cos( Ts).	(6.5.14)
	s H
s	0

На рис. 6.5.2а, 6.5.2б изображены АЧХ H( j T) синтезированного

КИХ-фильтра с окном Хэннинга в линейном и логарифмическом масштабе. Видно, что благодаря применению окна существенно снижаются пульсации в полосе пропускания и уровень пульсаций в полосе задержания снижается почти до 50 Дб.

Рис. 6.5.2а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Хэннинга в линейном масштабе

Рис. 6.5.2б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Хэннинга в логарифмическом масштабе

219

Рис. 6.5.3а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Блэкмана в линейном масштабе

Рис. 6.5.3б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Блэкмана в логарифмическом масштабе

Рассмотрим пример синтеза КИХ-фильтра с использованием окна Блэкманна

w (s) 0,42 0,5сos 2		s	0,08cos	4	s	при 0 s k,

B	k			k

	wH (s) 0		при s 0,		s	k.

ПФ для синтезированного КИХ-фильтра с wB (s) представляется формулой

k/2
H( j T) e j Tk/2	a w (s)cos( Ts) .	(6.5.15)
	s B
s	0

220

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>