4.2.2. ИЗЫСКАНИЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ

радиуса, разработал теорию этих проекций [36].

При этом он исходил из условия, что частные масштабы длин вдоль параллелей и площадей равны и что они являются

где т - угол между нормалью к параллели и осью абсцисс. Продиф ференцируем по X и Ф производные *ф , х х ; и подставим их значения в условия интегрируемости

Это позволяет записать систему обыкновенных дифф ерен ­ циальных уравнений

Уравнения (333) и (334) представляют собою основу теории картографических проекций с равноразделенными параллеля­

(334) соответственно получим равновеликие псевдоцилиндрическую проекцию Сансона или псевдоконическую проекцию Бонна.

Обобщенная равнопромежуточная вдоль меридианов коническая проекция шара

В 1947 г. Н.А .Урмаев, как отм ечалось (см. п.2.2.1.7), разработал теорию равнопромежуточной вдоль меридианов обобщенной конической проекции шара, в которой частные

Решение этого дифференциального уравнения Н.А.Ур­ маев представил в виде произведения двух функций, из которых одна - функция широты, а другая - функция долготы

Потребовав, чтобы масштабы длин являлись функцией только широты, Н.А.Урмаев получил из решения этих уравнений равновеликую и. равнопромежуточную вдоль меридианов конические проекции ш ара, а поставив условие, чтобы масштабы длин вдоль параллелей были функцией и широты, и долготы, - рассмотренную выше обобщенную равнопроме­ жуточную вдоль меридианов коническую проекцию шара с округленными изоколами.

Г . И . К о н у с о в а (1973, 1975; 1986 - в с о а в т о р с т в е с И.А.Бертик) рассмотрела ряд вопросов получения ортогональ­ ных п р о ек ц и й на основе р е ш е н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений Эйлера-Урмаева различных типов, в том числе картографических проекций с равноотстоящими параллеля ­ ми, обобщающие конические, азимутальные и цилиндричес­ кие проекции.

Д л я о р т о г о н а л ь н ы х п р о е к ц и й с р а в н о о т с т о я щ и м и параллелями уравнения (340) были представлены в виде

т = т(ф);

Мтух + ( т ) ф = 0 .

У читывая ф о р м у л у связи меж ду радиусом кривизны параллелей р и сближением меридианов у

т

Р= — ,

Ух 9

были определены выражения для частных масштабов длин

а затем уравнения в полных дифференциалах для вычисления абсцисс л: и ординат у проекции.

где р0 - радиус кривизны некоторой начальной параллели с широтой фо ; Уо(^) ” координаты точек этой параллели;

р - р0 = м(ф) - ф у н к ц и я , вид которой за в и с и т от свойств проекции.

Картографические проекции с равноотстоящими параллелями

Эти проекции получают под условием, что отношение частных масштабов по параллелям к частным масштабам

площадей является функцией только широты, т.е. ~ ~ /(ф) .

В этом случае при отображении шара единичного радиуса одна из формул (293*) принимает вид

Фх + < ? 2у = £ 2 (ф) -

Для интегрирования этого уравнения было предложено два способа. В качестве первого применялся способ полного интеграла Лагранжа [36, стр. 11-14].

Во втором способе Н.А.Урмаев вместо широты ф ввел функцию и по уравнению

где / = tgт , т - угол, образованный нормалью к параллели с осью х.

Дифференцируя первую формулу по у , а вторую по х и подставляя значения производных в условие интегрируемости

Таким образом, взамен исходного нелинейного уравнения

ренциальных уравнений

и получить первый интеграл / = сх и затем второй и общий интегралы

где f ( t ) - произвольная зависимость между постоянными с,,

С2.

Из э т и х ф о р м у л с л е д у е т , что в р а с с м а т р и в а е м ы х картографических проекциях, для которых

параллели являются равноотстоящими кривыми, а ортого­ нальные траектории (меридианы) к ним представляют собой семейство прямых с одним параметром t.

Для построения п а р а л л е л е й необходимо устан о ви ть произвольную функцию. Указав для данной параллели с широтой ф0 уравнение некоторой произвольной функции, например, в виде

Если кривизну параллели ф0 положить, равной нулю, получим цилиндрические проекции. Если кривизну параллели ф0 полож ить равной постоянной величине, то получим конические проекции. При этом можно получить проекции, имеющие кривизну параллелей меньше, чем в конических и больше, чем в цилиндрических проекциях. Это важно при создании некоторых, например, школьных карт.

