Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белгородский университет кооперации, экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

6.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

Рассмотрим этапы метода билинейного преобразования для задачи синтеза ЦФ. В этом методе назначаются последовательность характерных частот di для синтезируемого ЦФ (в частном случае

это могут быть частоты среза), последовательность характерных значений АЧХ ЦФ Hi Hd ( j diT) , i 1,..., m, интервал дискре-

тизации T и задаѐтся ПФ аналогового фильтра-прототипа Hа (c, p),


зависящая от вектора параметров сТ (c ,..., c ). С использовани-
1		m
ем Hа (c, p) формируется функция АЧХ	Ha (с, j ).

На первом этапе на основе (6.3.2) характерные цифровые частоты di переводятся в характерные аналоговые частоты

ai tg( diT /2), i = 1, 2,…, m.


На втором этапе с помощью АЧХ	Ha ( j )	аналогового фильт-
ра-прототипа и последовательностей Нi , аi ,		i = 1, 2,…, m, запи-

сывается в общем случае нелинейная система уравнений, завися-

щих от параметров сi	, i = 1, 2,…, m:
H1	H(c1,..., cm,	a1,...,	am),
H2	H(c1,..., cm,	a1,...,	am),
Hm	H(c1,..., cm,	a1,...,	am).

Решение этой системы, например, подходящим численным методом, позволяет найти параметры сТ (c1,..., cm) аналогового фильтра-прототипа

сi с(Н1,..., Нm, a1,..., am), i 1,..., m,

и на их основе полностью определить ПФ Hа (c, p) аналогового

фильтра.

На третьем этапе с помощью билинейного преобразования (6.3.1) ПФ Hа (c, p) полностью определѐнного аналогового фильтра переводится в ПФ ЦФ – формируется ПФ для синтезированного ЦФ в виде Hd (c, z), зависящая от оператора z, на основе которой формируется АЧХ ЦФ Hd (c, j T) . Очевидно, для назначенных Нi , di синтезированный ЦФ должен обеспечить выполнение соотношений Hi Hd (c, j diT) , i 1,..., m.

201

Реализуем этапы задачи синтеза ЦФ низких частот с назначенными цифровой частотой среза cd и интервалом дискретизации T. Выберем апериодическое звено в качестве аналогового фильтрапрототипа. Передаточная функция Hа (c, p) и квадрат АЧХ для такого фильтра будут иметь вид

			Hа ( p)		1			,
			Hа ( p)		Tа р	1		,
					Tа р	1
	H (Т , j )	2		1				1			.	(6.3.5)
		2		1				1

	а а		(T ( j )	1)(T (			j ) 1) T 2 2			1
	а а		(T ( j )	1)(T (			j ) 1) T 2 2			1
			а		a				а
На основе заданного значения цифровой частоты среза												cd вы-

числим требуемую частоту среза для аналогового фильтрапрототипа ca , воспользуемся формулой (6.3.2)

ca tg(wcdT / 2).

Найдѐм параметр Та для аналогового фильтра-прототипа на ос-

нове найденной частоты среза									сa :
								1	1	1
	H	а	( j	cа	)	2					,	T	3	.
						2							3

							T2	2	1 2	2		a	cа
							а	cа					cа
Благодаря найденному значению параметра Та													ПФ аналогового

фильтра-прототипа является полностью определѐнной. Сформируем ПФ для ЦФ путѐм подстановки билинейного пре-

образования в определѐнной ПФ аналогового фильтра-прототипа:

Hd (Та , z)			1			z	1
Hd (Та , z)		z	1		Ta (z 1)		(z 1)
		z	1
	Tа ( z 1)			1
	Tа ( z 1)			1
			1	z 1		.	(6.3.6)
	(1		T )z 1 (1 T )			.	(6.3.6)
			а		а

Запишем выражение для квадрата АЧХ синтезируемого цифрового фильтра

Hd (Та , j T)

(6.3.7)

T )e

(1 T )

Разберѐм численный пример, зададим для синтеза ЦФ исходные

значения cd 10,0 и T 0,2. Применив (6.3.2), найдѐм частоту

202

среза аналогового фильтра-прототипа ca 1,557, на основе которой вычислим постоянную времени Ta 1,110. Далее ПФ (6.3.5) с

помощью подстановки билинейного преобразования переведѐм в ПФ ЦФ (6.3.6). На рис. 6.3.5 изображены функции АЧХ для синтезированного ЦФ Hd ( j T) – сплошная кривая и аналогового

фильтра-прототипа			Hа ( j )	– пунктирная кривая, 0	f ,

f	14,0.	Видно, что аналоговый фильтр-прототип удалось с по-

мощью билинейного преобразования перевести в ЦФ с назначенной частотой среза.

Рис. 6.3.5. Синтез ЦФ низких частот

6.4. Синтез ЦФ Баттерворта

6.4.1. Аналоговый фильтр Баттерворта

Функция квадрата АЧХ для низкочастотного аналогового фильтра Баттерворта (АБФ), по определению, описывается выражением

H( j )	2		1			,	(6.4.1)
	2		1
		1			2N
					2N

				са
				са
		203

где N – порядок фильтра; са – частота среза. Из (6.4.1) следует,

что, действительно, H( j cа ) 2 1/ 2. На рис.6.4.1 представлены

графики функции квадрата АЧХ рассматриваемого АБФ для значе-

ний N1 5, N2 15, N3 40 и cа 12.

Рис. 6.4.1. Квадрат АЧХ низкочастотного аналогового фильтра Баттерворта

Из анализа графиков видно, что при увеличении порядка N в ок-

рестности

са

увеличивается крутизна АЧХ и в полосе частот

са

АЧХ становится плоской. Продифференцируем функ-

цию

H( j

)

2 по

, вычислим значение крутизны в точке

са :

2N 1

H( j )

(

cа

H( j cа )

. (6.4.2)

cа

Для (6.4.2) можно заключить, что крутизна АЧХ для низкочастотного АБФ увеличивается при уменьшении частоты среза.

Рассмотрим нахождение передаточной функции H( j ) для низкочастотного АФБ, который в дальнейшем будет служить

204

фильтром-прототипом. Для функции квадрата АЧХ (6.4.1) может быть записано очевидное равенство

H( j ) 2 H( j ) H( j ) .

Сделаем необходимые выкладки:

	2		1		2N	2N
H( j )	2		1		с	с
H( j )			2N	( )2N	2N	(( )2 )N	2N
			2N	( )2N	2N	(( )2 )N	2N
		1			cа		cа
		1	2N		cа		cа
			са

( 1)N 2N 2N

cа

и сформируем уравнение, которое позволит найти соответствующие полюса для АФБ:

( 1)N 2N	2N	0.	(6.4.3)
	cа
На основе анализа формулы (6.4.3) следует, что 2N комплексных
полюсов для ПФ H( j ) и H( j	) располагаются на окружности

радиусом са. Основываясь на симметрии можно заключить, что N

полюсов расположены в левой полуплоскости, остальные N полюсов – в правой. Для того чтобы синтезируемый аналоговый фильтрпрототип был устойчив, выберем ПФ H( j ) таким образом, чтобы

все еѐ N полюсов расположились в левой полуплоскости. Соответственно, полюса цифрового фильтра Баттерворта (ЦФБ), который будет получен из аналогового с помощью билинейного z-пре- образования, будут располагаться внутри единичной окружности.

Вычисление полюсов связано с определением корней 2N-й степени из единицы. Отдельно разберѐм случаи нечѐтного и чѐтного N.

Если N – нечѐтное, то вычисление аналоговых полюсов с учѐтом (6.4.3) производится на основании следующей формулы:

				a	cа ( 1)1/2N ,
из которой видно, что 2N полюсов							ar	представляются следую-
щим образом:
ar	сa	cos	2	r j sin	2	r ,	r	0, 1,..., 2N 1.	(6.4.4)
ar	сa	cos	2N	r j sin	2N	r ,	r	0, 1,..., 2N 1.	(6.4.4)
			2N		2N

Полюса (6.4.4), которые лежат в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству

205

N 1	r	3N 1	.
2		2

Заметим, что для нечѐтных N cреди полюсов, лежащих в левой полуплоскости, имеется один действительный, который равен

aN ca.

Если N – чѐтное, то полюса, с учѐтом (6.4.3) вычисляются по формуле

ca (

1)1/2N .

Справедливы следующие тождества:

e j

(

1), ( 1)1/2N

e j

( 1)1/2N

e j

cos

r j sin

0,1,..., 2N

на основании которых для чѐтных N все 2N полюса

могут быть

найдены по формуле

с cos

(2r 1)

j sin

(2r

0, 1,...,

1. (6.4.5)

Полюса (6.4.5), лежащие в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству

	N		r	3N	1.
	2		r	2	1.
	2			2
Введѐм обозначения с		(	ar	*	), d	*	, где	ar	,	*	–
r			ar	ar	r	ar ar		ar		ar

комплексно-сопряжѐнные полюса из (6.4.4) или (6.4.5). Тогда соответствующая этим полюсам составляющая ПФ от пары комплекс- но-сопряжѐнных полюсов будет иметь вид

		1			1			.
( p	ar	)( p	*	)		p2 c p d		.
	ar		ar			r	r

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для нечѐтных N представится в виде произведения составляющих ПФ от пар комплексно-сопряжѐнных полюсов и одного действительного полюса

				N
H( p)				cа				.	(6.4.6)
H( p)				N				.	(6.4.6)
				N
	( p	c	)	( p2 c p	d	r	)
		c		r		r

r(N 1)/2

206

ПФ для аналогового низкочастотного фильтра-прототипа для чѐтных N представится следующей формулой:

	N
H( p)	cа				.	(6.4.7)
H( p)	N 1				.	(6.4.7)
	N 1
	( p2 c p	d	r	)
	r		r

r N /2

Нетрудно видеть, что коэффициент усиления АФБ на нулевой частоте при р 0 равняется единице.

6.4.2. Синтез низкочастотного ЦФ Баттерворта

Процедура синтеза включает следующие этапы:

1)	задание частоты среза	сd , интервала дискретизации T и
значения порядка N для синтезируемого низкочастотного ЦФБ;
2)	вычисление частоты среза аналогового фильтра-прототипа на
основе формулы (6.3.2) с учѐтом интервала дискретизации T
	са	tg( cdT /2);

3)расчет параметров низкочастотного АФБ, являющегося фильтром-прототипом, – вычисление полюсов и формирование его передаточной функции;

4)перевод низкочастотного АФБ с помощью билинейного z- преобразования в ЦФБ.

Рассмотрим случай нечѐтных N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из одного вещест-

венного полюса и (N 1) / 2 пар комплексно-сопряжѐнных полю-

сов и представится формулой (6.4.6). Применим билинейное z- преобразование к (6.4.6), получим ПФ для ЦФБ

H1(z)

cа

z 1

1)2

(

cа )

(

cr (

) dr )

z 1

(z 1)2

z 1

(N 1)/2

1)N

cа

. (6.4.8)

((

cа

1)z

cа

((z

1)2

c (z

1)(z 1) d

)

(N 1)/2

Рассмотрим случай чѐтных значений N. Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа будет формироваться из N/2 пар

207

комплексно-сопряжѐнных полюсов и представится (6.4.7). Применим билинейное z-преобразование к (6.4.7), получим ПФ для ЦФБ

				N
H1(z)				cа
H1(z)		N 1	(z 1)2		z 1
			(z 1)2		z 1
				cr (		) dr
	r	N /2	(z 1)2	cr (	z 1	) dr
	r	N /2

N (z 1)N

са

(6.4.9)

N 1

((z

1)2

c (z

1)(z

)

N /2

Разберѐм численный пример синтеза низкочастотного ЦФБ с

параметрами

0,2 и порядком N

3. Аналоговая час-

тота среза примет значение

са

tg(

cdT /2)

0,546. Аналоговый

фильтр-прототип в соответствии с (6.4.6) имеет три полюса, кото-

рые лежат в левой комплексной полуплоскости:

