общую теорию картографических проекций и основные положения тео ­ рии других элементов математической основы карт, в том числе общие положения отображения поверхности Земли и других небесных тел на плоскости, теория искажений и отображения одних поверхностей на другие, оп ределение и использование масш табны х рядов карт, их к о м п о н о в о к , р а з г р а ф о к , к о о р д и н а т н ы х с е т о к , и н о м е н к л а т у р . Рассмотрена теория классов картографических проекций, их класси ­ фикации, даны конкретные ф ормулы наиболее известных проекций. Приведены проекции для создания разнообразных карт конкретного н а з н а ч е н и я : т о п о г р а ф и ч е с к и х , м о р с к и х , а э р о н а в и г а ц и о н н ы х , и сп ол ьзуем ы х в р азл и чн ы х стран ах, проекции, п ри м ен яем ы е дл я обработки геодезических измерений, с формулами редукций и другие. И зложены теоретические основы наилучших проекций и конкретные способы получения наиболее разработанных из них — равноугольных п р о е к ц и й , р е ш е н и я п р я м о й и о б р а тн о й з а д а ч м а т е м а т и ч е с к о й картографии. Описаны методы анализа, выбора, изыскания, опознавания и преобразования картограф ических проекций, в том числе планов масштаба 1:500 -1:2 ООО, составленных в прямоугольной разграф ке, в проекцию Гаусса-Крюгера, перехода из зоны в зону этой проекции; рассмотрены направления автоматизации в математической картографии.

Для студентов вузов, аспирантов, обучаю щ ихся по специальности «Картограф ия ».

Р е ц е н з е н т ы : проф., д-р техн. наук С. В. Лебедев (кафедра выс­ шей геодезии, Московский Государственный Уни­ верситет геодезии и картографии); канд. техн. наук В. М. Богипский (зав. отделом

картографии, Центральный научноисследова­ тельский институт геодезии, аэрофотосъемки и картографии.)

Б Q4Q3QQQQQ0-107 5Р4(03) - 98

П Р Е Д И С Л О В И Е

Настоящий учебник написан в соответствии с Государст­ венным образовательным стандартом “Требования к минимуму содержания и уровню подготовки инженера по специальности 300400 - Картография”, Государственным образовательным ста н д а р то м “Г о су д ар ств ен н ы е тр е б о ва н и я к минимум у содержания и уровню подготовки магистра по направлению 552300 - Г е о д е з и я ” , у т в е р ж д е н н о м у Г о с у д а р с т в е н н ы м комитетом Российской Федерации по высшему образованию, в соответствии с учебными программами подготовки инжене­ ров, магистров и аспирантов вузов России по дисциплине “Математическая картография”.

Книга предназначена для обучения студентов вузов, магистров и аспирантов картографической специальности.

Основной целью данного издания является освещение и передача учащимся системы знаний по теории и практическим вопросам математической картографии, которая позволила бы им самостоятельно выполнять выбор и изыскание опти­ мальных картографических проекций и других элементов

Полнота изложения в книге вопросов математической кар ­ тографии обеспечивает студентам, аспирантам, преподавате­ лям вузов и специалистам других учреждений проведение самостоятельных исследований на основе рассмотренных поло­ жений.

Учебник может быть использован как пособие в работе научных сотрудников и инженеров при решении научных и практических задач как картографии, так и других наук и отраслей производства, использующих аппарат математичес­ кой картографии, карты и космические снимки.

При написании учебника использовались труды ученых, главным образом, российской школы математической карто­

МИИГАиК за помощь в издании данного учебника.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных факторов успешного решения многих научных, практических и хозяйственных задач я вл яется использование карт различного назначения, содержания, масштабов и территориального охвата.

В связи с дальнейшем развитием отраслей науки, воз­ никновением новых технических средств, таких как автома­ тические системы управления и навигации , появлением новых направлений науки, требующих картографо-геодезического обеспечения, как например, наук, связанных с освоением кос­ моса, изучением и исследованиями небесных тел, более углуб­ ленным изучением Земли и ее недр, процессов и явлений при­ роды и общества, в частности экологической обстановки в мире, разрабатываются новые типы специальных карт, соз­ даются различные тематические карты и способы их ис­ пользования.

По картам выполняются различные измерения и спе­ циальные исследования, целью которых является получение различных количественных показателей и дополнительной информации, например, для районирования (дифференциации) территорий и объектов, установления взаимосвязей, изучения динамики, определения прогнозных характеристик, выявления новых закономерностей реального мира. По картам можно решать навигационные, картометрические, морфометрические, многокомпонентные и другие задачи.

Возможность использования карт в этих и других целях основана на том, что они создаются на строгой математической основе, изучение и разработка которой является предметом математической картографии.

Математическая картография изучает и разрабатывает ма­ тематическую основу карт, включающую в себя теорию карто­ графических проекций, их применение, масштабы и компо­ новки, разграфки, координатные сетки и номенклатуры карт.

Проектирование математической основы карт — один из первых этапов в процессе создания карт.

Разработки математической картографии находят при­ ложение к обработке результатов геодезических измерений,

в применении методов решения задач сферической геометрии, астрономии, кристаллографии и других наук.

О сновным и з а д а ч а м и м а т е м а т и ч е с к о й к а р т о г р а ф и и являются:

- развитие теории математической картографии, прежде всего, в области п о л у ч е н и я н а и л у ч ш и х и и д е а л ь н ы х проекций; - исследование различных картографических проекций, их

сущности, свойств, взаимосвязи и целесообразности при ­ менения на практике для создания конкретных карт на конкретные территории; - с о в е р ш е н с т в о в а н и е и м е ю щ и х с я к а р т о г р а ф и ч е с к и х

проекций, их унификация и стандартизация, разработка но­ вых р соответствии с требованиями науки и производства, в частности, для создания разнообразных тематических и комплексных карт;

-разработка математических моделей кадровых, сканерных и радиолокационных снимков, способов их применения с уче­ том геометрических свойств этих снимков в картографии и других науках;

-разработка картографических проекций для отображения реальных поверхностей;

-разработка новых классов картографических проекций для создания нестандартных картографических изображений, например,анаморфированных карт;

-совершенствование методов выбора и изыскания к а р ­ тографических проекций;

необходимых для создания многолистных карт;

-развитие способов и средств выполнения различных и з ­ мерений и исследований по картам с учетом свойств карто­ графических проекций;

-исследование и решение задач математического характе ­ ра, возникающих при составлении карт (например, методов преобразования картографических проекций, космических

снимков, способов построения картографических сеток и др). - разработка теории и методов автоматизации в м а т е ­ матической картографии.

Решение этих многообразных задач математической карто­ графии позволяет создавать математическую основу карты, обеспечивающую возможность оптимального решения по ним вопросов, вытекающих из назначения карт.

При этом основным элементом математической основы яв ­ ляются картографические прооекции. Их свойства влияют на выбор главных масштабов карт и их компоновок, что и опреде­ ляет тесную взаимосвязь всех этих элементов, образующих единое целое.

Первые известные карты, появившиеся за 3-4 тыс. лет до н аш ей эры, не имели м а т е м а т и ч е с к о й основы. Н ачало разработки математической картографии, прежде всего, тео­ рии картографических проекций, было положено более двух тысяч лет назад греческими учеными и было тесно связано с развитием представлений о фигуре Земли и о производстве астрономо-геодезических измерений.

За шесть веков до нашей эры Пифагор высказал гипотезу о том, что Земля является шаром. Позднее эту гипотезу дока­ зал Галлилей. В III веке до нашей эры Эратосфен впервые определил радиус земного шара.

В основу отображ ения Земли и звездного неба были введены понятия о линиях меридианов и параллелей (работы Анаксимандра, Гиппарха, Апполония, Эратосфена). Были предлож ены гномоническая, стереографическая, ортографическая проекции, равнопромежуточная вдоль меридианов квадратная цилиндрическая проекция. С их использованием были созданы карты, по которым стало возможным выполнять простей ш и е и зм ер ен и я, о с у щ е ствл я ть ор и ен ти р о вк у на местности, визуальную оценку расстояний, направлений, форм и площадей.

Большое значение для развития картографии того времени имел капитальный труд Птолемея “География” (II век нашей эры), в котором наряду с описанием способов создания карт и определения размеров Земли рассмотрены картографические проекции: простая равнопромежуточная вдоль меридианов коническая проекция шара, коническая равнопромежуточная составная проекция и другие.

