2.3.1.4. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ С ПОЛЮСАМИ В ВИДЕ ПОЛЯРНЫХ ЛИНИЙ

Ф о р м у лы полярны х координат, ф у н к ц и и q , частных масштабов длин п вдоль параллелей этих проекций можно представить в виде

/ ’(ф) = s и отсюда га() - заданному постоянному зна­

чению частного масштаба длин вдоль среднего меридиана;

к, с - постоянные параметры, значения которых могут быть вычислены, например:

к - из условия обеспечения заданной кривизны на одной из параллелей;

с - из заданного соотношения длин полярной линии

лели).

Прямоугольные координаты и другие х арактери сти ки указанных проекций можно определить с использованием приведенных выше формул.

2.3.2. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ В “УЗКОМ СМЫСЛЕ”

2.3.2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Для этих проекций справедливы формулы (235) и (236) общей теории поликонических проекций.

Дополнительно накладываются два условия:

- радиусы параллелей на проекции равны р = У У ^ ф - образующим конуса, касательного к эллипсоиду (шару) по этим параллелям;

-длины вдоль среднего меридиана сохраняются, т.е. тп0=1 (в некоторых вариантах этих проекций полагают, что

частные масштабы длин тп{=к - постоянной величине). Условие Т7г()с=1 позволяет определить абсциссы центров параллелей q. Если длина осевого меридиана изображается

без искажений, то

q = s + p = s+ N ctg ф.

Значения производных будут равны

1 + 2 ^ c t g 2 <|>sin! | j -5 X

Sin ф

m = p sec e.

Из данного класса наибольшее распространение получили п р о с т а я п о л и к о н и ч е с к а я и в и д о и з м е н е н н а я п р о с т а я поликоническая проекции.

2.3.2.2. ПРОСТАЯ ПОЛИКОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

P

Искажения в этой проекции зависят от широты и долготы, изоколы имеют вид кривых, симметричных относительно среднего меридиана. Искажения длин вдоль меридианов, углов и площадей значительно увеличиваются при удалении от осевого меридиана; параллели (особенно в высоких широтах)

величинами искажений. Следовательно, проекцию выгодно использовать для изображения областей вытянутых от одного географического полюса до другого и мало вытянутых по долготе.

Проекция нашла наиболее широкое применение в США,

формулам проекции (238) придают следующий вид

^А/

х= s + — N cos фsin ф+...;

Максимальные искажения возникают в точках пересече­ ния крайних меридианов с экватором и достигают

v р - v m = 0.14%; со = 4'.7.

2.3.2.3. ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ПРОСТАЯ ПОЛИКОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

И д е я с о з д а н и я м е ж д у н а р о д н о й к а р т ы м а с ш т а б а 1:1 ООО ООО была выдвинута в 1891 г. проф. А.Пенком. В 1909 г. на Международном географическом конгрессе в Лондоне была выбрана для этой к ар ты ви д ои зм ен ен н ая простая поликоническая проекция, а также определены разграфка и номенклатуры листов этой карты.

Относительно простой поликонической проекции были установлены следующие видоизменения:

- проекция применяется как многогранная;

радиусами p=yVctgcp из центров, лежащих на прямолиней­ ном с р е д н е м м е р и д и а н е , д л и н ы на э т и х п а р а л л е л я х сохраняются;

-сохраняются длины меридианов, удаленных от средних на ±2°;

-средние параллели проводятся по точкам, полученным пропорциональным делением всех прямолинейных меридианов

сучетом разностей широт данной и южной параллелей.

Размеры сторон трапеции - Дф = 4° и ДХ = 6° . На широтах

формировании блоков листов (склейке 4-х листов и более) возникают угловой (и линейный) разрывы.

У ч и т ы в а я ч е т в е р т о е у с л о в и е , ч а с т н ы е м а с ш т а б ы площадей и длин вдоль меридианов с учетом (240) равны

1+ 0,0001523-4° cos2 ф

Отсюда на среднем меридиане (при Х°=0)

т0 = 1 - 0,0006092 cos2 ф,

т.е. средний меридиан изображается с укорочением

Дх0 = 0,0006092As cos2 ф.

Приняв с достаточной точностью, что длина отрезка

меридиана Дф = 4° равна As * 444 км, получим в масштабе

1:1 000 000

Ах0 = 0,271 cos2 ф (мм).

Формулы прямоугольных координат данной проекции принимают вид

(sc - s m - Ax0) + — (rc sinVc - гю s ^ J

ф -ф«,

У =

Записав производные

г ю sin + (rc sin ф, - гюsin <р„) Ф -Ф„

. 2

-Ух = Гю - у '■«sin Ф * > +

найти

значения частных масштабов длин вдоль параллелей в этой проекции.

2.3.2.4. ПОЛИКОНИЧЕСКИЕ РАВНОВЕЛИКИЕ ПРОЕКЦИИ ЭЛЛИПСОИДА

Учитывая общую формулу частных масштабов длин вдоль параллелей и условие равновеликости проекции, получим

qvpcosSbK - р р ф5х = Mr;

радиусы кривизны параллелей; М, N - радиусы кривизны меридианного сечения и сечения первого вертикала. Система (241) содержит два уравнения, в которые входят четыре функции. Рассматривая различные способы доопределения этой системы, можно получить множество разнообразных равновеликих поликонических проекций.

В работе [9] рассмотрены, некоторые такие способы и получены новые варианты равновеликих поликонических

определению полярного угла 5. Интегрируя уравнения (241)

Функцию интегрирования найдем из условия сохранения длин на экваторе.

Тогда будем иметь

у = аХ = psinS = а{\ + cos 5) cos фс(Х).

Учитывая это выражение и формулу (250), получим

Теперь найдем частные масштабы проекции. Частный масштаб длин вдоль меридианов из (236) запишем в виде

Я<рcos 6 - р

Учитывая значения g, Р и их производные будем иметь

Отметим, что несколько иной способ получения этой проекции был рассмотрен Н.А.Урмаевым в 1962 г., а для случая отображения поверхности шара соответствующая проекция была излож ена В.В.Витковским (на основании геометрических рассуждений) в 1907г.

В р а с с м а т р и в а е м о й п р о е к ц и и э л л и п с о и д а (ш а р а ) отсутствуют искажения всех видов на среднем меридиане.

А н а л и з и с к а ж е н и й п о к а з ы в а е т , что п о л и к о н и ч е с к и е проекции могут быть успеш но прим енены д ля созд ан и я карт