сa

cos

j sin

;

2, 3, 4;

ca ;

2 3

a2,4

Для параметров (6.4.10) при r

2 вычислим c2

ca , d2

ca и

сформируем передаточную функцию фильтра-прототипа

H( p)

(6.4.10)

( p

)( p2

)

Применим билинейное z-преобразование к (6.4.10), получим пере-

даточную функцию ЦФБ H (z)

или в форме H (z 1):

H1(z)

(6.4.11)

1 2

H1(z)

3са (z

1)3

(z(

(

1))(z2 (1

)

z(2

2) (1

2 ))

H (z 1)

3са (1 z 1)3

((

1) (

1)z 1)((1

2 )

(2 2

2)z 1

)z 2)

208

На рис. 6.4.2 показана функция квадрата АЧХ H1( j T) 2 для синтезированного низкочастотного ЦФБ, полученная в результате подстановки в (6.4.11) z 1 e j T , z 2 e j T2. Видно, что в синтезированном ЦФБ реализовалась заданная частота среза.

Рис.6.4.2. Квадрат АЧХ синтезированного низкочастотного ЦФ Баттерворта третьего порядка

6.4.3.Синтез высокочастотного, полосового пропускающего и заграждающего ЦФ Баттерворта

Высокочастотный ЦФБ может быть синтезирован на основе ПФ низкочастотного ЦФБ. Пусть ПФ низкочастотного ЦФ, записанная

для	нормированных			частот, представится в					виде		H1(w, wc );
													1
0	w 0,5; 0	wс	0,5. Очевидно,				ПФ высокочастотного ЦФ мо-
		1
жет быть получена с помощью подстановки в									H1(w, wc			)	новых
											1
переменных w2		0,5		w; w	0,5	w2	и wс	0,5	wс ; wс		0,5		wс :
							2		1	1			2
	H1(w, wc )		H1(0,5		w2, 0,5		wc )	H2 (w2, wc		).		(6.4.12)
		1					2		2
Сделаем переобозначение					w2	w в (6.4.12) и получим						оконча-
тельно ПФ H2		(w, wc		) для высокочастотного ЦФБ.
			2
						209

Последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ H1(w, wc1 ), H2 (w, wc2 ) и частотами среза wc1 , wc2 , удовлетворяющих условию wс1 wс2 , очевидно позволяет сформировать

полосовой пропускающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих

H3(w, wc1 , wc2 ) H1(w, wc1 ) H2 (w, wc2 ). (6.4.13)

На основе (6.4.13) записывается АЧХ полосового пропускающего ЦФ:

H3	(w, wc	, wc )		H1(w, wc	)		H2	(w, wc )	.
	1	1		1				2

Аналогичным образом последовательное соединение низко- и высокочастотного ЦФ с ПФ H1(w, wc1 ), H2 (w, wc2 ) и частотами

среза, которые удовлетворяют условию wс1 wс2 , даѐт возмож-

ность сформировать полосовой заграждающий ЦФ. Его ПФ будет представлять собой произведение ПФ составляющих

H4 (w, wc1 , wc2 ) H1(w, wc1 ) H2 (w, wc2 ). (6.4.14)

На основе (6.4.14) записывается АЧХ полосового заграждающего ЦФ

H4	(w, wc	, wc )		H1(w, wc	)		H2	(w, wc )	.
	1	1		1				2

6.5. Cинтез КИХ-фильтров

КИХ-фильтры были определены в разд. 6.1. Эти фильтры задаются набором коэффициентов a0, a1,...,ak и реализуют скользящее взвешенное суммирование последовательности входного сигнала

y( k), y( k 1),..., y(0), y(1), у(2)... .				Выходной сигнал	КИХ-
фильтра формируется в соответствии с формулой
	k
x(i)	as y(i		s),	i 0, 1, 2...,	(6.5.1)
s	0
вычисления начинаются с i		0. Передаточная функция для разно-
стного уравнения КИХ-фильтра (6.5.1) записывается в виде
			k
H( j		T)	a e j Ts.		(6.5.2)
				s
			s 0
			210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>