В последующие годы уровень знаний по математической к а р т о г р а ф и и о с т а в а л с я без изменений . И с к л ю ч е н и я м и являлись работы армянских ученых по картографии в VII веке, знавших о труде Птолемея, а так же исследования на рубеже X - XI веков Аль-Бируни, жившего в Хорезме (территория современного Узбекистана), предложившего шаровую глобу­ лярную проекцию, которая спустя четыре века была вновь открыта Николози.

Усиленное развитие картографии началось в эпоху Воз­ рождения - эпоху великих географических открытий, когда

стали необходимы точные, достоверные карты для управления т е р р и т о р и я м и , военны х походов, р а з в и т и я торговли и мореплавания. Такие карты могли быть созданы только с ис­ п о л ь з о в а н и е м м а т е м а т и ч е с к о й осн овы и р е з у л ь т а т о в съемочных работ.

В XVI веке Апиан, Лориц и другие предлож или ряд

географических атласов. Меркатор в 1569 г. разработал и при­ менил равноугольную цили н д р и ческу ю проекцию ш ара, которая используется до настоящего времени для морских и

В это время для карт мира и значительных по размерам территорий широко использовались трапециевидная проекция и проекция Апиана, послужившие прообразом разработанных позднее псевдоцилиндрических проекций. В XVII в. новую си­ нусоидальную псевдоцилиндрическую проекцию для карт мира

фического изучения Земли и созданием более точных карт. В картографическую практику были введены новые проекции, п редлож енны е Р. Бонном, И. Ламбертом, Ж. Л агранж ем,

Л.Эйлером, Н. Делилем и другими картографами.

Вконце XVII века в России уже имелись карты, на которых была изображена сетка меридианов и параллелей (карты Рос­ сии Ф. Годунова, Г. Геритса, И. Массы, Н. Витсена). В XVIII в. по указанию Петра I началось проведение систематических съемок для удовлетворения нужд флота и составления гене­ ральной карты России. В это время российские карты состав­ лялись в цилиндрической, трапециевидной (псевдоцилиндрической), стереографической и конической проекциях.

В1734 г. был опубликован “Атлас Всероссийской империи”

И.Кирилова, большинство карт которого было составлено в равнопромежуточной конической проекции с двумя главными параллелями.

Дальнейшее развитие теории картографических проекций в России тесно связано с деятельностью Российской Академии наук. В 1745 г. был выпущен в свет “Атлас Российский”, все карты которого были составлены в трапециевидных (псевдоци­ линдрических) и равнопромежуточных конических проекциях.

к а р т о г р а ф ы , а с т р о н о м ы (Ф. И. Ш у б е р т , Ф .Ф . Ш у б е р т ,

А.П.Болотов и др.).

В1822 были образованы Корпус военных топографов и Гидрографическое управление, под руководством которых в дальнейшем выполнялись все картографо -геодезические и гидрографические работы.

В1848 г. специальная комиссия, созданная при Корпусе военных топографов, приняла для крупномасштабных русских топографических карт многогранную проекцию Мюфлинга, в которой земная поверхность изображалась отдельными трапе­ циями, ограниченными дугами меридианов и параллелей.

Новый этап в развитии русской и мировой математической картографии связан с именем знаменитого русского мате ­ матика П. JI. Чебышева. Стремление согласовать очертания изокол (линий равных искажений) со схематизированными очер­ таниями изображаемой на карте области в определенной мере проявилось в работах Ламберта, Эйлера, Гаусса и др., но только П.JI.Чебышев полностью оценил важность определения таких проекций. В 1853 г. он сформулировал теорему:“ Наивыгодней­ шая равноугольная проекция для изображения какой-нибудь части земной поверхности на карте есть та, в которой на грани­ це изображения масштаб сохраняет одну и ту же величину ”...

Эту теорему доказал в 1894 г. Д. А.Граве. Он провел также ряд исследований по теории и практике получения равновели­ ких и других картографических проекций.

Е. Гаммер разработал по методу Д. А. Айтова производную рав­ новеликую проекцию, ставшую одной из наиболее распростра­ ненных на картах мира.

На зарубежных картах мира до сих пор часто применяют псевдоцилиндрические проекции М. Эккерта (1906) и производ­ ную проекцию О. Винкеля (1921). Н. Я. Цингер исследовал спо­ собы равноугольного и равновеликого отображения эллипсоида на шаре, высказал гипотезу о наилучших равновеликих проек­ циях.

Важным событием в развитии теории картографических проекций явилась книга В. В. Витковского “К а р т о гр аф и я ”, опубликованная в 1907 г.

В 20-40 г. XX столетия большой вклад в математическую картографию и, в частности, в теорию картографических про­

равнопромежуточные конические проекции, предназначав­ шиеся для создания мелкомасштабных карт Европейской части и всего СССР. В. В. Каврайский опубликовал монографию с ис­ следованиями по математической картографии, разработал способ получения конических проекций, обеспечивающих ми­ нимальные искажения в пределах картографируемой терри ­ тории, разработал ряд псевдоцилиндрических проекций, ис­ следовал гипотезу Н. Я. Цингера о наилучших равновеликих проекциях. М. Д, Соловьев разработал ряд перспективных про­ екций, особо выгодных для создания школьных карт.

В 1928 году для создания отечественных топографических карт масштабов 1: 200 ООО и крупнее была принята проекция Гаусса - Крюгера, а с 1939 г. ее стали применять для создания карт масштаба 1:500 ООО. В настоящее время ее используют также при создании карт масштаба 1: 1 ООО ООО.

Разнообразные исследования в области математической картографии выполнили отечественные ученые в период 40 - 70-х годов.

Н. М. Волков разработал теоретические положения и мето­ дику выполнения картометрических измерений, получил р а з ­ личные варианты проекций для создания карт Большого атла ­ са мира, впервые провел исследования по определению мате­ матических моделей кадровых космических снимков.

Получили всеобщее признание псевдоцилиндрические проекции Н.А.Урмаева, В. В. Каврайского, Ф. А. Старостина и и ЦНИИГАиК, псевдоазимутальные и поликонические про­ екции ЦНИИГАиК (исследования Г. А. Гинзбурга, Т. Д.Сал­ мановой, В. М. Богинского, JI. С. Ледовской). Во второй половине 40-х годов Н. А. Урмаев разработал ряд способов вычисления проекции Чебышева, провел исследования и разработал кон­ кретные варианты цилиндрических, псевдоцилиндрических и других проекций, получил две фундаментальные системы дифференциальных уравнений в частных производных, наз­ ванных позднее системами Эйлера-Урмаева и Тиссо-Урмаева, обеспечивающие принципиально новый подход к изысканию

минимаксного типа для заданной ограниченной области и р а с с м о т р е л а р я д а с п е к т о в о п р е д е л е н и я п р о е к ц и й с ортогональной картографической сеткой.

В работах JI. Д. Белоновского, А. И. Динченко, В. В. Каврайского, Н.Я. Виленкина, JI. М.Бугаевского, JI. А .Вахрамеевой, Г.И.Конусовой,А. А. Кузнецова, А. С. Лисичанского, Ю. М. Ю зе­ фовича, М. А. Топчилова и других были разработаны способы получения проекции Чебышева, равноугольных проекций с приспособляемой изоколой и близких к ним проекций, а с п е к т ы о п р е д е л е н и я п р о ек ц и й с д р у ги м х а р а к т е р о м искажений.

Дальнейшая разработка теории и практических вопросов математической картографии в последние десятилетия шла по направлениям получения наилучших проекций, совершен­ ствования проекций различных классов и характера иска­ жений, их использования для картографирования различных территорий, разработки теории и способов выбора, изыскания проекций и автоматизации в математической картографии, способов получения проекций для создания анаморфированных карт и карт реальных поверхностей, определения математи­ ческих моделей космических снимков, применения в картогра­ фии способов численного анализа и аппроксимации и т.д., а также разработки других элементов математической основы карт.

Свой вклад в решение этих и других задач математической картографии внесли многие отечественные и зарубежные ученые.

Краткие сведения о работах многих из них, а также биб­ лиография о картографических проекциях, даны в книгах [7], [8], [40].

Вцелом можно отметить, что в настоящее время состояние

иразвитие теории математической картографии обеспечивает решение задач, стоящих перед нею. Но вместе с тем, до сих пор многие из ее проблем не нашли еще достаточно полного решения. Сущность этих проблем в определенной мере будет раскрыта в главах данной книги.