Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный университет геодезии и картографии
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Бугаевский Л.М. - Математическая картография - 1998.pdf
Скачиваний:
633
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
12.22 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

s i n ф

=

s izncosa c o s c p 0 + c zo ss i n

cp0

;

 

s i n ( A .

-

>c0 ) =

s i n z s i n a

 

 

 

 

 

c o s z 9s 0i n) 2

 

 

yj1 - ( s i nz cosa c o s

q>0

+

Поскольку получаемые при этом формулы вычисления весьма громоздки, то значения частных масштабов целесо­ образнее определять численными методами по прямоуголь­ ным координатам данной проекции.

3.5.4. ПРОЕКЦИЯ ЛИТТРОВА

 

 

 

Пусть на рис. 59 линия

M QS 0 -

геометрическое

место

точек, азимуты ортодромии

с точек

которых на

пункт

5 0(фоДо) имеют постоянную величину. Такие линии

н азы ­

ваются изоазимутами.

 

 

 

Для каждой из точек Л/°(фД) изоазимуты можно записать

по формуле четырех смежных

элементов сферического т р е ­

угольника

PQS QM°

соотношение

 

c t g A s i n / =

t g ф о c o s ф - s i n ф c o s / ;

 

(/ - X - Х0)

 

X

откуда

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

изображение

изоазиму­

та в некоторой проекции было

прям ой л и нией,

о б р а з у ю щ е й

с

Ро

М(х, у)

У

Рис.59 Изоазимута на сфере

Рис.60 Изоазимута на плоскости

 

(в проекции Литтрова)

осью х н ек о то р ы й угол

а = А , плоские п р я м о у г

о л

ь н ы е

координаты х у у точек М

изображения изоазимута

в

этой

проекции должны быть связаны соотношением (рис.60)

у = (х0 - x )tg a .

Если положить, что формулы прямоугольных координат проекции имеют вид

 

х

= /? tg c p c o s/;

у =

/? sec cp sin / ,

(267)

то приведенные

выше уравнения

удовлетворяются, прямые

S M изображают

изоазимуты

точек осевого меридиана (/=0,

j>=0), ось абсцисс

- это изображение меридиана

X = Х0 = 0 ,

ось ординат - это

изображение экватора ср = 0 .

 

Частные масштабы длин данной равноугольной проекции

определяются из выражения

 

 

 

 

 

т = —-— [tg2 ф + c o s 2 XV 1

 

 

 

COS(p *■

 

j

 

П а р а л л е л и в п р о е к ц и и - э л л и п с ы , а м е р и д и а н ы - гиперболы. Каждая точка картографической сетки изображает

две точки шара ( c p i A ] ) и ф2 = ~(р\,Х] = 180 —Л., ). S

- изобра­

ж е н и е точки п е р е с е ч е н и я и з о а з и м у т ы с осью

абсцисс.

Картографическую сетку проекции Литтрова называют еще сеткой Вейра.

3 .6 . О ТО БРА Ж ЕН И Е НА К А РТА Х ЛИНИЙ ПОЛОЖ ЕНИЯ

Решение этих задач включает:

-определение геодезических координат точек линий положения;

-вычисление прямоугольных координат этих точек в принятой картографической проекции;

-построение линий положения на картах по полученным

прямоугольным координатам их точек.

Основной из них является решение первой задачи, так как последующие вычисления и построения трудностей не вызывают.

3.6.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ, ЛОКСОДРОМИИ И МАЛЫХ КРУГОВ

3.6.1.1. ВЫ ЧИСЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПРОМ ЕЖ УТОЧНЫ Х ТОЧЕК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ ЭЛЛИПС ОИДА

Р е ш е н и е данной задачи может о сущ ествляться двумя способами. Первый способ целесообразно использовать для случаев, когда конечные точки отрезков геодезических линий находятся на большом расстоянии (s>R).

В этом случае одним из известных способов решаем на эллипсоиде обратную геодезическую задачу и находим азимут

а 12 с первой

на вторую точку

и расстояние

s l2

между ними.

Затем, и с п о л ь зу я

азимут

а ,2

в первой

точке

и значения

отрезков

Sy

< si2 ,

реш аем

прямые задачи

на

эллипсоиде,

например,

по

способу Бесселя

[28].

 

 

 

В р е з у л ь т а т е находим

геодезические

координаты первой

и последующих промежуточных точек геодезической линии.

В то р о й

способ

можно при м ен и ть

д л я сл у чаев, когда

р а с с т о я н и я

м е ж д у т о ч к а м и

не очень в е л и к и

( s< R ). С

допустимой

точностью вместо

азимута

а 12 геодезической

линии

определяем

азимуты нормального^ ]2(н) и центрального

« 12(c)

с е ч е н и й

по

н е с к о л ь к о

в и д о и з м е н е н н ы м

а в т о р о м

ф ормулам [28]

 

 

 

 

 

 

П р и э т о м

п о л а г а е м ,

что

и з в е с т н ы г е о д е з и ч е с к и е

координаты

первой

точки

и азимут а]2

с нее на вторую.

Если ж е азимут

Я|2 с первой точки на вторую неизвестен,

то он

м ож ет быть

вычислен (при наличии геодезических

координат обеих точек) по формулам нормального

сечения:

COS<p2 sin( ^ 2 - ^|)

[sin (p 2 COS(Pi - COSCP2 sincp! COs(X.2

-

X ]) + 6 J2] ’

где

 

 

Sin ф|

-

Sin ф 2

Воспользовавшись известной формулой Клеро, находим постоянную для данной геодезической линии величину с по широте и азимуту в первой точке

Для определения геодезических координат промежуточной точки геодезической линии задаем широту <рк этой точки в

интервале ф] <ф* < ф 2 и находим

азимут як1(н) с этой точки

на первую и долготу этой точки.

 

Для этого вначале вычисляем

азимут

где

Т еперь можно записать на основе ф о рм улы азим ута нормального сечения

Введем обозначения

 

 

 

Г

-

(

лЛс«

.

я

^

С0

= tga*i(H)

 

tg<p, costp*

+ ---------

; С, = tgo*,(H) sintp* ;

 

 

 

 

sin ф* —sin ф|

 

 

J - е1 sin2 ер*,

Перейдя к функциям

половинного

угла для sin / и c o s/,

получим

 

 

 

 

tg2 i - (С0 + С ,) -

2 tg y

- (С,

- С0) = О

И

 

 

 

 

/ 1 -

д/l

+ С 2 -

С02

 

tg 2 ‘

С0 + С,

 

 

Аналогичное решение будем иметь, используя формулу

азим ута

центрального

сечения

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

cosф, sinf>c, - X L )

 

 

{ё ак\(с)

=1 + е '

cos

 

-------------------------------

 

 

 

:---------

/:------

Г~\'

 

1 ’

 

 

 

Sin ф! СОЗф* - cosф, sin фк cos(>., -

Х к )

 

У ч и т ы в а я ,

что а з и м у т

ак1

н е т р у д н о

п о л у ч и т ь по

 

формуле Клеро для любой точки с заданной широтой, можно

 

записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgfl/nu)

-tgq>i COS9 *

tgfl*1(c) sincp* cos(a, - Xk ) _

;

;\T2\2“

— 7---------------------------------------------------------------------------------------

 

ф* I

 

 

II + e*

cos

ф* I

 

II + e'~ cos

 

 

 

 

 

Введя рбозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t>o = 1ё ° * 1(с)

• l6 <Pi cos<p*/(l

+ e'2 cos2 <p*);

 

 

 

 

tgfl^i(C) sin(pt

 

 

C,

 

 

 

 

 

(l + e '2 cos2 <p*)

(l + e'2 cos2 tp* j ’

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2 |(Ab

+ Al) - 2

t g | - ( 6

1 - f i b) = 0

;

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5^ _

\

+ b2 -

bl

 

 

 

 

 

 

2 =

 

b0

+ b,

 

;

 

 

 

 

 

Xk = a,

-

2arctg(tg^).

