- •Введение
- •Раздел 1. Общая теория математической картографии
- •1.1.2. Системы координат, применяемые в математической картографии
- •1.1.3. Системы координат трехосного эллипсоида
- •1.1.4. Геодезические системы координат и высот, используемые при создании карт
- •1.1.6. Определение картографической проекции; уравнения меридианов и параллелей; картографическая сетка и условия ее изображения
- •1.1.7. Масштабы
- •2.1.2 Псевдоцилиндрические проекции
- •2.2.3. Перспективные азимутальные проекции
- •2.2.5. Псевдоазимутальные проекции
- •2.3.2. Поликонические проекции в “узком смысле”
- •Раздел 3. Картографические проекции карт конкретного назначения
- •3.1.1. Псевдоцилиндрическая трапециевидная проекция
- •3.1.2. Поперечно-цилиндрические проекции
- •3.1.3. Проекция Гаусса-Крюгера
- •3.2.1. Проекция Гаусса-Крюгера
- •3.2.3. Стереографическая проекция Руссиля
- •3.5.1. Назначение аэронавигационных карт, основные проекции, используемые при их создании
- •3.5.4. Проекция Литтрова
- •3.6.1. Определение геодезических координат промежуточных точек геодезических линий, локсодромии и малых кругов
- •3.6.2. Отображение на картах линий трасс ИСЗ
- •Раздел 4. Теоретические основы изыскания и выбора наилучших, идеальных и других проекций. Направления автоматизации математической основы карт
- •4.1.2. Прямая и обратная задачи математической картографии в теории прямых отображений поверхностей на плоскость
- •4.1.4. Проекция Чебышева - наилучшая равноугольная проекция
- •4.1.5. Равноугольные проекции с приспособляемой изоколой
- •4.1.6. Равноугольные проекции, определяемые при помощи эллиптических координат
- •4.2.1. Изыскание картографических проекций на основе решения прямой задачи математической картографии
- •4.2.2. Изыскание картографических проекций на основе решения обратной задачи математической картографии
- •4.3.1. Теоретические основы выбора картографической проекции
- •4.3.2. Об определении характера искажений проекций создаваемых мелкомасштабных карт
- •4.5.1. Общие сведения
- •4.5.2. Интерполирование (экстраполирование)
- •4.6.1. Вычисление картографических проекций при помощи ЭВМ
- •4.6.2.Преобразование картографических проекций (картографического изображения) исходных карт в заданные проекции
- •4.6.4. Автоматическое построение элементов математической основы
- •Список литературы
- •Оглавление
Тогда для точек осевого меридиана и любой точки проекции будем иметь
и
(х + iy) = F(q + iX).
4.1.5. РАВНОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ С ПРИСПОСОБЛЯЕМОЙ ИЗОКОЛОЙ
При картографировании малых и средних по площади территорий ( Дф < 30°; АХ < 20° ) ниже рассмотренные проек ции с п р и с п о с о б л я е м о й и з о к о л о й и м ею т и с к а ж е н и я практически равные искажениям проекции Чебышева, но значительно более простой математический аппарат.
4.1.5.1. ПРОЕКЦИЯ СХОЛЬСА |
|
|
П р е д л о ж е н а |
в 1882 г. |
Ее ф о р м у л ы и м ею т вид |
(В.В.Каврайский, |
1933) |
|
х = /о + f \ k + f 2X2 + / 3Х3; |
y = q0 + q ]X + q2X2 + q2X3, |
|
где |
|
|
f 2 = ^ r 0 sin фо + 3?38; |
q2 = - 3 / 36; |
|||
/, |
= - 3 / 352; |
q{ = /q - |
r0 sin ф05 - 3<7352; |
|
/о |
= ro S - y /o S h ^ o S 2 -<7352; |
tfo = / з&2; |
||
5 = Inf/ —In t/0;
/1 = — (\ - C cos2(A |
B = —C sin2a; |
а г |
- Ь' |
i - |
( y af |
a1 |
+ b2 |
1+ |
(bjaf ' |
a, b - п о л у о с и к р и в о й в т о р о го п о р я д к а ( э л л и п с а ) аппроксимирую щ ей контур кар то гр а ф и р у е м о й территории
а - азимут полуоси а, измеряемый от оси абсцисс;
InU “ определяется |
по формулам (22), (23); |
|
ф0, Х0 - широта и долгота заданной (средней) |
точки. |
|
Ч астн ы е м асш табы |
длин могут быть о п р е д ел е н ы по |
|
приближенной формуле |
|
|
т = \ + Ах2 - 2 В х у + { ^ ~ А^у2 . |
(313) |
|
4.1.5.2. ПРОЕКЦИЯ ЛАБОРДА
Была предложена в 1928 г. для создания карт и обработки геодезических измерений на острове Мадагаскар. Это тройная проекция, получаемая следующим образом.
- Отображают эллипсоид на сфере по второму способу Гаусса
|
У = а\; |
tg^45°+y<p'j = c U +a; |
||
|
|
|
а |
= sinq>0 cosec ф(,; |
|
с = tg(45°+ у Фь)^о“ ; |
Ro = j M 0N 0. |
||
U - определяется по (22), (23). |
|
|||
(Значения |
ф', X' |
можно вычислить по формулам (157), (158)). |
||
- Отображают сферу на плоскости в поперечной проекции |
||||
Меркатора |
|
|
|
|
|
|
= |
у ’ = lntg^45°+i^] , |
|
где |
|
|
|
|
£ = Ф ' - |
Фо + С/'; |
sin i/' |
= sin ф' tg у Л.' tg ri; sin r| = совф'вт V. |
|
- Получают прямоугольные координаты проекции
>> = у' + -^ Дх'3 + Ax’2у' - Bx'y'2 - ^ A y '3,
где А, В - определяются по (312).
Приближенные значения масштабов можно определить про той же формуле (313).
4.1.5.3. ПРИСПОСОБЛЯЕМАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ КАВРАЙСКОГО
Ф о р м у лы прямоугольных координат проекции можно записать в виде
* |
^ |
+ 1 ^ |
3 - з ^ 2) - } я ( з ^ л - л 3); |
|
||
Y = л + |
- 3 ^ 2) + } л ( з ^ л - Л 3), |
|||||
где ^ = х - х 0; |
Л^Д'-Д'о; |
|
|
|
||
У-> х о> Уо |
” ко о р д и н аты |
проекции Г а у с с а - К р ю г е р а |
||||
|
|
соответственно в текущей и центральной |
||||
|
|
точках; |
|
|
|
|
|
А, В - постоянные коэффициенты, определяемые |
|||||
|
|
по формулам |
|
|
||
|
|
А = (\ - |
C cos2a)/4^o ; |
|
||
|
|
В = С sin 2a/4/?o ; |
|
|
||
|
|
„ 1 - л ' 2 |
, |
6 |
|
|
|
|
С = --------5-; |
п ' = |
о |
|
|
|
|
1 + л ' 2 |
|
|
||
а, Ь - полуоси эллиптической изоколы, аппроксими |
||||||
|
рующей |
контур |
изображаемой |
территории; |
||
a |
- дирекционный угол |
ее большой |
полуоси; |
|||
R0 = J M QN о - радиус средней кривизны земного эллипсоида
вцентральной точке (ФоДо)-
4.1.5.4.ПРОЕКЦИИ, ПОЛУЧАЕМЫЕ НА ОСНОВАНИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЯДОВ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Способы определения этих проекций, являющихся равно угольными или близкими к ним по характеру искажений,
были разработаны JI.А.Вахрамеев ой. В указанных проекциях изоколы имеют овальную, округлую или гиперболическую формы, различно ориентированные относительно меридиана центральной точки [14].
Рабочие формулы строго равноугольных проекций (на примере гармонического полинома 3-ей степени) можно представить следующим образом
х = А0 + ВхХ + А 2\ 2 + В3Х3', у = BQ + А хХ + В2\ } + >4з ,
где Ак и Вк - переменные коэффициенты, получаемые по формулам
Л = ао + а\{я - 9о) + аг{я - %)2 + a3(q - qQf ;
|
dAp |
|
\ d А0 |
|
_ |
1d zA0 |
||
1 " |
^ |
’ |
2 ‘ |
“ 2 |
dq2 ' |
|
3 " |
6 dq3 ’ |
50 |
= |
60 +6 ,( 9 - 90) + Ы? - + b}{q - q0f ; |
||||||
n |
_ |
^ 0 . |
n |
_ |
1 d 2B0 . |
, |
и |
1 ^ 0 |
в , = - — , |
В , . - — |
|
|
|||||
где q и q0 - изометрические широты текущей параллели и параллели центральной точки соответственно.
Анализ коэффициентов показал, что им целесообразно придать следующие значения [14]
г |
f А |
2 |
соз2ф0 |
а0 = 0, а, = г0, а2 = - - |- я п ф 0, |
а3 = г0 у COS |
ф |
g |
Определение коэффициентов Ьк (в проекциях с асиммет ричными изоколами) целесообразно для простоты решения задачи выполнять по формулам
|
^0 = Ь\ = Ь2 = 0, |
Ьг = b = r0 — cos2 ф0 . |
|
|
В приведенных формулах А и В (без индекса) - определен |
||||
ные |
числовые коэффициенты, влияющие на форму |
изокол |
||
и их |
поворот относительно |
меридиана центральной |
точки; |
|
их значения могут быть получены |
по формулам |
|
||
|
. 1 - Ceos 2а |
_ |
С sin 2а |
|
где С = — и а - угол поворота изоколы относительно
а * + b
меридиана центральной точки, а и b - полуоси изоколы. Достоинством проекций, получаемых при помощи гармони
ческих полиномов, является простота получения и небольшая величина искажений.
У р а в н е н и я р а в н о у г о л ь н ы х проекц и й , п о л у ч а е м ы х с применением рядов, с изоколами, симметричными относи тельно осевого меридиана, имеют вид
дс = а0 + fl2s ; + ...;
У = ° \s„ + a 3sl+....
Здесь: sn - дуга параллели между меридианом центральной точки и текущим меридианом, соответствующим разности долгот этих меридианов (Л. —Л.0 );
aQ- характеристика проекции; a v av аъ- переменные коэффициенты, которые могут быть вычислены по следующим формулам:
|
|
kRl |
|
|
|
|
|
|
da0 |
|
3si |
|
|
|
|
|
|
dsm = 1 + |
kRl |
' |
|
|
|
|
||
|
|
tgcp |
dax |
tg(p |
|
|
|
|
|
|
N |
ds |
|
2N |
kRl ’ |
|
|
|
|
tg<P |
da-, |
|
tg2 ф |
+ |
к - 6 |
|
a? = --r |
2a2 N |
ds m ' |
|
6 R} |
6kRl ’ |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
on = (- |
0 ” |
( |
Л\ |
|
i l l |
da/7-1 |
|
|
|
|
|
|
dsn |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где sm- дуга меридиана между параллелью центральной точки и текущей параллелью;
N - радиус кривизны первого вертикала;
RQ - средний радиус изображаемой поверхности в цент ральной точке проекции.