П р и м е р ы п р а к т и ч е с к о г о р е ш е н и я т а к и х з а д а ч с использованием теории указанных проекций даны в работе [36, стр.15-24].

Фх +Ф2 = g 2 .

в которых

g = g(y)

или

g = £(х,у),

представляющие собою варианты более сложных решений уравнений Тиссо-Урмаева.

4.2.2.3. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ПО ЗАДАННОЙ КРИВИЗНЕ МЕРИДИАНОВ, ПАРАЛЛЕЛЕЙ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ

Уравнения кривизны меридианов и параллелей можно записать в виде (см. п.п.1.2.6 и 1.2.7)

/ / = - i (их SeCe + Vp tg е) ~ + еч>

Средняя кривизна геодезических линий для любых по характеру искажений картографических проекций может быть определена по формуле [27]

определения проекций в зависимости от заданных свойств. Рассмотрим два способа определения картографических

проекций по заданным их свойствам.

Способ получения проекции с равноотстоящими паралле ­

52 f s ' 3

т" а + 5 1л

Н.А.Урмаев составил таблицу величин s, к п , т для точек этой параллели с частотой ДА. по долготе.

Используя эти данные и известные соотношения

Частные масштабы длин по параллели определяют по формуле

где kj7 - кривизна заданной параллели.

Второй способ - это способ получения равноугольных проекций с заданной кривизной изображения меридианов и параллелей.

В равноугольных проекциях

где Км, Кп - заданные значения кривизны изображ ения меридианов и параллелей в точках проекции.

Задача определения проекции сводится к вычислению постоянных коэффициентов а., Ь. и соответствующих им коэффициентов А., С решения уравнения Лапласа (294) при

параллелей трудно, поэтому значения А., С можно ь. .ти методом итерации, используя следующие приближенные формулы:

б у м а г е ) м а к е т к а р т о г р а ф и ч е с к о й с е т к и , о п т и м а л ь н о удовлетворяющий данному конкретному заданию. Используя ч исленные методы, вы числяю т масштабы, и с к а ж е н и я и другие параметры построенного макета и при необходимости вносят необходимые уточнения или строят новый макет.

На втором этапе осуществляют сглаживание прямоуголь­ ных координат точек пересечения меридианов и параллелей эскиза (как правило, методом коррелат), а затем по этим координатам выполняют аппроксимацию эскиза картографи ­

рассмотренные в работах Богинского В.М., Урмаева Н.А. и других, п р и м ен и т е л ь н о к вы полнени ю п р е о б р а з о в а н и й картографических проекций и их получению. Например, в [4], в которой полно рассмотрен данный метод применительно к п о л у ч е н и ю (для м е л к о м а с ш т а б н ы х к а р т ) п р о е к ц и й произвольных по характеру искажений, широко используют­

относительно среднего меридиана представляют абсциссы четной функцией долготы, ординаты - нечетной функцией долготы. При получении проекции симметричной относитель­ но экватора представляю т абсциссы нечетной функцией широты, ординаты - четной функцией широты. Для получения проекций с изображением полюса точкой или отрезком прямой

-Для асимметричных вариантов проекции

кк

*=

кк

y = ' Z aiQi + ' Z biVi- i=1 /=0

- Для симметричных проекций

к

* =

/=0

У =

/■=1

где х, у - прямоугольные координаты узлов картографической сетки, и зм ер е н н ы е по эс к и зу (сгл аж ен н ы е при необходимости);

а.у Ь. - постоянные коэффициенты;

\| 0 Х - члены гармонических полиномов, определяемые по

(298).

следующим образом:

- Выбираем известную равновеликую проекцию, одна из

Л амберта для изображ ения областей с округленными очертаниями (с замкнутым контуром)

х = 2 /?sin У2 cosа\

у = 2/? sin ^ sin а

или для территорий с незамкнутым контуром

а) для проекции с симметричной сеткой относительно экватора

X= х;

Y= y + j ^ a iX i ,

/=1

где х - абсцисса равновеликой проекции, симметричной относительно экватора;

б) для проекций, симметричных относительно среднего меридиана

X = x + f t biy';

/=1

у = у ,

где у - ордината проекции, симметричной относительно средней меридиана.

Б. При двукратном отображении

Х\ +

i=1 *1

Y = y + ' £ c iXl

/=1

И Л И

X = x + f i diY]‘-

/=I

*1

У 1 = у + H , a i x ‘ .

/=1

-Решаем полученные системы уравнений и в результате получаем искомые значения постоянных коэффициентов