 

 

 

Для

и л л ю с т р а ц и и

способов

п р и вед ем

три п р и м ер а ,

 

используя в качестве начальных точек и азимутов с первых на конечные точки данные, приведенные в книге [28, стр.172, 182, 146], и в качестве определяемых конечные точки этих отрезков геодезических линий.

П ример 1 . Дано ф, = 60° ; а п = 45° ;

?ч = 10° ; s ]2 = 60 ООО м.

ф2 = 60,°3785718333;

Х2 = 10,°76913389;

а 21 = 225, °6673611111..

Задана широта ф^ = ф2 .

 

Получено:

 

по способу нормального сечения

Х2 = 10,°769132923;

 

 

 

 

 

 

<х21 = 225,°667513038 ;

по

способу

центрального

сечения

Х2 = 10,°769133777.

П рим ер 2 . Дано

(pj

= 45° ; ап

= 45° ; Х}

= 10° ; sl2 = 200 ООО и;

 

 

 

А.,

= 0 .

 

 

 

 

 

Ф 2

= 46,°25788525 ; Х2

= 11,°8341788056;

 

 

 

<х21 = 226,°31 12528056.

 

Задана широта

= ф 2 .

 

 

Получено:

 

 

 

 

 

по

способу

нормального

сечения

Х2 = 11,°834177139 ;

 

 

 

 

 

 

а 21 = 226,°31 12720348;

по

способу

центрального

сечения

Х2 = 11,°834178847;

П рим ер 3. Дано

ф! = 45° ; а 12 = 29.054292222 ; s]2 = 1320284.3 м;

 

 

 

ф2 = 52.998763056; / = 9.998300833.

Задана широта ф* =Ф2 . Получено:

по способу нормального сечения / = 9.99836314;

по способу центрального сечения / = 9.99830252 .

Таким образом, оба рассмотренных способа позволяют вычислить координаты промежуточных точек геодезических линий с весьма высокой точностью.

3.6.1.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК ОРТОДРОМИИ

tg ф = tg фj cosec A sin[(/j - X,) + ^ ];

ctg А = ctg ф, tg(p2 cosec(X2 - Х|) - ctg(x2 -

где ф], A.j; Ф 2 Д 2 - широты и долготы конечных точек отрезка ортодромии.

Используя значения А из второй формулы и задав долготы X промежуточных точек ортодромии, находим по первой формуле широты этих промежуточных точек.

3.6.1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК ЛОКСОДРОМИИ

По геодезическим координатам конечных точек локсодро­ мии вычисляем прямоугольные координаты этих точек в проекции Меркатора

x = r0 \nU;

у = г0Х,

 

где

 

 

 

 

U = tg^45°+(^ j j tg'?(450+ % /};

sin у = esincp;

r0 = N 0 cos<p0;

e2

= \ - ( b / a f .

 

Вычисляем дирекционный угол

 

 

= arctg[(y2 - yi)/(x2 - x,)].

Т е п е р ь , з а д а в ш и р о т ы

ср,

п р о м е ж у т о ч н ы х т о ч е к

локсодромии, вычисляем

In Ui , а затем находим долготы этих

точек по формуле

 

 

 

 

Xi= X ] + tg a di2(ln i/,

- ln t/,) .

 

3.6.1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК МАЛЫХ КРУГОВ

Взависимости от исходных данных может быть три случая решения данной задачи.

Впервом задаются координаты точки центра (полюса) малого круга и зенитное расстояние до круга от полюса, во втором - географические координаты точки полюса и точки, лежащей на малом круге, и в третьем - координаты трех точек, лежащих на малом круге.

При этом задача может решаться либо на поверхности шара, либо - эллипсоида.

Рассмотрим последовательно решение указанных задач, начиная с первого случая (при отображении поверхности шара).

Используя значения cp0, Х0, Z и задавая с определенным

шагом азимуты а = пАа (п = 0 , 1, 2, ...), вычисляем

siny' = sin zcostf cos9 0 + со5£ 5т ф 0 ;

sin(X' - XQ) = sin z sin a secф '.

Во вто р о м с л у ч а е з а д а н и я и с х о д н о й и н ф о р м а ц и и

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности