getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie

сделать приближѐнные оценки для искажѐнной амплитуды, которая равняется А0 0,25 и фазового запаздывания, равного

Рис. 6.2.1. Моделирование установившегося режима для ЦФ

Введѐм комплексный коэффициент H( j T), не зависящий от дискретного индекса i и позволяющий связать входной y(Ti) и вы-

функцией. Отметим, что ПФ является комплексной функцией частоты и может быть представлено в показательной форме

x(i r) H( j T)y(i r) H( j T) e j Tie j Tr .

Подставив эти выражения в разностное уравнение для ЦФ, получим формулу для передаточной функции ЦФ

181

АЧХ и ФЧХ, которые вычисляются на основе ПФ (6.2.2), позволяют определить амплитудные и фазовые искажения для выходного синусоидального сигнала.

Любому разностному уравнению ЦФ вида (6.1.1) может быть поставлена в соответствие передаточная функция вида (6.2.2). К примеру, для разностного уравнения

x(i) 2x(i 1) 3x(i 2) 4x(i 3) 5y(i) 6y(i 1)

передаточная функция для фиксированного значения интервала дискретизации T будет иметь вид

Приведѐм выражения передаточных функций для ЦФ первого и второго порядка вида (6.1.3), (6.1.4)

Очевидно, ПФ является периодической функцией частоты с периодом 2 T . В самом деле

Для действительных параметров ЦФ a0, a1,...,ak , , b1,..., bm

мой части числителя ПФ, ( ), ( ) – для действительной и мни-

мой части знаменателя ПФ. С учѐтом того, что все параметры являются действительными, получим следующие соотношения

H( j 1T) H*( j 2T).

Из последнего равенства вытекает свойство симметрии АЧХ (ФЧХ)

H( j 1T) H( j 2T) , ( 1) ( 2 ).

Как следует из свойств периодичности, ПФ имеет смысл рассматривать для частотного диапазона, удовлетворяющего неравенству 0 Т 2 . Иногда целесообразно введение нормированной частоты w T/2 , и определение ПФ H(w) в виде функции вве-

дѐнной нормированной частоты с учѐтом ограничения 0 w 1. Для действительных параметров ПФ можно ограничиться диапазоном 0 w 0,5. В том случае, если значения АЧХ изменяются в широких пределах, удобно для графических рассмотрений применять логарифмический масштаб LH(w) 20log10 H(w) . Измене-

ние АЧХ H(w) в десять раз соответствует изменениям АЧХ в ло-

гарифмическом масштабе на 20 Дб. Пользуясь таким масштабом, на одном графике можно изобразить значения АЧХ для большого динамического диапазона по амплитуде.

Действительный полюс данного ЦФ располагается на правой полуоси.

Рис. 6.2.2а. АЧХ для цифрового апериодического звена

Рис. 6.2.2б. ФЧХ для цифрового апериодического звена

184

длинами векторов OBr ( T) , соединяющих точку O с полюсами к . Углы s , r определяют угловой наклон векторов OAs ( T)

и OBr ( T).

Рис.6.2.3. Геометрическая интерпретация ПФ на комплексной плоскости

Модуль ПФ АЧХ представится как отношение произведений длин указанных векторов. ФЧХ для ЦФ, исходя из геометрической картины рис. 6.2.3, определится соответствующей угловой суммой

Рассмотрим пример построения АЧХ с использованием (6.2.6) для ЦФ в виде апериодического звена (6.1.3) с параметрами

а0 0,15, b1 0,55, с расположением действительного полюса на

На рис. 6.2.4б представлена рассматриваемая АЧХ. Отметим существенную особенность данной АЧХ из-за расположения полюса – при возрастании частоты АЧХ возрастает.

Рис. 6.2.4а. Геометрическая интерпретация ПФ для апериодического звена на комплексной плоскости

Рис. 6.2.4б. АЧХ для цифрового апериодического звена с действительным полюсом на левой полуоси

187

Учитывая возможность рассмотрения ПФ на комплексной плоскости с введѐнной переменной z, найдѐм связь между ПФ, как функции z, и импульсно-переходной функцией.

Запишем реакцию линейного фильтра с помощью импульснопереходной функции, для простоты рассмотрения примем начальные условия нулевыми

i

s 0

На основании материалов разд. 2.6 можно сразу записать z-пре- образования для выходной последовательности на основе произведения z-преобразований входной и весовой последовательностей

X(z) H(z)Y(z).

Ясно, каким образом связывается импульсно-переходная функция и передаточная функция: ПФ на комплексной плоскости для принятой переменной z является z-преобразованием для импульснопереходной функции.

6.2.2. Устойчивость ЦФ

Устойчивость ЦФ является исключительно важной характеристикой, которую необходимо принимать во внимание в задачах синтеза ПФ. Разберѐм определение устойчивости для ЦФ. Один из вариантов определения состоит в том, что ЦФ является устойчи-

вым, если для любого ограниченного входного сигнала, поступающего на фильтр, выходной сигнал также является ограниченным.

Это означает, что для входной последовательности с ограничением Y , для которого выполняется неравенство y(i) Y при любых i, ЦФ является устойчивым, если для выходной последовательности существует значение ограничения X , которое обеспечивает для любых i неравенство x(i) X.

Очевидно, что КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми с точки зрения сделанного определения. Действительно, из разностного уравнения КИХ-фильтра при ограниченном входном сигнале и конечном числе ограниченных коэффициентов фильтра

s0

188

При синтезе ПФ для БИХ-фильтров следует иметь в виду, что одна и та же структура БИХ-фильтра при одних значениях параметров может быть устойчивой, при других значениях – неустойчивой. Приведѐм здесь достаточные условия устойчивости БИХфильтров. Разберѐм простой пример, позволяющий прояснить существо подхода.

Пусть рассматривается БИХ-фильтр первого порядка с параметрами b1, a0, которые в общем случае являются комплексными. За-

пишем разностное уравнение и выражение для передаточной функции:

Полюс фильтра H0 (z) является единственным и может быть легко

порядка оказался устойчивым, достаточно выполнение условия:

Разобранный пример позволяет сделать обобщение. Обратимся к выражению для ПФ произвольного БИХ-фильтра (6.2.5), рас-

смотрим формулу для H0 (z), сомножитель H0zm k не влияет на устойчивость. Положим, что у ПФ для H0 (z) нет кратных полюсов

189

и k m. Тогда можно записать разложение исходной ПФ в виде суммы ПФ-составляющих

и выразить z-преобразование для выходного сигнала через сумму произведений z-преобразований входного сигнала и ПФ-со- ставляющих

Видно, что для обеспечения устойчивости рассматриваемого БИХфильтра достаточно выполнения условия: все модули полюсов для

должны лежать внутри единичной окружности комплексной плоскости.

Сформулированное достаточное условие не позволяет определить устойчивость в критическом случае для полюсов, лежащих на единичной окружности.

Проделаем анализ на устойчивость БИХ-фильтра второго порядка, рассмотрим пример цифрового резонатора (колебательного звена). Воспользуемся разностным уравнением из (6.1.4)

x(i) b1x(i 1) b2x(i 2) a0 y(i).

Передаточная функция представляется следующим образом:

Полюса этого БИХ-фильтра находятся из квадратного уравнения

Чтобы фильтр был резонатором, необходима комплексная сопряжѐнность полюсов, которая достигается при выполнении условия

190