getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie

ли (2.5.1) имеет размерность (2L 1, 1) и выглядит на интервале

Нетрудно убедиться в том, что для 0 t T0 составляющие базис

функции ортогональны. Действительно, легко проверить, что интегралы от произведений базисных функций равняются нулю:

Вычислим интегралы от квадратов базисных функций:

Основываясь на произведѐнных выкладках, с учѐтом формулы (2.4.14) для решения линейной системы с ортогональными базисными функциями, получим оптимальные значения коэффициентов модели для фиксированного L:

ственно, можно сразу записать, опустив знак , формулы для оп-

61

тимальных параметров модели, которые являются известными коэффициентами разложения Фурье:

В силу ортогональности базисных функций модели ряда Фурье мощность P сигнала, сформированного на основе ряда Фурье, сла-

гается из мощностей составляющих синусоид Pl , мощность для l-й синусоиды определяется амплитудами

Благодаря ортогональности данного базиса для рассматриваемой модели возможно представление дискретного спектра мощности в виде бесконечной последовательности равноотстоящих на по оси частот значений Pl .

Сходимость функций модельного ряда Фурье зависит от числа членов, которые учитываются в разложении и от свойств аппроксимируемого сигнала. В случае, если производные для сигнала y(t) претерпевают разрывы или резкие изменения, то модельный

ряд Фурье становится колебательным в области разрывов (резких изменений) и возникает так называемый эффект Гиббса.

Рассмотрим численные примеры вычисления модельных рядов Фурье с конечным числом членов, основываясь на (2.5.1):

Пример 1. Содержит разложение в ряд Фурье на интервале вре-

Коэффициенты Фурье для ряда Фурье вычисляются по следующим формулам, исходя из вида аппроксимируемой функции y1(t):

l 1,..., L.

62

Проинтегрируем, опустим промежуточные выкладки, получим

На рис. 2.5.1а изображѐн график функции модельного ряда Фурье yM1(с,t) для Т0 1, Т01 0,6 и L 25 – кривая 1, в точках разрыва ряд Фурье стремится к значению 1/2. Пунктирной линией 2 изображѐн аппроксимируемый сигнал y1(t). Видно, что функция

yM1(с,t) претерпевает довольно значительные колебания в областях нарушения непрерывности y1(t) (в окрестности точек Т0 и Т01), т.е. имеет место эффект Гиббса.

Пример 2. Содержит разложение в ряд Фурье на интервале времени длительностью T0 для кусочно-линейного непрерывного сигнала y2(t):

Уменьшение колебаний из-за эффекта Гиббса может быть достигнуто при условии, если аппроксимируемый сигнал будет непрерывным.

Непрерывность y2 (t) обеспечивается при условии выполнения равенств

2

a0 T0 (T02 (T03 T02 ) /2 (T0 T04 ) /2) .

Вычисления (2.5.4) произведены с помощью табличных интегралов

На рис. 2.5.1б изображѐн график функции модельного ряда Фурье

ряда уменьшились, эффект Гиббса почти устранѐн.

Рис. 2.5.1а. Функция модельного ряда Фурье для ступенчатого сигнала

Рис. 2.5.1б. Функция модельного ряда Фурье для кусочно-линейного непрерывного сигнала

64

2.5.2. Модели сигналов на основе комплексного ряда Фурье

Для многих задач ЦОС используется обобщение разложения Фурье на комплексный случай. Пусть произведено наблюдение

l

Комплексный вектор параметров модели имеет бесконечную раз-

Так же как и для разд. 2.5.1, ограничимся конечным числом комплексных модельных синусоид, которые составляют модель; пусть число модельных синусоид равняется L. В этом случае вектор базисных функций для модели (2.5.5) имеет размерность (2L 1, 1) и

выглядит следующим образом

Нетрудно убедиться в том, что на интервале времени 0 t T0 составляющие базис функции ортогональны. Действительно, инте-

Оптимальные параметры модели cl , обеспечивающие минимум

функционала (2.5.6), после того как сделаны необходимые выкладки и предельный переход L определяются следующими интегралами (опущен знак ):

Пусть для рассматриваемой функции сигнала y(t) выполняются сформулированные в разд. 2.5.1 условия сходимости с учѐтом

l

Вследствие (2.5.8) остаточная сумма квадратов (2.5.6) – значение функционала для оптимальных параметров – должно принимать

соотношения между коэффициентами действительного al , bl и

Тогда легко видеть, что справедливы следующие равенства для

Благодаря ортогональности используемого комплексного базиса общая мощность сигнала представляется в виде суммы мощностей составляющих как для положительных, так и отрицательных частот.

2.5.3. Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье

Интеграл Фурье реализуется на основе рассмотрения комплексного ряда Фурье для бесконечного временного интервала; бу-

0

Данные условия являются достаточными для существования преобразования Фурье сигнала y(t).

Без потери общности примем временной интервал симметрич-

Запишем коэффициенты разложения комплексного ряда Фурье для

Сформируем интегралы

ем Фурье для y(t). Два последних интеграла являются прямым и

обратным преобразованием Фурье. Сигнал представляется как во временной области при традиционном анализе, так и в частотной области в виде непрерывных коэффициентов разложений Фурье

Физический смысл функции C( j ) очевиден. Преобразование Фурье C( ) представляет собой предельную функцию коэффици-

ентов комплексного ряда Фурье.

Функция C( ) в общем случае является комплексной функцией частоты и допускает следующие представления:

( ) – модуль и фаза преобразования Фурье.

Разберѐм некоторые свойства преобразований Фурье.

1. Из определения преобразования Фурье следует его линейность или свойство суперпозиции. Пусть функция y(t) представ-

ляет собой взвешенную сумму функций ys (t), для которых заданы

Тогда, очевидно, преобразование Фурье C( j ) для y(t) вычисляется как взвешенная сумма преобразований Фурье Cs ( j ) :

Сделав аналогичные выкладки, получим, что преобразование

4. Вычисление преобразование Фурье для комплексной сину-

Импульсная -функция может рассматриваться как предел обыч-

Для -функции устанавливается важное равенство:

быть доказано путѐм вычисления следующего предела:

b

(x0 ) lim (x) a (x x0 )dx.

0 a

С учѐтом сделанного определения можно записать преобразование

Действительно, подставив в выражение для обратного преобразования Фурье, получим тождество

5. Пусть С( j ) – преобразование Фурье для функции y(t).

Найдѐм выражение для преобразования Фурье для производной y(t) Запишем выражение для обратного преобразования Фурье и

Из последнего выражения следует, что

F[y(t)] ( j )C( j ).

Сделав почти аналогичные выкладки, можно записать преобразо-