getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie

Рис. 4.3.5б. Модуль частотной функции окна Блэкмана

Функции временных окон wH (i), wHm (i) и wB (i) при визу-

альном анализе не очень сильно отличаются друг от друга. Однако различия в кривизне окон во временной области приводят к их существенным отличиям в частотной области – в размерах главного и боковых лепестков модулей частотных функций. Очевидно, что требования снижения ширины главного лепестка и амплитуд боковых лепестков являются противоречивыми.

Наглядное представление о частотных характеристиках функций временных окон могут дать графики модулей частотных функций в логарифмическом масштабе. С их помощью можно оценить

Сравнительные характеристики функций временных окон для N 256, позволяющие судить об их эффективности при решении задачи повышения точности оценивания функций СПМ, помещены в табл. 4.3.1.

141

Рис. 4.3.6а. Модуль частотной функции прямоугольного окна в логарифмическом масштабе

Рис. 4.3.6б. Модуль частотной функции окна Хэннинга в логарифмическом масштабе

Рис. 4.3.6в. Модуль частотной функции окна Хэмминга в логарифмическом масштабе

142

Рис. 4.3.6г. Модуль частотной функции окна Блэкмана в логарифмическом масштабе

4.3.4. Технологические этапы оценивания функции СПМ сигналов

Теперь опишем последовательность технологических этапов получения оценок функции СПМ для стационарных эргодических сигналов, наблюдаемых на большом интервале времени 0 t t f .

Будем полагать, что обрабатываемые сигналы y(t) задаются в не-

прерывной форме, например в виде записей на аналоговом магнитофоне.

Этап 1. Выбор частоты дискретизации. Пусть – верхнее

регулироваться с помощью противомаскировочного фильтра. Со-

T 1/ fd ). На практике обычно принимают частоту дискретизации

143

ции. Общее число дискретизванных значений сигнала равняется величине N f t f /T. Объѐм памяти ЭВМ (ДЗУ), который займут

введѐнные дискретизованные сигналы, в случае, если на одно

следует учитывать ограничение памяти ДЗУ ЭВМ VДЗУ – должно выполняться неравенство VДЗУ VДЗУ .

Этап 2. Выбор параметров локальных интервалов. Если N –

выбранное число точек на локальном интервале, m – число локальных интервалов, то должно выполняться условие Nm N f . Необ-

ходимо выбор параметров локальных интервалов осуществлять таким образом, чтобы числа N, m были целыми. Длина локального временного интервала NT подбирается, исходя из обеспечения требуемой разрешающей способности ДПФ f (см. разд. 4.2.3). Для этой цели должна быть определена минимальная разность частот двух соседних частотных составляющих f1 f2 в обрабатывае-

мом многочастотном сигнале. Величины f и f1 f2 для обеспе-

чения разрешения должны быть связаны неравенством, предложенным в разд. 4.2.3:

f1 f2 (5 10) f .

Для улучшения разрешения, естественно, следует назначать длинные локальные интервалы. Однако при обеспечении хорошего усреднения результатов цифровой обработки требуется увеличивать m – реализовывать большое количество локальных интервалов и тем самым уменьшать длины локальных интервалов. Требования удовлетворительного усреднения и хорошей разрешающей способности являются противоречивыми. Выбор параметров N, m

связан с принятием компромисса.

Этап 3. Умножение сигналов на локальных интервалах на функцию временного окна. Пусть для дискретизованного сигнала y(s), s 0, 1,..., N f 1, исходный большой интервал времени раз-

бивается на m локальных интервалов по N точек. Дискретизован-

144

ный сигнал на j-м локальном интервале имеет вид y(i N( j 1)), j 1,..., m, i 0, 1,..., N 1. Для каждого локального интервала

осуществляется умножение части дискретизованного сигнала на N- точечное временное окно w(i)

y(i N( j 1)) y(i N( j 1))w(i), j 1,..., m, i 0, 1,..., N 1.

Этап 4. Вычисление локальных ДПФ и локальных оценок функции СПМ. Нахождение локальных коэффициентов ДПФ производится в соответствии с формулой ДПФ

Локальные оценки функции СПМ находятся с использованием локальных коэффициентов ДПФ

Этап 5. Вычисление оценок функции СПМ. Оценка функции СПМ для стационарного эргодического сигнала вычисляется на

основе усреднения оценок Pyy, j (k) по множеству локальных интервалов

1 m

Pyy (k) m j 1 Pyy, j (k), k 0, 1,..., N 1..

Усреднение обеспечивает снижение шумовых порешностей в оценке функций СПМ сигналов.

На основе предложенной последовательности технологических этапов оценивания функций СПМ достаточно эффективно решаются многие задачи оценивания параметров сигналов, которые иногда не могут быть успешно решены другими методами. Возникающие при этом погрешности в оценках в ряде случаев могут компенсироваться достигаемым большим быстродействием и простотой вычислительных процедур.

4.4.Функция взаимной cпектральной плотности мощности сигналов

4.4.1.Определение функции взаимной cпектральной плотности мощности сигналов

Определение функции взаимной спектральной плотности мощности (ВСПМ) сигналов вытекает из задачи электротехники – вычис-

145

лении выделяемой мощности на реактивном сопротивлении. В формировании функции ВСПМ участвуют сигналы x(t), y(t); функция

ВСПМ является обобщением функции СПМ на случай двух сигналов.

Запишем, опираясь на естественное обобщение теоремы Парсеваля (4.3.5), выражение для величины взаимной энергии сигналов x(t), y(t), приходящейся на интервал частот ( , d )

Для функции ВСПМ Pxy ( ) стационарных эргодических сигналов в

непрерывном случае сформируем отношение части взаимной мощности сигналов в частотном диапазоне ( , d ) к величине d .

Для этого рассмотрим комплексно-сопряжѐнное прямое и обычное прямое преобразования Фурье для сигналов x(t), y(t) на конечном

основе интегралов (4.4.2) с использованием выражения (4.4.1)

E(x, у, , d , T0) 2 Cx*( j , T0)Cy ( j , T0)d .

Функция ВСПМ Pxy ( ) для указанных сигналов, так же как и функция СПМ Pуy ( ) для разд. 4.3, запишется в виде предела, в

Функция ВСПМ сигналов, определѐнная в общем случае во всѐм частотном диапазоне , в отличие от функции СПМ является комплексной, что следует из определения (4.4.3) и пред-

P ( ) – действительная и мнимая составляющие функции ВСПМ.

2xy

Возможно представление функции ВСПМ в показательной форме

Рассмотрим обобщение определения функции ВСПМ сигналов (4.4.3) для дискретного случая и конечного интервала времени. Пусть задаѐтся набор дискретных значений сигналов x(i) x(Ti),

y(i) y(Ti), i 0, 1,..., N 1, T – интервал дискретизации. Инте-

гралы Фурье из (4.4.2) заменяются дискретными суммами, которые можно принять в качестве оценок указанных интегралов для задан-

Нетрудно видеть, что оценки интегралов Фурье (4.4.4) сформи-

Действительные и мнимые компоненты оценки функции ВСПМ (4.4.5) вычислим через действительные и мнимые коэффициенты ДПФ:

Если дискретизованные сигналы x(i), y(i) являются комплекс-

ными одночастотными синусоидами, которые отличаются начальными фазами, то, очевидно, функция модуля функции ВСПМ для этой пары сигналов ведѐт себя почти аналогично функции модуля ДПФ комплексной синусоиды.

Когда для стационарных эргодических сигналов оценивание функции ВСПМ осуществляется на большом временном интервале, то указанная оценка может находиться с помощью усреднения. Для этой цели на большом временном интервале формируются локальные интервалы, на которых вычисляются локальные коэффициенты ДПФ исследуемой пары сигналов, с учѐтом умножения на функции временных окон. Далее находятся локальные оценки функции

го интервала осуществляется умножение части дискретизованных сигналов на выбранное N – точечное временное окно w(i):

и нахождение локальных коэффициентов ДПФ

148

k 0, 1,..., N 1, j 1,..., m.

Оценивание комплексной функции ВСПМ сигналов производится отдельно для действительной и мнимой компонент на основе усреднения

Вычисление оценок функций модуля и функций фазового угла производится на основе (4.4.6) и представляется формулами

k0, 1,..., N 1.

4.4.2.Применение функции ВСПМ в задачах оценивания разностей фаз для систем многочастотных сигналов

Применение функции ВСПМ позволяет решать задачи оценивания разностей фаз для систем сложных многочастотных сигналов.

Прежде всего, отметим, что для двух синусоидальных сигналов x(t), y(t) с постоянными во времени амплитудами и одинаковыми

разности начальных фаз

xy 1 2 .

В том случае, если сигналы x(t), y(t) являются многочастотными, состоящими из суммы синусоидальных составляющих с одинако-

149

выми частотами, то разности фаз xy,l , l 1,..., L определяются

отдельно для каждой пары составляющих с одинаковыми частотами

Определение разностей фаз для многочастотных сигналов (4.4.6) является естественным обобщением определения разностей фаз для одночастотного случая (4.4.8).

Возможно определение функций разностей фаз (4.4.8) и (4.4.9) на случай полосовых сигналов

где E1(t), E2 (t) – медленно меняющиеся амплитудные функции; 1(t), 2 (t) – фазовые функции. Для полосовых сигналов в общем случае разность фаз меняется во времени xy (t) 1(t) 2 (t). В ряде случаев разность фаз для сигналов (4.4.10) на некотором ин-

служат определением разностей фаз для сигналов, являющихся суммой полосовых сигналов.

Представим некоторые модельные варианты систем сигналов, для которых здесь рассматривается задача оценивания разностей фаз.

Модель системы сигналов x(t), y(t) в простейшем случае описывается соотношениями

которые представляют собой аддитивную смесь монохроматических сигналов и широкополосных шумов w1(t), w2 (t) (белых шу-