В проекциях с асимметричными изоколами имеем

х = а0 + bis„ + a2s 2 + b3s 3„ + ...;

2kRl

Рассмотренная проекция может быть использована для составления карт на участки малых и средних размеров масштабов 1:1 ООО ООО и мельче.

С уменьшением масштаба карт пределы изображаемых участков соответственно увеличивается.

Вычисления этих проекций могут быть выполнены как при помощи ЭВМ, так и с применением малой вычислительной техники.

К приспособляемым проекциям также, относится проекция Лагранжа (см. п.2.3.1.2). В частных случаях, когда контуры изображаемых областей совпадает с линиями изокол той или

го В.В., Вахрамеевой Л.А. целесообразно использовать для картографирования малых и средних по размерам террито­ рий.

Проекцию Лагранжа можно использовать при картографи­ ровании любых по площади территорий, кроме полярных.

4.1.6. РАВНОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

координат Адамса фокусы располагаются и в полюсах и на экваторе.

Формулы для определения значений а, b соответственно

cos a = o ^ c o s ( 4 5 0+^); cos b = a ^ c o s(4 5 ° -X );

a= 90°-ф;

b= arccos(cos ф sin a.).

известным способам интегрирования или по составленным

прямолинейными меридианами. Искажения отсутствуют в точках пересечения осевых меридианов каждого полушария с экватором и достигает максимума в точках на пересечении

4.2.1.3. СПОСОБ КОМБИНАЦИЙ УРАВНЕНИЙ ИСХОДНЫХ ПРОЕКЦИЙ (ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОЕКЦИИ)

Комбинации могут осуществляться между проекциями

где х ,, у,, х2, у 2 - формулы прямоугольных координат одного класса проекций, но с различным характером искажений,

свойства проекций. Например, А.С.Лисичанский получил равноугольные и равновеликие проекции, соответственно п о п а р н о к о м б и н и р у я к о н и ч е с к и е , ц и л и н д р и ч е с к и е и ази м у таль н ы е проекции. Для определения равновеликих проекций указанных объединенных систем использовалось условие равновеликости, выраженное в полярных системах

координат

и метод Майера, согласно которому одна из отображающих функций (х или у) задается. Полученное дифференциальное уравнение решалось численными методами по значениям абсцисс, определенных в результате линейной комбинации а б сц и с с и с х о д н ы х п р о е к ц и й . П р и м е р а м и п р о е к ц и й , п р е д с т а в л я ю щ и х собой комбинации р а з л и ч н ы х классов проекций, являются также проекции Гаммера и Винкеля. В первой ординаты определяют как их среднеарифметические значения, в равновеликих проекциях Сансона и цилиндричес­ кой

Формулы проекции Винкеля определяют как среднеариф ­ метические из координат проекций: равнопромежуточной цилиндрической и проекции Айтова (см. ниже).

где к - постоянный коэффициент. Исходя из условия, что на экваторе частный масштаб длин п = 0,85, В.В.Каврайский получил значение к = 0,7.

П р о е к ц и я ш и р о к о п р и м е н я е т с я д л я к а р т м и р а в

удвоенными долготами и затем по координатам определяются промежуточные меридианы.

Им б ы л а и с п о л ь з о в а н а п о п е р е ч н а я а з и м у т а л ь н а я равнопромежуточная проекция Постеля, формулы которой с учетом указанных преобразований принимают вид

х = Rz cos a ;у - 2Rz sin a,

где a - полярные сферические координаты, определяемые по формулам (14).

По этому методу Е.Гаммером на основе использования равновеликой поперечной азимутальной проекции и при

где М.Д.Соловьев получил формулы проекции Аитова-Гаммера

д в у м н а п р а в л е н и я м ( п р о е к ц и и Е . З и м о н а , К . В а г н е р а , Е.Кремлинга).

4.2.1.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОВЕЛИКИХ ПРОЕКЦИЙ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ КАРТОГРАФИЧЕСКИМИ СЕТКАМИ (ПРОЕКЦИИ ЭЙЛЕРА)

Проекциями Эйлера называют равновеликие проекции с ортогональной картографической сеткой.

В этих проекциях по определению

где т, п - частные масштабы длин вдоль меридианов и параллелей соответственно; е - отклонения от прямого угла между изображениями меридианов и параллелей в точках проекции.

Профессор Н.А.Урмаев (1947 г.) рассмотрел ряд положений по теории эйлеровских проекций шара и на основе этих положений получил равновеликую коническую проекцию. Профессор Г.А.Мещеряков (1968 г.) продолжил теоретические исследования этих проекций и проиллюстрировал рассмотрен­ ные им теоретические положения на примерах получения

равновеликих конической проекции шара, проекции КоркинаГраве (меридианы в ней - концентрические окружности, параллели - пучок прямых) и проекции Эйлера, определяемой из у с л о в и я , что с р е д н и й м е р и д и а н я в л я е т с я л и н и е й конформности, на которой отсутствуют все виды искажений.

Для получения проекций эллипсоида введем обозначения

О

где г = N coscp, Л/, N - радиусы кривизны параллелей, меридианного сечения и сечения первого вертикала.

Учитывая формулы частных масштабов длин, можно, по аналогии с указанными работами, записать

где у - сближение меридианов.

Составив условие и н тегр и р у ем о сти этих у р авн ен и й , получим известную систему уравнений в частных производ­

а из нее - дифференциальное уравнение в частных производ­

получим с учетом (316) формулы известной равновеликой

Г.А.Мещеряков также показал, что эйлеровские проекции ш ара можно получить из р е ш ен и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о уравнения в частных производных

общими интегралами которого являются

Выполненные исследования показали, что возможности получения оптимальных вариантов эйлеровских проекций шара или эллипсоида на основе использования выражений (319), (320) весьма ограничены.

4.2.1.6. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ С СОСТАВНЫМИ СЕТКАМИ

Известно несколько способов определения таких проекций. П р о е к ц и я , п о л у ч е н н а я по способу В .В .К аврайского, составлена из двух: равноугольной цилиндрической проекции Меркатора в полосе с ф = ±70° и в более высоких широтах, в цилиндрической равнопромежуточной вдоль меридианов

проекции.

При п о л у ч е н и и п р о е к ц и й по способу Н . А . У р м а е в а предполагается, что две области эллипсоида (сферы), не имеющие общих границ, составлены в различных проекциях с плавным изображением меридианов и параллелей.

Для определения координат точек промежуточной области на проекции устанавливается аналитическая зависимость при условии, чтобы три одноименные параллели (в трех областях)

значительно возрастают по мере удаления от него.

Для изображения каждого материка (океана) используется только ц е н т р а л ь н а я часть проекции со своим средним п р я м о л и н е й н ы м м е р и д и а н о м , а о б ъ е д и н е н и е ч а с т е й осуществляется по линии экватора. На участках, где должны изображаться океаны (материки), возникают разрывы, см., например, рис.64.

Первоначально Гуд в качестве исходной для построения изображения по секциям использовал псевдоцилиндрическую равновеликую проекцию Мольвейде. Позднее для некоторых карт мира им был предложен вариант проекции, названной “ г о м а л о с и н ” , в к о т о р о й к а ж д а я с е к ц и я с о с т о я л а из псевд о ц и л и н др и ч еск и х проекций Сансона и М ольвейде,

В составных проекциях (в отличие от проекций Гуда) экватор может изображ аться не прямой линией. К таким п р о е к ц и я м о т н о с я т с я “ З м е е в и д н а я ” , “ Р е г и о н а л ь н а я ” , “Т е т р а э д р а л ь н а я ” , “Л о т о с ”. Так, в п р о е к ц и и “Л о т о с ” , использованной для мировой карты с разрывами по суше, сетка состоит из равнопромежуточной конической проекции в центральной части и псевдоконической проекции на трех лепестках.

А н ал о ги ч н ы е свойства имеют з в е з д ч а т ы е проекции, применяемые в качестве эмблем. К их числу, например, относится звездчатая проекция с составной сеткой, в которой ц е н т р а л ь н а я ч а с т ь с о с т о и т из р а в н о п р о м е ж у т о ч н о й азимутальной проекции Постеля, а лучи из псевдоконической проекции.

К р а с с м а т р и в а е м о й группе проекций, п олучен н ы х с и с п о л ь з о в а н и е м в к а ч е с т в е и с х о д н ы х р а в н о в е л и к о й азимутальной проекции Ламберта, производной Аитова - Гаммера и псевдоцилиндрической Мольвейде, относятся также “Северная”, и “Атлантическая” проекция Бартоломью и “Эллиптическая” Бризмейстера, в которой один из полюсов Земли изображ ается в двух местах сетки [Гинзбург Г.А., Салманова Т.Д., 1964].

4.2.1.7.ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ, КЛАССОВ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРОЕКЦИЙ НАИБОЛЕЕ БЛИЗКИХ К КОНФОРМНЫМ

Понятие о квазиконформных отображениях плоских областей

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я э ти х о т о б р а ж е н и й и з л о ж е н ы

отображения, соответствующие этим уравнениям, переводят бесконечно малые квадраты одной плоскости в некоторые п а р а л л е л о г р а м м ы д р у г о й п л о с к о с т и (с т о ч н о с т ь ю до бесконечно малых первого порядка).

Отмечается, что использование теории квазиконформных отображений плоских областей позволяет свести отображение произвольных поверхностей к квазиконформным преобразова­ ниям плоских областей.

Применительно к математической картографии конкрет­ ные разработки теории этих отображений и их практических приложений еще отсутствуют.

О классах равновеликих проекций, наиболее близких к равноугольным

Выше отмечалось, что в проекции П .Л .Чебыш ева по сравнению с другими равноугольными проекциями искажения всех видов, в том числе и площадей, имеют наименьшие величины. Следовательно, проекция П.Л.Чебышева из всех этих проекций наиболее близка к равновеликим проекциям.

В равновеликих проекциях, как известно,

близких к конформным

тп cos с = 1;

т - п = 0

и

В качестве иллюстрации приведем формулу, предложен­ ную Г.А.Гинзбургом для вычисления конической проекции с заданными значениями искажений

где с, к - постоянные величины, т0 - частный масштаб длин вдоль меридианов в точках с минимальным масштабом по параллелям.

4.2.1.9. ГРАФИЧЕСКИЕ И ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Графические способы в настоящее время мало применя­ ются . К р а т к о о с т а н о в и м с я на н е к о т о р ы х п р о е к ц и я х , полученных этими способами.

Проекция Бируни

Это шаровая (глобулярная) проекция. Для ее построения в окружности радиуса к - nR/2 , взятого в масштабе карты, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра. Один из

на равные части, а затем, проведя по трем точкам, лежащим на меридианах, и по точкам полюсов и экватора окружности, п о л у ч а ю т ли н и и м е р и д и а н о в и п а р а л л е л е й п р о ек ц и и . Проекция была предложена в 11 веке.

В 1642 г. Николози предложил ее вновь, а в 18 веке эту проекцию применял А.Арроусмит.

По виду картографической сетки проекция относится к круговым поликоническим.

Проекция Апиана

Была предложена в 1520 г. Для ее построения проводят в окружности произвольного радиуса два взаимно-перпендику-

л и н и и п а р а л л е л е й ч е р е з т о ч к и с р е д н е г о м е р и д и а н а , ортогонально к нему.

По виду картографической сетки она является псевдоцилиндрической.

проекции Апиана, а параллели - параллельные прямые, проводимые ортогонально к среднему меридиану через точки,

равн ы е о тр е зк и в з а и м н о - п е р п е н д и к у л я р н ы е д и ам етр ы , изображающие экватор и средний меридиан. Проводят через равноотстоящие точки среднего меридиана ортогонально к нему п а р а л л е л и и д е л я т их на р а в н ы е части . Ч е р е з соответствующие точки этих параллелей, экватора и точки

эллиптической псевдоцилиндрической.

Проекции Апиана, Лорица, Бируни, Араго предназнача­ лись д л я с о з д а н и я к а р т п о л у ш а р и й . М а т е м а т и ч е с к о е описание, таблицы масштабов и искажений этих проекций даны в работе В.В.Витковского “Картография”, СПб, 1907 г.

Проекция Мюфлинга.

Она с т р о и л а с ь по в ы п р я м л е н н ы м д у г а м о т р е з к о в п а р а л л е л е й и м ер и д и а н о в (для т о п о г р а ф и ч е с к и х к а р т масштаба 1:200 ООО и крупнее) методом засечек. Проекция применялась как многогранная для построения топографичес­

циевидная псевдоцилиндрическая проекция (см. п.3.1.1.). Графоаналитические способы применялись для построения

ц и л и н д р и ч е с к и х , коническ их, а з и м у т а л ь н ы х и д р у ги х проекций. В настоящ ее врем я этим методом получают,

картографии.

4.2.1.10. СПОСОБ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИСХОДНЫХ ПРОЕКЦИЙ

В качестве иллюстрации приведем формулы проекции, полученные путем томографических преобразований по методу Н.А.Урмаева [37]

модификации уравнений известных проекций. В качестве примера приведем некоторые такие проекции.

Модифицированная проекция UTM. .

Проекция была получена в 1972 г. на базе проекции UTM. По свойствам она близка к равнопромежуточной конической проекции эллипсоида и имеет постоянный масштаб 0.9992 на

0° = .0.8625111(Х°+150°);

р = 4.1320402 - 0.04441723<ро+0.0064816 sin 2Ф .

Проекция Миллера

Я в л я е т с я п р о и з в о л ь н о й по х а р а к т е р у и с к а ж е н и й цилиндрической проекцией. Предложена О.М.Миллером в 1942 г. для карт мира. Получена модификацией проекции Меркатора. Проекция близка к перспективной цилиндричес­ кой проекции Голла (см. п.2.1.1.7)

Формулы проекции имеют вид

y= R ( X - X о ) ’

т= sec 0,8ф ;

п = sec ср;

х = /? [arcsin /i(tg 0,8ф)]/0,8

или

X = (/г/1.6) In (1 + sin 0,8ф)/(1 - sinOJkp).

Модифицированная стереографическая равноугольная проекция

Предложена Миллером в 1953 г. с учетом работ Лаборда (1928, 1932 гг.) и Дриенкура (1932 г.).

Для получения проекции вначале используются известные

к ' = 2Д 1 + sinф| siny + cosф, со5фсо8(Х - Х0) ] = * • -