getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie

Рис. 3.4.1. Появление «кажущихся» частотных составляющих

Подвергнем исходный непрерывный сигнал y(t) дискретизации с частотой fd1 4 f0 – четыре точки дискретизации на один период T0 , интервал дискретизации T1 1/ 4 f0 , T1 T0 / 4. Дискретизованные значения исходного сигнала отмечены чѐрными жирными точками для синусоидального сигнала y1(T1i) (см. рис. 3.4.1). Уменьшим частоту дискретизации, примем еѐ равной fd 2 4 / 3 f0, период дискретизации Td 2 4 / 3T0, эти точки дискретизации на графике сигнала y2 (T2i) отмечены кругами на пунктирной линии. В пер-

вом случае частота дискретизации больше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал воспринимается как сигнал с периодом Tk1 T0 и его «кажущаяся» частота совпадает с частотой ис-

ходного сигнала fk1 f0 . Во втором случае частота дискретизации меньше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал вос-

Вследствие неудачного выбора частоты дискретизации имеет место очень сильное искажение информации, «кажущаяся» частота сигнала меньше частоты исходного сигнала, что и видно из рис. 3.4.1.

Рассмотрим более детально существо проблемы возникновения «кажущихся» частотных составляющих для дискретной синусои-

Разберем первый пример – частота Найквиста больше частоты

жущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. Разберѐм второй пример – частота Найквиста меньше частоты сигнала –

примере «кажущаяся» частота меньше частоты исходного сигнала. Данные примеры позволяют сделать заключение, что для совпадения частоты сигнала и «кажущейся» частоты, частота Найквиста должна быть больше частоты дискретизуемого сигнала.

Вследствие неправильного выбора частоты дискретизации «кажущиеся» частоты приводят к эффекту маскировки (эффекту

проиллюстрировано на амплитудном спектре, изображѐнном на рис. 3.4.2.

Рис. 3.4.2. Амлитудный спектр двухчастотного сигнала и эффект маскировки

При такой частоте дискретизации, которая определяется положением частоты f N , первая синусоида воспринимается с «кажу-

102

двухчастотном сигнале появляется ложный сигнал с низкой частотой – смещѐнный в низкочастотную область, который во многих случаях может «маскировать» исходный сигнал, так как fk 2 f1 .

Дискретизация с такими параметрами может катастрофически исказить исходный сигнал – спектр высокочастотного сигнала перемещается в низкочастотную область, и наложиться на спектр основного сигнала.

3.4.3. Теорема Котельникова

Установим возможность точного восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям. В рамках теоремы Ко-

тельникова рассматриваются сигналы, принадлежащие к классу сигналов с финитным преобразованием Фурье. Сигнал y(t) имеет

сигнала – полоса сигнала. Теорема Котельникова утверждает, что для сигналов с финитным преобразованием Фурье возможно точное восстановление сигнала по дискретным наблюдениям, если

Представим исходный сигнал y(t) на основе обратного преобра-

Таким образом, в соответствии с теоремой Котельникова сигнал с финитным преобразованием Фурье с полосой при выборе час-

тоты дискретизации d 2 допускает точное восстановле-

ние – выполнение равенства (3.4.1).

Теорема Котельникова имеет чрезвычайно большое значение для практики задач ЦОС.

3.4.4. Противомаскировочные фильтры

Устранение эффекта маскировки (наложения) может быть реализовано двумя способами.

Во-первых, устранение может быть осуществлено с помощью назначения высокой частоты дискретизации, которую необходимо выбрать таким образом, чтобы еѐ величина была бы более чем в два раза больше, чем значение полосы сигнала.

Во-вторых, если по некоторым техническим причинам нельзя назначить высокую частоту дискретизации, то исходный непрерывный сигнал, прежде чем подвергнуть дискретизации, следует пропустить через аналоговый низкочастотный фильтр с частотой среза с 2 fс и с АЧХ, изображенной на рис. 1.3.6. В отфиль-

трованном сигнале не должны содержаться составляющие с частотой выше, чем указанная частота среза c. Низкочастотный фильтр

должен отсечь неинформативные (помеховые) высокочастотные составляющие сигнала. Для частоты дискретизации подобным образом отфильтрованного сигнала необходимо выполнение неравенства fd 2 fc.

Указанная фильтрация называется противомаскировочной, а используемые аналоговые фильтры – противомаскировочными.

Список вопросов для самопроверки к гл. 3

1.Какое определение для функций законов распределения для случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

2.Какое определение для функций плотностей вероятностей для случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

105

3.Какое определение для моментных характеристик случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

4.В чѐм состоит алгоритм вычисления оценок плотностей вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций случайных сигналов?

5.Какие варианты определений для стационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС?

6.Какое определение для эргодических случайных сигналов используется в задачах ЦОС?

7.В чѐм состоит алгоритм вычисления оценок моментных характеристик для стационарных эргодических случайных сигналов в дискретном случае?

8.Какие определения для нестационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС?

9.Какие определения для локальных интервалов используются в задачах ЦОС?

10.В чѐм состоит алгоритм вычисления локальных оценок статистических характеристик нестационарных случайных сигналов?

11.В чѐм состоят причины возникновения аддитивных и мультипликативных трендов в сигналах?

12.В чѐм состоит методика устранения трендов для нестационарных случайных сигналов?

13.В чѐм состоят причины возникновения аномальных значений

внаблюдениях случайных сигналов?

14.В чѐм состоит методика устранения аномальных значений в наблюдениях сигналов?

15.Какие варианты и характеристики процедур дискретизации непрерывных сигналов приведены в разд. 3.4?

16.В чѐм состоит формулировка и описание основных этапов вывода теоремы Котельникова?

17.В чѐм состоят причины возникновения «кажущихся частот»

вдискретизованных сигналах?

18.В чѐм состоит методика устранения «кажущихся частот» в дискретизованных сигналах?

106

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

4.1.Дискретное преобразование Фурье

4.1.1.Оценивание параметров полигармонических моделей и задачи спектрального анализа

Пусть y(i) y(Ti) – наблюдения действительного дискретизо-

ванного сигнала, представляющего собой сумму гармонических (узкополосных) составляющих, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. Рассмотрим для подобного сигнала на ограниченном временном интервале модельную полигармоническую функцию вида

случай, когда L – число составляющих в сигнале – известно из априорных сведений.

Для решения задачи оценивания параметров модели (4.1.1) необходимо сформировать функционал S(c, y) , являющийся мерой

близости наблюдений и модели, который записывается известным образом:

Оценивание оптимального вектора параметров полигармонической модели с сводится к решению задачи минимизации сформированного функционала

ся на основе решения достаточно сложной задачи поиска минимума функционала S(c, y). Проблемы определения минимума функцио-

нала (4.1.2) обусловлены спецификой модели (4.1.1), представляю-

107

щей собой сумму синусоидальных функций, нелинейно зависящих от частотных параметров L . В силу указанных особенностей модели функционал S(c, y) является многоэкстремальным.

Применим технологическое упрощение в задаче минимизации рассматриваемого функционала, заключающееся в разделении параметров, входящих в модель (4.1.1) линейно и нелинейно. Нелинейные параметры фиксируются и находятся частично оптимальные линейные параметры с помощью решения соответствующей системы линейных уравнений. Вычисляется значение частично оптимального функционала при фиксированных нелинейных параметрах и частично оптимальных линейных параметрах. Далее производится поиск минимума частично оптимального функционала по нелинейным параметрам, позволяющий получить окончательное решение.

Поясним методику реализации предлагаемого технологического

стоящий из нелинейных параметров. Введѐм векторную базисную функцию ( , Ti) размерности (2L, 1), состоящую из синусои-

дальных функций

T ( , Ti) (cos 1Ti,..., cos LTi, sin 1,..., sin LTi).

Модель полигармонического сигнала в таком случае можно будет записать в виде скалярного произведения

и на первом этапе оптимизации находим частично оптимальные линейные параметры ( ) из решения системы линейных уравнений

( ) arg{ min S( , , y}.

,const

Записываем выражение для вычисления значений частично оптимального функционала

108

i0

ина втором этапе оптимизации на его основе находим оптимальные

нелинейные частотные параметры путѐм подпоиска по частотным параметрам для частично оптимального функционала. Необхо-

димо отметить, что функционал S( ( ), , y) является многоэкс-

тремальным. Оптимальные линейные параметры являются функциями оптимальных частотных параметров

arg{min S( ( ), , y)}, ( ).

Описанное технологическое упрощение, очевидно, эффективно лишь при малой размерности вектора нелинейных параметров.

Вычислительные трудности оптимизации сформированного функционала происходят от того, что для достижения достаточно высокой точности подгонки модели к наблюдениям осуществляется подпоиск многоэкстремального функционала по частотным нелинейным параметрам. Проблемы решения задачи оценивания параметров полигармонической модели многократно увеличиваются, если оказывается неизвестным число гармонических (узкополосных) составляющих в наблюдениях сигнала.

Оценивание параметров полигармонических моделей применяется для решения одного из вариантов задачи спектрального анализа – определения оценок амплитуд и частот составляющих в наблюдениях.

4.1.2. Дискретное преобразование Фурье для действительных сигналов

Один из возможных путей, радикально упрощающий задачу оценивания параметров для полигармонических моделей, состоит в подмене исходной задачи на видоизменѐнную задачу с линейной моделью, в которой используются синусоидальные базисные функции с фиксированными частотами. Частоты базисных функций располагаются равномерно на частотной оси с достаточно мелким шагом; как правило, число синусоидальных базисных функций в модели должно быть много больше числа частотных составляющих в наблюдениях.

109

Перейдѐм к рассмотрению дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для действительных сигналов. Так же как и в разд. 4.1.1, y(i) y(Ti) являются наблюдениями действительного дискретизо-

ванного сигнала, i 0, 1,..., N 1, N – число наблюдений, T – интервал дискретизации. В самом общем случае для ДПФ не выдвигается никаких специальных требований к наблюдениям сигнала.

Полигармоническую модель с фиксированными частотами для ДПФ в действительном случае примем в следующем виде:

функционал S(c, y) записывается по аналогии с (4.1.2):

Обратим внимание на то, что благодаря выбранным частотам данная векторная базисная функция не зависит от интервала дискретизации T: