4.5.1.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Стирлинга (по разностям по данной строке)

где л - любое целое или дробное число.

Можно также использовать формулы Гаусса, Эверетта, Лагранжа и др.

Отметим, что при решении многих задач математической к а р т о г р а ф и и д о с т а т о ч н о в о с п о л ь з о в а т ь с я ф о р м у л о й квадратичной интерполяции по Бесселю, представив ее в виде

4.5.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ЗАДАННЫМ ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ПРИ НЕРАВНООТСТОЯЩЕМ ИЗМЕНЕНИИ АРГУМЕНТА

Для решения задачи интерполирования и экстраполирова­ ния, как при равноотстоящ их, так и н еравноотстоящ их значениях аргумента можно воспользоваться интерполяцион­ ными формулами Стирлинга, Лагранжа, тригонометричес­ кими и другими полиномами (многочленами) (см. п.п.4.2.2.4; 4.5.2.).

Тригонометрические полиномы

Требуется построить полиномы Р(х) степени п , который в

Р(х) = а0 + а] cos х+...+ап cos пх,

Для нечетного полинома для п точек Х 0 , Х | , . .. Х П

Р(х) - bxsinx+...+Z>„ sinrtx,

4 .5 .3 . ЧИСЛЕН НО Е ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е

Применяется для вычисления частных масштабов длин, площадей и других характеристик используемых проекций, когда их формулы имеют громоздкий вид либо отсутствуют, но даны значения прямоугольных координат проекций в заданной сетке точек, а также при изыскании картографи ­ ческих проекций.

При этом в формулы частных масштабов длин, площадей и т.п. (см. п.1.1.7.) вместо значений частных производных >4, в ы ч и с л я е м ы х обычно а н а л и т и ч е с к и м и с п о с о б а м и , п о д с т а в л я ю т с о о т в е т с т в у ю щ и е з н а ч е н и я

v

производных — , но определяемых численными способами

(отдельно по абсциссам и ординатам в точках проекции). Ф о р м у л ы , в ы р а ж а ю щ и е п р о и з в о д н ы е ч е р е з ко н е ч н ы е разности, полученные дифференцированием приведенных выше выражений (см. разделы 2,3), можно представить в следующем виде.

Формулы Бесселя (для дифференцирования по разностям, находящимся в промежутках данной и следующей строк):

Формулы Стирлинга (для дифференцирования по данной строке)

Производные для любой точки можно определить непосредственно по заданным значениям функций в ряде равноотстоящих точек (по строке или столбцу), используя формулы

где (о - шаг аргумента в радианнои мере.

Аппроксимирующие функции (полиномы) используются в математической картографии для получения и преобразова­ ния к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о ек ц и й , для м ате м а ти ч е ск о го описания составленных эскизов картографических сеток, получения значений функций в любой точке по заданным их значениям в регулярной или произвольной сетке точек и т.п.

Выше в п.4.2.2, было рассмотрено применение алгебра­ ических степенных полиномов для получения произвольных по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й п р о е к ц и и , п о л и н о м о в в и д а га р м о н и ч е с к и х д л я а п п р о к с и м а ц и и сетки э с к и з а при о п р е д е л е н и и р а в н о у г о л ь н ы х п р о е к ц и й и п о л и н о м о в , обеспечивающих математическое описание эскиза сетки при получении равновеликих проекций. Для определения функции по заданным ее значениям при неравноотстоящем изменении аргум ен та были приведены и нтерполяционны й полином Л агранж а и тригонометрические полиномы. Для решения указанных выше задач могут быть использованы и другие полиномы.

К их числу, например, относятся.

4.5.5.1. МУЛЬТИКВАДРАТИЧНЫЕ ПОЛИНОМЫ

коэффициенты, определяемые из условия Ртах < 1; 0 max < 1;

^ > т а х Ь Л m a x < ^ »

4.5.5.2. ПОЛИНОМЫ НЬЮТОНА

Представим эти полиномы следующим образом

где x , v; X, Y - прямоугольные координаты равноугольных проекций;

-изометрические координаты.

П р е д п о л а г ая возм ож ность и сп о л ь зо ва н и я полиномов Ньютона для аппроксимации прямоугольных координат и характеристик не только равноугольных, но и других по характеру искажений проекций (изображений), перепишем

При этом система ортогональна на квадрате

к \-п < ^ < л ; - я < г] < я}

или

к[а < £ < д + 2л; b < r| < b + 2л}.

Частные суммы £«,*(/,£,г|) ряда (348) можно записать в виде

4.5.5.5. СГЛАЖИВАНИЕ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОДА КОРРЕЛАТ

При определении проекции по эскизам картографических проекций, возникает необходимость сглаживания измеренных