- •Введение
- •Раздел 1. Общая теория математической картографии
- •1.1.2. Системы координат, применяемые в математической картографии
- •1.1.3. Системы координат трехосного эллипсоида
- •1.1.4. Геодезические системы координат и высот, используемые при создании карт
- •1.1.6. Определение картографической проекции; уравнения меридианов и параллелей; картографическая сетка и условия ее изображения
- •1.1.7. Масштабы
- •2.1.2 Псевдоцилиндрические проекции
- •2.2.3. Перспективные азимутальные проекции
- •2.2.5. Псевдоазимутальные проекции
- •2.3.2. Поликонические проекции в “узком смысле”
- •Раздел 3. Картографические проекции карт конкретного назначения
- •3.1.1. Псевдоцилиндрическая трапециевидная проекция
- •3.1.2. Поперечно-цилиндрические проекции
- •3.1.3. Проекция Гаусса-Крюгера
- •3.2.1. Проекция Гаусса-Крюгера
- •3.2.3. Стереографическая проекция Руссиля
- •3.5.1. Назначение аэронавигационных карт, основные проекции, используемые при их создании
- •3.5.4. Проекция Литтрова
- •3.6.1. Определение геодезических координат промежуточных точек геодезических линий, локсодромии и малых кругов
- •3.6.2. Отображение на картах линий трасс ИСЗ
- •Раздел 4. Теоретические основы изыскания и выбора наилучших, идеальных и других проекций. Направления автоматизации математической основы карт
- •4.1.2. Прямая и обратная задачи математической картографии в теории прямых отображений поверхностей на плоскость
- •4.1.4. Проекция Чебышева - наилучшая равноугольная проекция
- •4.1.5. Равноугольные проекции с приспособляемой изоколой
- •4.1.6. Равноугольные проекции, определяемые при помощи эллиптических координат
- •4.2.1. Изыскание картографических проекций на основе решения прямой задачи математической картографии
- •4.2.2. Изыскание картографических проекций на основе решения обратной задачи математической картографии
- •4.3.1. Теоретические основы выбора картографической проекции
- •4.3.2. Об определении характера искажений проекций создаваемых мелкомасштабных карт
- •4.5.1. Общие сведения
- •4.5.2. Интерполирование (экстраполирование)
- •4.6.1. Вычисление картографических проекций при помощи ЭВМ
- •4.6.2.Преобразование картографических проекций (картографического изображения) исходных карт в заданные проекции
- •4.6.4. Автоматическое построение элементов математической основы
- •Список литературы
- •Оглавление
d<P |
e |
f d ¥ |
^ |
cos------cp-- |
--------cos у/ |
+ C. |
|
|
|
Учтя стоящие в этом выражении табличные интегралы, получим:
_ |
и |
tg(45°+<p/2) |
n'U |
q —Inc/, |
—------------------ . |
||
|
|
tge(45°+v)//2) |
(23) |
где С - постоянная интегрирования, равная нулю при условии, что на экваторе при (р =0 изометрическая широта
<7=0.
В случае отображения поверхности шара формула изо метрической широты с учетом (22), (23) принимает вид:
Яш ~ 1п<& (45" + <рш / |
(24) |
При использовании полярных систем координат изометри ческие широты будут равны:
А) В случае отображения поверхности эллипсоида:
Я = 1п |
« |
; V = arccos {eco&z) , |
(25) |
tg |
(v/2) |
|
|
где z, a - полярные координаты, определяемые:
а) при расположении полюса в любой точке эллипсоида по формулам (11)-(14),
б) при расположении полюса системы в географическом полюсе - по формулам:
Z = 90" - (р ; а = -Л .
Б) В случае отображения поверхности шара - из вы раж е ния:
q=\ntg(zlu/2 ) .
1.1.3.СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ТРЕХОСНОГО ЭЛЛИПСОИДА
При картографировании поверхностей некоторых небесных тел, например спутников Марса — Фобоса и Деймоса, воз никает необходимость в качестве поверхности относимости использовать поверхность трехосного эллипсоида.
В целях разработки картограф и чески х проекций для
отображения таких поверхностей используют, главным обра зом, пространственную прямоугольную, планетоцентричес кую, эллиптическую Ляме и геодезическую систему коор динат.
Уравнение трехосного эллипсоида в пространственной сис теме координат O X YZ записывается в виде:
X 2 |
Y 2 |
Z 2 |
|
|
Т Г +Т Г + |
с |
2 - 1 ’ |
<26> |
|
а |
о |
|
|
|
где а, by с, - полуоси трехосного эллипсоида.
Координатными линиями в планетоцентрической системе я в л я е т с я п л а н ето ц ен тр и ч еск ая широта Ф = const и п л а нетоцентрическая долгота Я = const. При этом:
Ф - угол между радиус-вектором из центра эллипсоида на данную точку и плоскостью экватора,
Я - представляет собой двухгранный угол между плоскос тями, проходящими через ось эллипсоида, начальный и текущий пункты.
Связь пространственных прямоугольных координат и пла нетоцентрических координат может быть представлена в виде
[1]:
Х = р(ф, A)cos<t>cosA ; К = р(Ф, A)cos<t>sinA;
Z = р (ct>,A)sin<t>;
где р(Ф,А) = [(а совФcosA)2 + (/7cosOsinA)2+(ysinO )2] ';
Эллиптические координаты и и V, предложенные Ляме, выражаются формулами:
и = b1 +(а2- b 2)cos2и ,
v = Ь2- ( Ь 2- c 2)cos2v .
Связь этих координат с пространственными прямоуголь ными с учетом (26) может быть записана в виде:
Введем обозначения:
X2 = (а 2 - Ь2)(а2 - с2); X] = (Ь2 - с 2)(а2 - с 2); X2 + X] = 1.
Тогда
X= д/sinw;
Y= bcosu cosv Z = ctsinv ,
где
Геодезическая система координат применительно к трех осному эллипсоиду определяется неоднозначно.
В работах А. Кларка, Ф. Н. Красовского, Н.А. Беспалова и др. предложено называть широтой (р трехосного эллипсоида дополнение до 90° угла между нормалью к поверхности и осью вращения. Понятие меридиана определяется двояко [1]:
- как кривая, в точках которой все нормали к трехосному эллипсоиду пересекают плоскость экватора по некоторой, для каждого меридиана постоянной кривой; - как кривая, касательные к которой в любой точке на правлены на север (или на юг).
Эти два определения не тождественны. Указанные авторы, оставив за первым определением название меридиана, дали название линии, характеризуемой вторым определением, ли нией северного (южного) направления.
Формулы связи пространственных координат X ,Y ,Z и гео дезических (р, Я представлены в виде:
X= acos^cosA/ W ;
Y=a (l - ^ j c o s ^ s i n A/ W ;
Z= a { \ - e 2)sm(p/W,
где
= y j l - e 2sin2(p - e acos2(p sin2Я ;
e |
z |
^ |
* \/ г . |
|
- (а - с |
) /a , |
e |
L i |
L vr \I |
l |
, |
= ( 0 |
- 6 )/fl |
|
e, - соответственно первые полярный и экваториальным эксцентриситеты.
Согласно второй точке зрения рассматривают понятия об условно-геодезической и геодезических широтах, геодезичес кой долготе, а также о приведенной широте.
Геодезической долготой называют двухгранный угол между плоскостями сечений, проходящих через ось эллипсоида, на чальный и текущий пункты (меридианами — линии сечения этими плоскостями поверх
|
ности |
трехосного |
э л л и п |
|
соида). |
|
|
|
Для |
введения |
понятий |
|
о ш и р о т а х , у ч и т ы в а ю т |
||
|
следующее. |
|
|
|
Пусть линия АК — нор |
||
|
маль к эллипсу PDPXв точ |
||
|
ке А (рис.6 ). Для эллипсо |
||
|
ида вращения с полуосями |
||
|
d и с эта нормаль была бы |
||
|
одновременно нормалью к |
||
|
его поверхности в точке А |
||
|
и угол |
ср° представлял бы |
|
|
собой геодезическую широ |
||
|
ту данной точки. Однако, |
||
|
для трехосного эллипсоида |
||
Рис. 6. Система координат трехосного |
линия АК не является нор |
||
эллипсоида |
малью к его поверхности и |
||
|
угол (ри не является геоде |
||
|
зической широтой. Поэтому |
||
назовем угол (р° между нормалью АК к эллипсу |
РАР{ в точке |
А и линией 0 D условно-геодезичесой широтой. |
|
Угол (р пересечения нормали к |
поверхности |
трехосного |
|||
эллипсоида в точке А с плоскостью |
экватора ( z = 0 ) назовем |
||||
геодезической широтой. |
|
|
|
||
Если |
провести в |
плоскости меридиана PDP/ окружность |
|||
радиусом |
d = O D , то, |
по |
аналогии с |
эллипсоидом |
вращения, |
угол “и ” между линиями |
ОА 9 и 0 D можно назвать |
приведен |
|||
ной широтой данной точки трехосного эллипсоида.
Тогда поверхность трехосного эллипсоида в параметри ческих уравнениях можно задать следующим образом:
X = </coswcosA; |
|
||
У = dcosu sinA ; |
^ 7) |
||
Z = csina , |
|
|
|
где согласно |
рис. |
6 |
|
d = b ( l - £ 2cos2A)"l/2 i |
|
||
2 |
, |
42 |
(28) |
к = l - ( b / a ) . |
|
||
Обозначив |
|
|
|
p 2 = l - ( c / d ) 2, |
(29) |
||
получают формулы связи условной геодезической и приве денной широт:
cos2w = cos2<p°/(l-/?2sin2<p°) ;
о |
d |
(30) |
Ч<Р |
= - t g n . |
|
с
Записав уравнения нормали к поверхности трехосного эл липсоида в данной точке и плоскости экватора Z —0 , получа ют по формулам аналитической геометрии выражение для оп ределения геодезических широт:
sir\(p = dsin2и / <Jc2cos2w(l + z 2) + d 2sin2 и |
(31) |
или