РАЗДЕЛ 4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗЫСКАНИЯ И ВЫБОРА НАИЛУЧШИХ, ИДЕАЛЬНЫХ И ДРУГИХ ПРОЕКЦИЙ. НАПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОСНОВЫ КАРТ

4. 1. НАИЛУЧШ ИЕ И И ДЕАЛЬНЫ Е К АРТО ГРА Ф И ЧЕС К И Е П РО ЕКЦ И И

4.1.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ О НАИЛУЧШИХ И ИДЕАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ

Одной из самых важных и сложных проблем математичес­ кой картографии является разработка теории и практики получения наилучших и идеальных проекций, обладающих минимальными искажениями и (или) другими достоинствами.

Приоритет в постановке этой проблемы, в разработке

1853 г. великим русским ученым Паф нутием Львовичем Чебышевым, который сформулировал теорему о наилучших

н а и м е н ь ш и м и в е л и ч и н а м и и с к а ж е н и й в с е х ви д о в по сравнению со всеми равноугольными проекциями, в основном решена.

Вместе с тем, решение проблемы определения наилучших проекций в общем виде, разработка теории и практики изыскания наилучших равновеликих и других по характеру искажений проекций находится в начальной стадии.

Большой вклад в разработку теории и решении задач получения наилучших проекций внесли крупнейшие русские ученые П.Л.Чебышев. Д.А.Граве., Н.Я.Цингер, А.А.Марков,

1ОЗак. I 13

В.В.Витковский, Н.А.Урмаев, В.В.Каврайский, Г.А.Мещеряков

идругие.

К ак о т м е ч а е т с я в к а р т о г р а ф и ч е с к о й л и т е р а т у р е , наилучшие проекции можно искать либо из неограниченного

изображаемой области искажения длин отклонялись от нуля

совокупности, например, из проекций того или иного их вида по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й , то те из них, в к о т о р ы х обеспечиваются минимальные величины искажений длин, называются наилучшими.

В настоящее время известны два направления получения наилучших проекций. Первое предполагает решение задачи по методу П.Л.Чебышева: формулируется и доказывается теорема о наилучшей проекции и на ее основе разрабаты ва ­

п р е д у с м а т р и в а ю щ и е п о л у ч е н и е и о ц е н к у и с к а ж е н и й проекций, как в отдельных точках, так и во всей области картографирования. При этом используются критерии оценки до сто и н ств п роекций, п р е д л о ж е н н ы е Эйри, И орданом , В .В .Каврайским , Г .И .Конусовой, Клингачем и другими,

ти п у , у д о в л е т в о р я ю щ и х к р и т е р и ю Ч е б ы ш е в а , либо к в а р и а ц и о н н о м у ти п у , о с н о в а н н ы х на и с п о л ь з о в а н и и указанных вариационных критериев.

Однако, в картографической практике нередки случаи, когда определяющим фактором выбора и использования проекций является не величина искажений и характер их распределения, а иные факторы или их совокупности.

Отсюда следует отметить, что наилучшие проекции могут быть двух видов:

1.Н а и л у ч ш и е п р о е к ц и и , о б е с п е ч и в а ю щ и е м и н и м у м

искажений и наилучшее их распределение: минимаксного или вариационного типов.

2.Наилучш ие проекции, обеспечивающие оптимальное выполнение всей совокупности требований к проекциям в соответствии с конкретным назначением создаваемой карты.

Решение проблемы изыскания наилучших проекций с различным характером искажений находится в различных стадиях развития.

Разработка теории и способов определения равновеликих

и зображ ения конформных, а именно: в наивыгоднейшем эквивалентном изображении какой-нибудь страны наиболь­

именно азимутальная проекция Ламберта, псевдоконическая Схольса для сферического сегмента и, вероятно, коническая проекция Тиссо с наименьшими крайними искажениями углов внутри пояса - для пояса”.

В.В.Каврайский для анализа предположения Н.Я.Цингера использовал псевдоконическую проекцию Схольса и доказал, что максимальные искажения углов будут иметь место в центре области картографирования.

Используя прямую и поперечные системы координат он показал, что в двух анализируемых вариантах искажения углов в центральной точке будут различны. На этой основе он отметил, что для получения наилучшей равновеликой проекции недостаточно выполнения требования, вытекающе­ го из гипотезы Н.Я.Цингера.

Критика упомянутой гипотезы Н.Я.Цингера и исследований В.В.Каврайского была дана в работах Г.А.Мещерякова.

Однако убедительных доказательств своих утверждений Г.А.Мещеряков не дал.

Вместе с тем именно Г.А.Мещеряков, не ставя задачи нахождения наилучших равновеликих проекций в общем случае, сформулировал теорему и получил частный вариант

такой проекции для к а р т о г р а ф и р о в а н и я те р р и т о р и и полушарий [27].

Критический анализ метода Г.А.Мещерякова дан в работе Г.И.Конусовой. На основе теоремы Вейерштрасса: “Всякая непрерывная функция, заданная на компактном множестве, достигает на нем верхней и нижней грани”, Г.И.Конусова с ф о р м у л и р о в а л а и д о к а з а л а т е о р е м у с у щ е с т в о в а н и я наилучших проекций минимаксного типа для заданной ограниченной области. В своих исследованиях она отметила, что Г.А.Мещеряков сформулировал лишь частную задачу, что в этой задаче речь идет лишь об области влияния исходных данных, начальных условий, при которых во всей

Ряд исследований выполнили и другие ученые.

А . С . Л и с и ч а н с к и й п о л у ч и л о б ъ е д и н е н н ы е с и с т е м ы эквивалентных азимутально-цилиндрических и азимутально­

частные решения задачи получения проекций, примыкающих к равноугольным.

Весьма интересными и полезными являются исследования

с минимальными искажениями (1991 г.), В.Хойовека, давшего приближенное решение вариационного типа для отображения ге о г р а ф и ч е ск о й т р а п е ц и и (Прага, 1976), Д ж . С н а й д ер а , рассмотревшего вопросы использования численных методов для получения наилучших равновеликих проекций.

Говоря о получении идеальных проекций, необходимо иметь в виду следующее. Если исходить только из условия обеспечения минимума искаж ений, то в соответствии с определением В.В.Каврайского идеальными проекциями, как было сказано, можно назвать проекции, получаемые из всего мыслимого их множества, в которых обеспечивается минимум искажений длин в пределах изображаемой области. И в этом случае идеальные проекции могут быть минимаксного и